1、2007年福建省厦门市高中毕业班适应性考试数学试题（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。满分为150分，考试时间120分钟。注意事项：1考生将自己的姓名、准考证号及的有答案均填写在答题卡上；2答题要求，见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”。参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B） 如果事件A、B相互独立，那么P（AB）=P（A）P（B） 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率Pn（k）=球的表面积公式：，球的体积公式：，其中R表示球的半径.第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，
2、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合等于（ ）ABCD2如果，那么，下列不等式中正确的是（ ）ABCD3已知i、j是单位正交向量，a = i + (1)j，b = i + 2j。那么“=1”是“a/b”的（ ）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要条件4设Sn是等差数列的前的值为（ ）ABCD5函数图象的一条对称轴是（ ）ABCD6已知点（3，1）是曲线的弦AB的中点，则弦AB所在的直线方程是（ ）ABCD7如果函数是增函数，那么函数的图像大致是（ ）8五名同学进行百米赛跑比赛，先后到达终点，则甲比比先到达的情况有（ ）A240种B120种C60
3、种D30种9若为（ ）A1B1CD1.3.510正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为4，则A1到直线BC1的距离为（ ）A3BCD411点P是椭圆的交点，F1与F2是椭圆C1的焦点，则F1PF2等于（ ）ABCD与a的取值有关12国际上常用恩格尔系数（恩格尔系数=）来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况。根据联合国粮农组织提出的标准，恩格尔系数在60%以上为贫困，5070%为温饱，40%50%为小康，30%40%为富裕，低于30%为最富裕。一个地区今年刚好脱贫，以后每年食物支出金额和总支出金额分别以5%和10%的年增长率递增，如果该地区的生活水平要达到富裕，那么至少需要（可参考(1+x)n）
4、的二项展开式进行估算 （ ）A5年B7年C9年D11年1.3.5第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，在答题卡上的相应题目的答题区域内作答.13复数的虚部是 .14的展开式中，含x3项的系数为 .15空间三条直线中，任何两条不共面，且两两相垂直，直线l与这三条直线所成的角都为，则tan= .16已知函数在R上处处可导，给出下列四个判断： ；存在区间、成立；在R上单调递增.判断正确的序号是 .（请填上所有判断正确的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答.17（本小题满分12分）
5、 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 （1）判断ABC的形状，并加以证明；1.3.5 （2）当c = 1时，求ABC面积的最大值.18（本小题满分12分） 甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为求： （1）乙投篮次数不超过1次的概率；1.3.5 （2）记甲、乙两人投篮次数和为，求的分布列和数学期望.19（本小题满分12分） 在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，AD=2，侧面PAD是正三角形且与底面ABCD垂直，E是AB中点，PC与平面ABCD所成角为30. （1）证
6、明：CD平面PAD； （2）求二面角PCED的大小； （3）求点D到平面PCE的距离.20（本小题满分12分） 已知数列 （1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式； （2）恒成立，求实数m的取值范围.1.3.5 （注：）21（本小题满分12分） 已知抛物线的方程为，过点P（2，0）的直线l与抛物线交于A、B两点，点Q满足 （1）当时，求点Q的轨迹方程； （2）若点Q在x轴上，且，求直线l的斜率k的取值范围.22（本小题满分14分） 已知函数 （1）若函数、在区间1，2上都为单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范围； （2）、是函数的两个极值点，求证：对任意的x1、，不等式成立.福建省厦
