1、2019届高三年级第二次模拟考试数学（理）试题第 I 卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，是实数集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出集合，再求解并集和补集.【详解】因为，所以，即，所以，故选A.【点睛】本题主要考查集合的补集并集运算，化简集合为最简是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养.2.下列说法中，正确是（ ）A. 命题“若，则”的逆命题是真命题B. 命题“，”的否定是“，”C. 为真命题，则命题和命题均为真命题D. 向量，则“”是“”的充分不必要条件【
2、答案】B【解析】【分析】对每一个选项依次进行判断，得到正确答案.【详解】命题“若，则”的逆命题是：若，则，当时不成立，错误B. 命题“，”的否定是“，”，正确C. 为真命题，则命题或者命题为真命题，错误D.向量，等价于：则“”是“”的充分必要条件.错误故答案选B【点睛】本题考查了命题的真假判断，逆命题，充分必要条件，综合性较强.3.若两个非零向量、，满足，则向量与的夹角（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先对等式平方得到，模长关系为：，再利用夹角公式计算向量与的夹角得到答案.【详解】若两个非零向量、，满足分别平方： 故答案选C【点睛】本题考查了向量的计算，向量的夹角公式，属
3、于常考题型，意在考查学生的计算能力.4.已知，且是第四象限角，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先化简已知得到，再化简=，再利用平方关系求值得解.【详解】因为，所以，因为=，是第四象限角，所以.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查诱导公式和同角的平方关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 利用平方关系求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍“”号.5.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”，其大意为：“有一个人走378里路，第
4、一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第五天走的路程为（ ）A. 6里B. 12里C. 24里D. 48里【答案】B【解析】【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第五天走的路程【详解】记每天走的路程里数为an，由题意知an是公比的等比数列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，=12（里）故选：C【点睛】本题考查等比数列的通项公式的运用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用6.函数在单调递减，且为奇函数若，则满足的的取值范围是（ ）A. B.
5、 C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性把变换为对应函数值，再利用函数的单调性得到答案.【详解】函数在为奇函数若，满足则：函数在单调递减即：故答案为D【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于简单题型.7.若函数有极值，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】,因为函数有极值，令,且,所以由二次函数的性质可得,求解可得本题选择D选项.8.（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 的求法是根据图形的面积。故选A.9.已知函数（其中，）的图像如图所示，将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，则关于函数的下列说法正确的是（ ） , 的图像关于直线对
6、称, 在区间上单调递增A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据图像得到表达式，再利用平移得到表达式，依次判断四个选项的正误，得到答案.【详解】函数（其中，）根据图像知： 将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像故错误正确时是对称轴，正确在区间上先增后减，错误故答案选B【点睛】本题考查了根据图像求三角函数表达式，三角函数的平移，三角函数的对称抽和单调性，考查知识点较多，意在锻炼学生的综合应用能力.10.设在中，、分别是角、对边，若，且，则面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用余项定理得到,利用均值不等式得到,代入面积公式得到答案.【详解】设在
7、中，、分别是角、的对边，若利用余弦定理：均值不等式： 故答案选D【点睛】本题考查了余弦定理，均值不等式，面积公式，属于常考题型，意在考查学生的计算能力.11.在实数集中定义一种运算“”，对任意，为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意，； （2）对任意，关于函数的性质，有如下说法：.函数的最小值为3；.函数为偶函数； .函数的单调递增区间为其中所有正确说法的个数为 （ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】 ，函数的最小值为； ，函数为偶函数；函数的单调递增区间为 ，所以正确说法的个数为2，选C.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式
8、中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12.定义在上的函数，当时，不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：由题意结合不等式的性质构造函数，结合函数的单调性将原问题转化为恒成立的问题，然后整理计算即可求得最终结果.详解：考查函数：，则：，据此可得函数单调递增，则不等式即：，则：，不等式即，结合函数的单调性可得：恒成立，当时，结合恒成立的条件可得实数的取值范围是.本题选择D选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些
