1、北京市第十三中学20192020年度第一学期期中考试高一数学试题第卷一选择题1.设集合,则中元素的个数为( )A. 0B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】先求出集合,再求,最后数出中元素的个数即可.【详解】解:因为集合,所以,所以,则中元素的个数为个.故选:C【点睛】本题考查集合的交集运算,以及集合中元素的个数,是基础题.2.命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项.【详解】特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，故A选项正确.故选A.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题的否定，属于基础题.3
2、.下列四组函数,表示同一函数的是( )A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】C【解析】【分析】逐项验证所给函数的定义域和对应法则,然后判断是否为同一函数.【详解】解: 选项A.:的定义域为 ,的定义域为,对应法则不同,不是同一函数.选项B.:定义域为,定义域为,定义域不同,不是同一函数.选项C: 定义域为,定义域为.,定义域相同,对应法则也相同,是同一函数.选项D:定义域,定义域为,定义域不同,不是同一函数.故选:C【点睛】本题重点考查了函数是否为同一函数的判断,关键是要求定义域相同,解析式相等,是基础题.4.条件p:是条件q:的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D
3、. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】利用等式与不等式的性质,利用充分条件与必要条件的定义进行判断.详解】解:证充分性:若,则,则 ,则充分性不成立.证必要性: 若q: ,则,则,则必要性不成立.故条件是条件q:的既不充分也不必要条件.故选:D【点睛】本题主要考查充分条件必要条件的判断,根据不等式的关系式是解决本题的关键.5.已知集合,若,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简集合,根据得出,即可判断出关于参数的不等式,得出它的取值范围.【详解】解: ,又因为: ,若,所以,则所以实数的取值范围是: .故选:B【点睛】本题考点是集合关系中的参
4、数取值问题,考查了集合的化筒,集合的包含关系,解题的关键是熟练掌握集合包含关系的定义,由此得到参数所满足的不等式,本题考查了推理判断的能力.6.已知偶函数的定义域为，当时，是增函数，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由函数为定义域上的偶函数，可得，再由时，是增函数，且，得到，即可求解.【详解】由题意，函数为定义域上的偶函数，可得，又由当时，是增函数，且，所以，即.故选：B.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟练利用函数的奇偶性转化，以及利用函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.函数的零点个数是(
5、)A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】分和两种情况求函数的零点,并且验证即可.【详解】解: ,当 时, 无解,则不存在零点.当 时, ,解得,(舍去),则零点为.综上所述: 的零点个数是.故选:B【点睛】本题考查分段函数的零点个数,分情况讨论是解题的关键.8.已知函数,若,则等于( )A. 2B. C. D. 2或【答案】D【解析】【分析】利用分段函数,根据的取值范围,分别列出方程求出即可.【详解】解:因为函数,当 时, ,解得.当 时, ,解得故a等于2或.故选:D【点睛】本题考查分段函数的应用,考查分类讨论思想,考查计算能力,属于基础题.9.我国为了加强对烟酒生产的宏
