1、 高三数学（文科） 2012.1【试题总体说明】本套试卷严格按照2011年北京卷的高考题进行命制，题目难度适当，创新度较高。所命试卷呈现以下几个特点：（1）注重对基础知识、基本能力和基本方法的考查，严格控制试题难度。如选择题1，2,3，4，9,10；（2）知识点覆盖全面，既注重对传统知识的考查，又注重对新增内容的考查，更注重对主干知识的考查；（3）遵循源于教材、高于教材的原则，部分试题根据教材中的典型例题或习题改编而成；如选择题6,7.11.（4）深入探究2011高考试题，精选合适的试题进行改编；如填空题9,12.（5）题型新颖，创新度高，部分试题是原创题，有较强的时代特色如填空题14和解答题
2、20等；（6）在知识网络的交汇处命题，强调知识的整合，突出考查学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。如20题。第卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1复数（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】故选C。2若向量，则与共线的向量可以是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】，3.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】为奇函数，故错；偶函数又在单调递增，B对；为偶函数但是在单调递减，故C错；为偶函数，但是单调性有时递增有时递减，故D错.4“直线
3、的方程为”是“直线平分圆的周长”的（ ）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件【答案】A【解析】若直线的方程为，因过（0,0）点，故一定能够平分圆的周长；但反之不成立，过圆心的直线无数多条，不一定为.5一个几何体的主视图和左视图如图所示，则这个 主视图左视图几何体的俯视图不可能是（ ）【答案】D【解析】因该几何体的主视图和左视图都是正方形，其可能为正方体、底面直径与高相等的圆柱体以及底面是等腰直角三角形且腰长等于高的三棱柱，但不可能为一个长与宽不相等的长方体，故选D。6执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ） （A）（B）（C）（D）【答案】C【解
4、析】执行程序框图可得：程序结束，输出7已知，给出下列四个不等式： ； ； ； 其中一定成立的不等式为（ ）（A）、（B）、（C）、（D）、【答案】A【解析】因，故成立，正确；正确；，正确；若错.8有限集合中元素的个数记作.已知，且，.若集合满足，且，则集合的个数是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】依题意满足条件的集合Y的个数为，其中不满足条件的集合Y的个数为，不满足条件的集合Y的个数为，同时不满足，的集合Y的个数，故满足条件的集合Y是-第卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9函数的定义域是_.【答案】【解析】由10双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是
5、_【答案】【解析】可取双曲线的一个焦点（-5,0），一条渐近线为11若曲线在原点处的切线方程是，则实数_ 【答案】【解析】由曲线在原点处的切线的斜率为12在中，三个内角，的对边分别为，若，则_【答案】【解析】由13已知是公比为的等比数列，若，则 ；_【答案】【解析】14设，不等式组 所表示的平面区域是给出下列三个结论： 当时，的面积为； ，使是直角三角形区域； 设点,对于有其中，所有正确结论的序号是_【答案】【解析】当时，不等式组 其表示由三个点（0,0）、（2,2）、（2，-1）围成的三角形区域，易得面积为3，正确；因为直线的斜率为直线的斜率为且直线垂直x轴，故不可能是直角三角形区域，错；不
6、等式组 所表示的平面区域由所的围成的三角形区域，令，则在三个点处得值分别为，故的最大值为4，正确.三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数，.（）求的值； （）求的最大值和最小值.（）解：. 4分（）解：. 8分因为，所以. 9分 当，即时，的最大值为； 11分当，即时，的最小值为. 13分16.（本小题满分13分）某种零件按质量标准分为五个等级.现从一批该零件中随机抽取个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下： 等级频率（）在抽取的个零件中，等级为的恰有个，求；（）在（）的条件下，从等级为和的所有零件中，任意抽取个，求抽
7、取的个零件等级恰好相同的概率.【命题分析】本题考查频率分布和随机事件的概率。频率分布直方图是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据的分布的规律图中各小长方形的面积等于相应各组的频率，它直观反映了数据落在各个小组的频率的大小第一问中根据频率和为1和抽取的个零件中，等级为的恰有个得到方程组求解利用等可能事件的定义求概率，不要忘记等可能事件的两大特征：基本事件总数有限及基本事件的发生等可能求概率的题目，找准“基本事件”很重要，因此一定要明确以什么“事件”作为基本事件，某事件所包含的基本事件必须与此相对应求解等可能性事件的概率一般遵循如下步骤：先确定一次试验是什么，此时一次试验的可能