9、数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.第II卷 （非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题第（21）题为必考题，每个题目考生都必须做答.第（22）第（24）题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13
10、.已知，则_. 【答案】【解析】由题意可得： 点睛：熟记同角三角函数关系式及诱导公式，特别是要注意公式中的符号问题；注意公式变形应用，如sin21cos2，cos21sin2，1sin2cos2及sin tan cos 等这是解题中常用到的变形，也是解决问题时简化解题过程的关键所在14.在中，点为边上一点，且，则_【答案】【解析】【分析】将作为基向量，把用基向量表示出来，利用向量乘法公式得到答案.【详解】 故答案为【点睛】本题考查了向量的乘法，选择好基向量是解题的关键.15.已知数列的前项和，若，则_【答案】 【解析】解：由an+1+(1)nan=n可得：当n=2k时,有a2k+1+a2k=2
11、k，当n=2k1时有a2ka2k1=2k1，当n=2k+1时,有a2k+2a2k+1=2k+1，得：a2k+1+a2k1=1，+得：a2k+2+a2k=4k+1，a2k1+a2k+a2k+1+a2k+2=4k+2.S40=4(1+3+19)+20=420.16.已知，若函数有5个零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先判断函数为偶函数，则要求函数有5个零点，只要求出当时，有2个零点即可，分别与的图象，利用导数的几何意义即可求出【详解】解：，函数为偶函数，当，时，要求函数有5个零点，只要求出当时，有2个零点即可，分别与的图象，如图所示，设直线与相切，切点为，当时，有2个零点即可，【点
12、睛】本题考查了函数的零点问题，函数的奇偶性，导数的几何意义，综合性强，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17.设函数，.（）.若，求的最大值及相应的的集合；（）.若是的一个零点，且，求的单调递增区间【答案】(1) ；(2).【解析】【分析】(1)先利用诱导公式化简为标准型，然后求解最值和相应的的集合；(2)根据是的一个零点及，求出，然后求解增区间.【详解】(1) 当时，又，所以f(x)的最大值为，此时，kZ，即，kZ，相应的x的集合为x|x4k，kZ(2)因为，所以，是f(x)的一个零点，即，kZ，整理，得8k2
13、，kZ，又010，所以08k210， k1，而kZ，所以k0，2，由，得，所以f(x)的单调递增区间为.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合恒等变换化简解析式是关键步骤，侧重考查转化化归，数形结合的思想.18.已知函数.（） 求的单调区间；（）当时，若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（）求导数，讨论范围得到的单调区间.（）当时，若恒成立，求最大值即可得到答案.【详解】解：（） 当时，由于，故，所以，的单调递增区间为. 当时，由，得.在区间上，在区间上，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（）当时，若恒成立 即故答案为：【点睛】本题考查了函数的单
14、调性，恒成立问题，将恒成立问题转换为函数的最值问题是解题的关键.19.已知数列满足，数列满足（）证明：数列为等差数列； （）求数列的前项和.【答案】（）见解析（）【解析】【分析】（）通过化简得到，证明数列为等差数列.（）先求出通项公式，再求出通项公式【详解】（1）证明： 即： 数列是以为首项，1为公差的等差数列.（）利用错位相减法计算： 两式相减化简得：【点睛】本题考查了等差数列的证明，错位相减法求数列的前N项和，属于数列的常考题型.20.已知的内角，所对的边分别为，若向量与相互垂直.（）求角的大小；（）若，求周长的最大值.【答案】（）； （）【解析】【分析】（）向量互相垂直得到等式，利用正弦
15、定理和和差公式化简得到答案.（）利用正弦定理将边关系化为角关系，通过三角函数最值求周长的最值.【详解】解:(1) 若向量与相互垂直 即 ,(2) ,由正弦定理可得 周长为当 时,即 时,周长有最大值,即为【点睛】本题考查了三角函数的和差公式，正弦定理，将周长用三角函数表示出来是解题的关键.21.已知，函数（是自然对数的底数）（）若，证明：曲线没有经过点的切线；（）若函数在其定义域上不单调，求的取值范围；【答案】（）见解析（）【解析】【分析】（）假设存在切线经过，设切点为，利用切线方程推出矛盾得到证明.（）函数在其定义域上不单调，等价于有变号零点，取导数为0，参数分离，设新函数利用函数的单调性求
16、取值范围.【详解】解：（）因为，所以，此时，设曲线在点处的切线经过点则曲线在点处的切线所以 化简得：令，则，所以当时，为减函数，当时， ， 为增函数，所以，所以无解所以曲线的切线都不经过点（）函数的定义域为，因为，所以在定义域上不单调，等价于有变号零点，令，得，令因为，令，所以是上的减函数，又，故1是的唯一零点，当，递增；当，递减；故当时，取得极大值且为最大值，所以，即的取值范围是【点睛】本题考查了函数的切线问题，函数单调性问题，将在定义域上不单调，等价于有变号零点，是解题的关键.请考生从第22、23二题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选的题号涂
17、黑.把答案填在答题卡上.22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；（2）设点的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）设出P极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为；（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得面积的最大值为.试题解析：解：（1）设P的极坐标为（）（0），M的极坐标为（）由题设知|OP|=，=.由|OP|=16得的极坐标方程因此的直角坐标方程为.（2）设
18、点B的极坐标为 （）.由题设知|OA|=2，于是OAB面积当时，学|科网S取得最大值.所以OAB面积的最大值为.点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.23.（）.设函数，解不等式；（）.已知，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用分类讨论去掉绝对值，求解不等式；（2）利用柯西不等式证明.【详解】（1）当时，无解；当时，解得；当时，得；综上可得；（2）因为由柯西不等式得，所以，所以，当且仅当时，等号成立；所以 .【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法和证明不等式，含有绝对值不等式常用零点分段讨论的方法进行.
