1、专题三（2）-基本不等式与不等式综合问题【教学目标】1.熟练掌握基本不等式的内容及应用条件2.理解恒成立问题中不等式的灵活应用3.不等式在实际问题中的应用【教学要点】重点：恒成立问题的解决方案难点：运用基本不等式的条件【考情分析】不等式知识常与函数、导数、数列综合，常以含参不等式恒成立问题、与函数相关的最值问题等出现.年份题号知识点分值2014年第10，19题二次函数与二次不等式；函数与不等式的综合21分2015年第7，19题指数函数与基本不等式；不等式的解法21分2016年第5，12，14，19题一元二次不等式的解法；线性规划；基本不等式40分【例题分析及变式】类型1：基本不等式问题例1（1
2、）若正数a，b满足ab1，则的最大值为_答案，解析正数a，b满足ab1，222，当且仅当ab时取等号，的最大值为.（2）若圆(x2)2(y2)29上存在两点关于直线axby20(a0，b0)对称，则的最小值为_答案16解析圆(x2)2(y2)29的圆心坐标为(2,2)，由已知得直线axby20必经过圆心(2,2)，即ab1.所以()(ab)1010216(当且仅当，即a，b时等号成立)，所以的最小值为16.（3）(2016泰州期末)若正实数x，y满足(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，则x+的最大值是.【答案】-1【解析】方法一：(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，即=，所以-，x
3、-+成等比数列，设公比为q(q1)，将x，用q表示，则x+=+=+-1，当且仅当q-1=，即q=+1时等号成立.（4）(2016天一中学)设x，yR，a1，b1，若ax=by=2，a+=4，则+的最大值为.【答案】4【解析】因为x=loga2，y=logb2，所以+=+=log2a2+log2b=log2(a2b).又4=a+2，当且仅当a=时取等号，所以a2b16，所以log2(a2b)4.（5）(2015扬州期末)设实数x，y满足x2+2xy-1=0，则x2+y2的最小值是.【答案】【解析】方法一：由x2+2xy-1=0，得y=，从而x2+y2=x2+=+-2-=，当且仅当x=时等号成立.
4、（6）(2015扬淮南连二调)设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则+的最小值为.【答案】【解析】由题意得lg x0，lg y0，lg z0，且z2=xy，从而lg z=(lg x+lg y)，所以+=lg z+=+=当且仅当=，即y=x2时取等号.题组小结： .类型2：恒成立问题:例2（1）(必修5 P94习题11改编)已知关于x的不等式x2-ax+2a0在R上恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】(0，8)【解析】因为x2-ax+2a0在R上恒成立，所以=a2-42a0，所以0a8.（2）(必修5 P71练习5改编)在R上定义运算：x*y=x(1-y)，若不等式(x-a)
5、*(x+a)1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】依题意知x-a-x2+a20恒成立，于是a2-a-0恒成立，解得-a0恒成立，求实数x的取值范围.【解答】(1)若对于任意的xR，f(x)0恒成立，需满足=4a2-4(-a+2)0，解得-2a1.故实数a的取值范围是-2，1.(2)由题知对称轴方程为x=-a，当-a1时，f(x)min=f(-1)=3-3a0，解得a1，与已知矛盾，舍去；当-a1，即a-1时f(x)min=f(1)=3+a0，解得-3a0恒成立，等价于g(a)=(2x-1)a+x2+20，所以解得x-1，所以x的取值范围是x|x-1.变式(2016盐城中学
6、)已知函数f(x)=，x1，+).(1)若对任意的x1，+)，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若对任意的a-1，1，f(x)4恒成立，求实数x的取值范围.【解答】(1)若对任意的x1，+)，f(x)0恒成立，即0，x1，+)恒成立，亦即x2+2x+a0，x1，+)恒成立，即a-x2-2x，x1，+)恒成立，即a(-x2-2x)max，x1，+)，而(-x2-2x)max=-3，x1，+)，所以a-3.所以实数a的取值范围为a|a-3.(2)因为a-1，1时，f(x)4恒成立，即4，x1，+)恒成立，所以x2-2x+a0对a-1，1恒成立，把g(a)=a+x2-2x看成a的一次函数，
7、则使g(a)0对a-1，1恒成立的条件是即解得x+1.又x1，所以x+1，故所求x的取值范围是(+1，+).题组小结： .类型3：不等式的实际应用例4.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米(按交通法规限制50x100)(单位：千米/小时)假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2)升，司机的工资是每小时14元(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值例5.(2016南京学情调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x个标段和n个道路交叉口，其中n与x满足n=ax+5.