6、观管理,除了应征税收外,还征收附加税,已知某种酒每瓶售价为70元,不收附加税时,每年大约销售100万瓶;若每销售100元国家要征附加税元(叫做税率),则每年销售量将减少万瓶,如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元,则的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】，的最小值为，选A.10.定义，已知为函数的两个零点，若存在整数n满足，则的值（ ）A. 一定大于B. 一定小于C. 一定等于D. 一定小于【答案】D【解析】【分析】由为函数的两个零点可得：，.令，得到.即：，将变形为，从而可得.问题得解【详解】由题可得：.又为函数的两个零点，所以，.将函数图像往上
7、平移时，开口大小保持不变，如图当函数图像往上平移时，变大，即：当时，越大，又由二次函数的对称性得：当时，最大令，则：，就是又=由已知得，所以一定小于，所以一定小于.故选D【点睛】本题主要考查了韦达定理及方程与函数关系，考查了计算能力及转化能力，属于中档题第卷二填空题11.函数的定义域是_【答案】【解析】【分析】根据偶次方根是被开方数大于等于,列式求定义域即可.【详解】解: 的定义域:,解得 ,故函数的定义域为:.故答案: 【点睛】本题考查函数的定义域,是基础题.12.已知函数;则等于_【答案】【解析】【分析】根据自变量所在的区间,代入对应的解析式求值即可.【详解】解: 因为函数,则.故答案为:
8、.【点睛】本题考查分段函数求值,看清楚自变量所在的区间是解题的关键.13.已知,则函数的最小值等于_【答案】【解析】【分析】根据题意判断,再利用基本不等式求的最小值,最后验证即可.【详解】解: 已知,则,所以,当且仅当,即时,等号成立.所以函数的最小值为.故答案为: 【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值,需要注意”一定二正三相等”.14.已知函数,函数的值域是_若函数在上不是单调函数,则实数的取值范围是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先求定义域,再将二次函数化为顶点式,即可求出值域. 有题意求出二次函数的对称轴,因为函数在上不是单调函数,则对称轴在区间内,即可得出实数的取
9、值范围.【详解】解: ,定义域为,开口向下,所以函数的值域是.因为,对称轴为,若函数在上不是单调函数,则,故实数的取值范围是.故答案为: ;【点睛】本题考查二次函数的值域和二次函数的单调性求参数,属于基础题.15.已知实数满足,则_【答案】或【解析】【分析】当时,可设是方程的两根,利用根与系数的关系求解即可.,当时,解得,分别代入即可.【详解】解:因为,当时,可设是方程的两根,当时,解得,所以当时, ,当时, .综上所述: 的值为或.故答案为: 或【点睛】本题考查一元二次方程求解和一元二次方程根与系数的关系,属于基础题.16.若方程在内恰有一个根,则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】
10、当,函数是一次函数, 的解为,显不在区间内,所以时不成立.当时,若一元二次方程在内恰有一个根,当时的解为,不在区间内;当利用零点零点存在性定理则有,求解不等式即可得出结论.【详解】解:令.当时,的根为,显不在区间内,所以时不成立.当时,若一元二次方程在内恰有一个根,则有以下两种情况：有两个相等的实数根,则,此时的解为,不在区间内,所以时不成立；有两个不相等的实数根,且有一个根在内,则,则,解得.综上可知,实数a的取值范围是:.故答案为: 【点睛】本题考查函数与方程的意义,考查零点的存在性定理,是基础题.17.函数y = f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，函数f(x)的图象是由一段抛物线和
11、一条射线组成（如图所示）当时，y的取值范围是_；如果对任意 (b 0)，都有，那么b的最大值是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，结合图象可得y的取值范围当x0时，设抛物线的方程为y=ax2+bx+c，求解解析式，根据f（x）是定义域为R的偶函数，可得x0的解析式，令y=1，可得x对应的值，结合图象可得b的最大值【详解】由图象可知，当时，函数在上的最小值， 当时，函数在上的最小值， 所以当，函数值域为； 当时，函数，当时，函数，当时，或，又因为函数为偶函数，图象关于轴对称，所以对于任意，要使得，则，或，则实数的最大值是故答案为【点睛】本题主要