8、性结果有多少，即求出.再确定所研究的事件是什么,事件包括结果有多少，即求出，应用等可能性事件概率公式计算，也可从不同的背景材料抽象出两个问题：（）所有基本事件的个数，即，（）事件包含的基本事件的个数，即，最后套用公式.确定、的数值是关键所在,其计算方法灵活多变,没有固定的模式，本题的第二问利用穷举法确定、的数值.（）解：由频率分布表得 ，即 . 2分由抽取的个零件中，等级为的恰有个，得 . 4分所以. 5分（）解：由（）得，等级为的零件有个，记作；等级为的零件有个，记作.从中任意抽取个零件，所有可能的结果为：共计种. 9分记事件为“从零件中任取件，其等级相等”.则包含的基本事件为共4个. 11
9、分故所求概率为 . 13分17（本小题满分14分）如图，正三棱柱的侧棱长和底面边长均为，是的中点（）求证：平面； （）求证：平面；（）求三棱锥的体积 【命题分析】本题考查线面垂直和线面平行以及三棱锥的体积. 线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.线面垂直的证明思考途径：线线垂直线面垂直面面垂直.本题的第一问利用方法（2）进行证明；关于线面平行的证明常见的途径有线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直
10、线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.本题第二问利用方法（2）进行证明；求解三棱锥的体积，灵活应用变换顶点的位置，达到确定高的目的。本题第三问可按照这个思路进行.（）证明：因为是正三棱柱，所以 平面.又 平面，所以 . 3分因为 是正三角形，是的中点，所以 ， 4分所以 平面. 5分（）证明：连结，交于点，连结.由 是正三棱柱，得 四边形为矩形，为的中点.又为中点，所以为中位线，所以 ， 8分因为 平面，平面， 所以 平面. 10分（）解：因为 ， 12分所以 . 14分18.（本小题满分13分）已知函数，其中.（）求的单调区间；（）若在
11、上的最大值是，求的值.【命题分析】本题考查函数的最值和函数的单调区间，考查学生利用导数法求解函数性质的解题能力。求解函数的单调区间，一般方法是利用求导的思路进行解答，例如本题的第一问，需要对参数a进行分类讨论得到不同情形下函数的单调区间，分类标准是a与0的比较，注意体会分类标准是如何得到的.解题时须注意求导的准确性和明确函数的定义域；求解函数的最值，一般思路是明确函数的定义域，利用求导判断函数的单调性，然后再给定的区间上判断函数的最值。借助第一问的结论，探求函数在的单调性，进而借助函数的最值求解的取值范围.（）解：. 3分当时，从而函数在上单调递增. 4分当时，令，解得，舍去. 5分此时，与的
12、情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是.7分（） 当时，由（）得函数在上的最大值为.令，得，这与矛盾，舍去. 9分 当时，由（）得函数在上的最大值为.令，得，这与矛盾，舍去. 10分 当时，由（）得函数在上的最大值为.令，解得，适合. 12分综上，当在上的最大值是时，. 13分19.（本小题满分14分）已知椭圆的一个焦点是，且离心率为.（）求椭圆的方程；（）设经过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.（）解：设椭圆的半焦距是.依题意，得 . 1分 因为椭圆的离心率为，所以，. 3分故椭圆的方程为 . 4分（）解：当轴时，显然. 5分当与轴不垂直时，可设直线的方程为
13、.由 消去整理得 . 7分设，线段的中点为，则 . 8分所以 ，.线段的垂直平分线方程为.在上述方程中令，得. 10分当时，；当时，.所以，或. 12分综上，的取值范围是. 13分20.（本小题满分13分）已知数列.如果数列满足，其中，则称为的“衍生数列”.（）写出数列的“衍生数列”；（）若为偶数，且的“衍生数列”是，证明：；（）若为奇数，且的“衍生数列”是，的“衍生数列”是，.依次将数列，的首项取出，构成数列.证明：是等差数列.（）证法一：证明：由已知，.因此，猜想. 4分 当时，猜想成立； 假设时，.当时，故当时猜想也成立.由 、 可知，对于任意正整数，有. 7分设数列的“衍生数列”为，则
14、由以上结论可知，其中.由于为偶数，所以，所以 ，其中.因此，数列即是数列. 9分证法二：因为 ， 由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得 即，. 7分由于，根据“衍生数列”的定义知，数列是的“衍生数列”. 9分（）证法一：证明：设数列,中后者是前者的“衍生数列”.欲证成等差数列，只需证明成等差数列，即只要证明即可. 10分由（）中结论可知 ，所以，即成等差数列，所以是等差数列. 13分证法二：因为 ，所以 .所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可. 10分对于数列及其“衍生数列”，因为 ， 由于为奇数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得 即.设数列的“衍生数列”为，因为 ，所以 ， 即成等差数列. 同理可证，也成等差数列.即 是等差数列.所以 成等差数列. 13分