8、已知新建一个标段的造价为m万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍.(1)写出新建道路交叉口的总造价y(单位：万元)与x的函数关系式；(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比，若新建的标段数是原有标段数的20%，且k3，问：P能否大于?并说明理由.【解答】(1)依题意得y=mkn=mk(ax+5)，xN*.(2)依题意知x=0.2a.所以P=1)、离地面高a m(1a2)的C处观赏该壁画，设观赏视角ACB=.(1)若a=1.5，问：观察者离墙多远时，视角最大?(2)若tan =，当a变化时，求x的取值范围.【解答】(1)当a=1.5时，过C作AB的垂线，垂足为D
9、，则BD=0.5 m，且=ACD-BCD.由已知知观察者离墙x m，且x1，则tanBCD=，tanACD=.所以tan =tan(ACD-BCD)=，当且仅当x=，即x=1时取等号.又因为tan 在上单调递增，所以当观察者离墙 m时，视角最大.(2)由题意得tanBCD=，tanACD=，又tan =，所以tan =tan(ACD-BCD)=.所以a2-6a+8=-x2+4x，当1a2时，0a2-6a+83，所以0-x2+4x3，即解得0x1或3x4.又因为x1，所以3x4，所以x的取值范围为3，4.题组小结： .【课堂总结】1.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其
10、满足基本不等式中“正”(即2.条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误【巩固作业】 学案作业专题三（2）-基本不等式与不等式综合问题 作业：一、 填空题1.(2016新海中学)已知点P(x，y)到A(0，4)和B(-2，0)的距离相等，则2x+4y的最小值为.【答案】4【解析】由题意得点P在线段AB的中垂线上，则易得x+2y=3，所以2x+4y2=2=4，当且仅当x=2y=时，等号成立，故2x+4y的最小值为4.2.(2016上海卷)设a0，b0.若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围是.【答案】(2，+)【解析】将
11、方程组中的第一个方程化为y=1-ax，代入第二个方程整理得(1-ab)x=1-b，该方程无解应该满足1-ab=0且1-b0，所以ab=1且b1，所以由基本不等式得a+b2=2，故a+b的取值范围是(2，+).3.(2015苏锡常镇二模)已知常数a0，函数f(x)=x+(x1)的最小值为3，则a的值为.【答案】1【解析】因为f(x)=x-1+1，且x-10，所以f(x)2+1=3，当且仅当x-1=，即x=+10时取等号，此时a=1.4.(2015福建卷)若直线+=1(a0，b0)过点(1，1)，则a+b的最小值为.【答案】4【解析】依题意得+=1，所以a+b=(a+b)+=1+12+2=4，当且
12、仅当a=b=2时等号成立.5.(必修5 P91习题5改编)已知函数f(x)=x+-2(x0)，那么f(x)的最大值为.【答案】-4【解析】因为x0，y0，且log3x+log3y=1，则+的最小值为.【答案】【解析】由log3x+log3y=1，得xy=3，所以+2=2=.7.(必修5 P91习题3改编)函数y=的最小值为.【答案】【解析】设t=(t2)，易知y=t+在2，+)上是单调增函数，所以当t=2，即x=0时，ymin=.8.(2016安徽省六校联考)若正实数x，y满足x+y=2，且M恒成立，则M的最大值为.【答案】1【解析】因为正实数x，y满足x+y=2，所以xy=1，所以1.又M恒
13、成立，所以M1，即M的最大值为1.9.(2016南师附中)若当x-3时，不等式ax+恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】(-，2-3【解析】设f(x)=x+=(x+3)+-3，因为x-3，所以x+30，故f(x)2-3=2-3，当且仅当x=-3时等号成立，故a的取值范围是(-，2-3.10.(2016常州中学)当x(-，-1时，不等式(m2-m)4x-2x0恒成立，则实数m的取值范围是.【答案】(-1，2)【解析】原不等式变形为m2-m，因为函数y=在(-，-1上是减函数，所以=2.当x(-，-1时，m2-m恒成立等价于m2-m2，解得-1m0对于任意的t4恒成立，从而函数u(t)=t+(t