7、门市2007年高中毕业班适应性考试数学试题（理科）参考答案说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要内容比照评分标准制定相应的评分细则。二、对计算题，当考生的解答某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有错误，就不再给分。三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本题主要考查基础知识和基本运算。1.C 2.D 3.B 4.D 5.C
8、 6.D 7.D 8.C 9.A 10.C 11.B 12.C二、本大题共4个小题；每小题4分，共16分。本题主要考查基础知识和基本运算。13 1410 15 16 1.3.5三、解答题17本题主要考查倍角公式和两角和与差的三角函数，及正弦定理和余弦定理等基本知识，要求学生能灵活运用所学知识解决问题，满分12分。 解：（1）法一：原式可得： 2分 即cosA= 即b = ccosA 4分1.3.5由余弦定理得： c2= a2+b2 即ABC为直角三角形 6分法二：b = ccosA由正弦定得得：sinB = sinCcosA2分在ABC中，B=（A+C） sinB = sin(A+C) = s
9、inAcosC+cosA+sinC得sinAcosC=0 4分又在ABC中sinA01.3.5cosC=0得 ABC为直角三角形 6分 （2）法一：由（1）知ABC为直角三角形，c为斜边当c=1时另两直角边长分别为sinA, cosA 8分 10分，2分法二：由（1）知ABC为直角三角形，c为斜边当c=1时设另两直角边长分别为a，b，a2+b2=1 8分10分当且仅当a = b即ABC为等腰直角三角形时取等号.12分18本题主要考查基本的概率知识及离散型随机变量分布列和数学期望等概念，以及解决实际问题的能力。满分12分。 解：记“甲投篮投中”为事件A，“乙投篮投中”为事件B。 解法一“乙投篮次
10、数不超过1次”包括三种情况：一种是甲第1次投篮投中，另一种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中，再一种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中，所求的概率是P = P（A+ 7分 = 10分 答：乙投篮次数不超过1次的概率为 12分 解法二：“乙投篮次数不超过1次”的对立事件是“乙投篮2次”，所以，所求的概率是 2分 = 4分 答：乙投篮次数不超过1次的概率为 12分 （2）甲、乙投篮总次数的取值1，2，3，4，1.3.59分甲、乙投篮次数总和的分布列为 1 2 3 4P 甲、乙投篮总次数的数学期望为11分 答：甲、乙投篮次数总和的数学期望为12分19本题主要考查线面角、二面角、点面距离
11、等知识的掌握情况，着重考查学生空间想象能力，分析问题和解决综合问题的能力。满分12分 解法一：（1）证明：取AD的中点O，连结OP，1.3.5PAD为等边三角形，POAD， 又面PAD面ABCD， PO平面ABCD，连结OC， 则PCO为PC与面ABCD所成的角， PCO = 30，AD = 2， 则，OC = 3 ，以O为原点，OD所在直线为x轴，过O作AB平行线为y轴，OP所在直线为Z轴建立空间直角坐标系，O（0，0，0），D（1，0，0），P（0，0，）C（1，2，0），E（1，0），3分4分（2）解：由（1）得 设平面PCE的一个法向量为 则7分平面PCE的一个法向量 9分又易知平面D
12、EC的一个法向量为 11分二面角PCED的平面角为45 12分 （3）解： 设D到面PEC的距离为d，则10分 解法二：（1）面ABCD为矩形，CDAD， 又，面PAD在ABCD，CD平面ABCD 4分 （2）取AB有中点O，连结OP，OC，OE，PAD为等边三角形，POAD， 又面PAD面ABCD，PO平面ABCD， 则PCO为PC与面ABCD所成的平面角， PCO = 30，5分 AD = 2，在等边PAD中OP=， OPC中，OC = 3， 由OC2 = CE2 + OE2得OEC = 90，7分又OP平面ABCD，PECE.PEO是二面角PCED的平面角，9分 （3）由（2）知，连接D
13、E，1.3.5，设D到平面DEC的距离为d11分12分20本题主要考查递推数列和等数列的概念，将求和问题迁移为求积问题，考查类比思想，满分12分。 证明：（1），2分 所以为首项，1为公差的等差数列， 所以4分 （2）6分 8分 21本题考查解析几何的基本思想和方法，要求考生能正确分析问题，寻找较好的入题方向，同时兼顾考查算理和逻辑推理的能力，要求对代数式合理演变，以便于求参数范围，满分12分。 解法一：设直线l的方程为 得：， 设A、B点的坐标分别为， 则，2分 （1）设 消去m得：即点Q的轨迹方程为：6分 （2）且点Q在x轴上1.3.5 解法二：（1）当直线l的斜率不存在时，由抛物线的对称性得Q点坐标为（4，0）1分 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为得： 设A、B、Q点的坐标分别为2分 （2）且点Q在x轴上， 10分 （1）解法三：设A、B点的坐标分别为 2分 设 4分 5分 即点Q的轨迹方程为：6分22本题主要考查导数和方程、不等式的基本知识，要求学生能利用导数的方法解决函数的单调性和最值问题，寻找合理的途径，构造函数的方法证明不等式，满分14分。 解：（1），2分 6分 （2），1.3.5 设， 单调递增，12分