12、考查函数的奇偶性和函数的图象的应用，意在考查考生对概念的理解能力与应用能力、数形结合能力，求解此类函数图象判断题的关键：一是从已知函数图象过特殊点，列出关于参数的方程，从而求出参数的值；二是利用特殊点法来判断图象本题还可以利用函数的单调性来判断函数的图象总之，有关函数的图象判断题，利用“特殊点”与“函数的性质”，即可轻松破解18.能够说明“若对任意的都成立,则函数在是减函数”为假命题的一个函数是_(答案不唯一)【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】根据题意找出满足若对任意的都成立的函数,再判断其在不是减函数即可.【详解】解:令,则对任意的,都成立.在单调递减,在单调递增.故函数在是减函数不成立
13、.故是符合题意的一个函数.故答案为: (答案不唯一)【点睛】本题主要考查函数的概念与性质,和命题及其关系.19.对于函数()的定义域中任意,()有如下结论:;上述结论中正确结论的序号是_【答案】【解析】【分析】根据函数的解析式易得错误,通过举出反例证明错误,利用作差法比较大小,得到故正确.由此可得正确答案.【详解】解: 对于,显然,故不正确;对于,取,则,可得,故不正确;对于, ,且,故正确.故答案为: 【点睛】本题以一个具体函数为例,要验证几个等式和不等式是否成立,着重考查了函数的解析式和简单性质等知识,属于基础题.20.已知函数,a,b均为正数且,则的最小值等于_【答案】【解析】【分析】根
14、据a,b均为正数且,可得, ,根据均值不等式得出,利用换元法令得到,根单调性得出最小值即可.【详解】解:因为a,b均为正数且,所以,则,因为a,b均为正数且,所以,则令,则,在单调递减,所以所以.故的最小值等于.故答案为:【点睛】本题考查均值不等式以及函数单调性最小值,是基础题.三解答题21.已知函数的定义城为A,集合(1)求集合;(2)若全集,求;(3)若是的充分条件,求的取值范围【答案】(1);(2);(3).【解析】【分析】(1)分母不能为0,偶次方根式的被开方数不能负值.(2)一个集合的补集是在全集而不在这个集合中的元素组成的集合,两个集合的交集是两个集合的公共元素组成的集合;(3)依
15、题意得是的子集,即集合的元素都在集合中,由此确定的范围.【详解】解: (1)要使函数有意义,则,即所以函数的定义域为.所以集合(2)因为全集, ,;(3)由(1)得,若是的充分条件,即,当时, ,即当时, ,综上所述: 的取值范围为.【点睛】本题主要考查交集、补集及子集的概念,求范围的问题往往通过解不等式或不等式组实现.22.已知函数(1)判断函数的奇偶性,并说明理由:(2)证明:函数在上单调递增;(3)求函数,的值域【答案】（1）证明见解析;（2）证明见解析;（3）.【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域看其是否关于原点对称,然后判定与的关系,根据函数奇偶性的定义进行判定;（2）在区间上任
16、取两个数且,然后计算,通过化简变形判定其符号,根据函数单调性的定义进行判定即可;（3）根据奇函数性质可得函数在上的单调性,从而求出函数的值域.【详解】解: （1）证明:定义域为;,为奇函数.（2）证明:对任意的,且,在上单调递增.（3）为奇函数且在上是增函数,则在上是增函数,在上是增函数,即,所以函数,的值域为【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定,以及函数的单调性的判定和利用单调性求函数值域,属于中档题.23.已知函数,其中a,(1)当,时,求函数的零点;(2)当时,解关于x的不等式;(3)如果函数的图象恒在直线的上方,证明:【答案】(1) 或;(2)当时,解集为,当时解集为,当时,解集为
17、;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)将,代入函数得 ,令,解方程即可求得函数的零点;(2)将代入函数得 ,令解得或,分、三种情况讨论解集即可.(3)根据函数的图象恒在直线的上方,得对任意的恒成立,即对任意的恒成立, 则函数图象与轴无交点,即,又因为,所以,.【详解】解: (1)因为函数,当,时, ,则,解得或.所以函数的零点为或;(2)当时, ,令解得或,当时, 的解集为当时, 的解集为,当时, 的解集为.(3)如果函数的图象恒在直线的上方,则对任意的恒成立, 即对任意的恒成立,即又因为,所以,.所以函数的图象恒在直线的上方, 成立.【点睛】本题考查函数与方程,考查零点的求法,考查不等式恒成立的条件,考查分类讨论思想和计算能力,属于综合题.