14、4)为单调增函数，所以u(t)min=u(4)=4+=，于是a.12.(2016江苏信息卷)若对任意实数x1，y，不等式p+恒成立，则实数p的最大值为.【答案】8【解析】令a=2y-1，b=x-1，则+=+，问题转化为求+的最小值.又+2=2=22(2+2)=8，当且仅当a=b=1，即x=2，y=1时取等号.二、 解答题13.(1)当点(x，y)在直线x+3y-4=0上移动时，求3x+27y+2的最小值；(2)已知x，y都是正实数，且x+y-3xy+5=0，求xy的最小值.解：(1) 由x+3y-4=0，得x+3y=4，所以3x+27y+2=3x+33y+22+2=2+2=2+2=20，当且仅
15、当3x=33y且x+3y-4=0，即x=2，y=时取等号，此时所求的最小值为20.(2) 由x+y-3xy+5=0，得x+y+5=3xy，所以2+5x+y+5=3xy，所以3xy-2-50，所以(+1)(3-5)0，所以，即xy，当且仅当x=y=时取等号，故xy的最小值是.14.(2016江苏第19题节选第1问)已知函数f(x)=ax+bx(a0，b0，a1，b1).设a=2，b=.(1)求方程f(x)=2的根；(2)若对于任意xR，不等式f(2x)mf(x)-6恒成立，求实数m的最大值.解：因为a=2，b=，所以f(x)=2x+2-x.(1)方程f(x)=2，则2x+2-x=2，即(2x)2
16、-22x+1=0，所以(2x-1)2=0，所以2x=1，解得x=0.(2)由题意知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x)2-2，因为f(2x)mf(x)-6对于xR恒成立，且f(x)0，所以m对于xR恒成立.又=f(x)+2=4，且=4，所以m4，故实数m的最大值为4.15.(2014江苏第19题节选第2问)已知函数f(x)=ex+e-x.若关于x的不等式mf(x)e-x+m-1在(0，+)上恒成立，求实数m的取值范围.解：由题意，m(ex+e-x)e-x+m-1，即m(ex+e-x-1)e-x-1.因为x(0，+)，所以ex+e-x-10，即m对x(0，+)恒成立.
17、令t=ex(t1)，则m对任意t(1，+)恒成立.因为=-=-，当且仅当t=2，即x=ln 2时等号成立，所以实数m的取值范围是.16.(2015浙江卷)设函数f(x)=x2+ax+b(a，bR).(1)当b=+1时，求函数f(x)在区间-1，1上的最小值g(a)的表达式；(2)已知函数f(x)在区间-1，1上存在零点，且0b-2a1，求实数b的取值范围.解：(1) 当b=+1时，函数f(x)=+1，故其图象的对称轴为直线x=-.当a-2时，g(a)=f(1)=+a+2；当-22时，g(a)=f(-1)=-a+2.综上，g(a)=(2) 设s，t为方程f(x)=0的解，且-1t1，则因为0b-
18、2a1，所以s(-1t1).当0t1时，st，由于-0和-9-4，所以-b9-4.当-1t0时，st，由于-20和-30，所以-3b0.故b的取值范围是.17(2016镇江期末)如图(1)，某工业园区是半径为10 km的圆形区域，距离园区中心O点5 km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直的公路AB经过该中转站，公路AB把园区分成两个区域.(1)设中心O对公路AB的视角为，求的最小值，并求较小区域的面积的最小值；(2)为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值.【解答】(1)如图(2)，过点O作OHAB，垂足为H，记OH=d，=2AOH
19、，因为cosAOH=，要使有最小值，只需要d有最大值，结合图象可得dOP=5 km，当且仅当ABOP时，dmax=5 km.此时min=2AOH=2=.设公路AB把园区分成两个区域，其中较小区域的面积记为S，由题意得S=f()=S扇形AOB-SAOB=50(-sin )，f()=50(1-cos )0恒成立，所以f()为增函数，所以Smin=f=50km2.答：视角的最小值为，较小区域的面积的最小值是50-km2.(2)如图(3)，过点O分别作OHAB，OH1CD，垂足分别是H，H1，记OH=d1，OH1=d2，(变式2(3)由(1)可知d10，5，所以+=OP2=25，且=25-，因为AB=2，CD=2，所以AB+CD=2(+)=2(+)，记L(d1)=AB+CD=2(+)，可得L(d1)2=4175+2，由0，25，可知=0或=25时，L(d1)2的最小值是100(7+4)，从而AB+CD的最小值是(20+10)km.答：两条公路长度和的最小值是(20+10)km.【点评】(1)主要利用OP为定值这一条件，从而根据垂径定理得出取得最值的特殊位置来解题；(2)利用OP为定值和勾股定理构造基本不等式解题.
