1、专题三（1）-不等式解法与线性规划【教学目标】1.掌握常规不等式的解法2.理解三个二次之间的关系3.会解决简单的线性规划问题【教学要点】重点：理解三个二次之间的关系难点：不等式中参数的讨论【考情分析】不等式在高考中很少单独成题，常常与其他知识点相互渗透在一起，是求解数学问题的重要工具.年份题号知识点分值2014年第10，19题二次函数与二次不等式；函数与不等式的综合21分2015年第7，19题指数函数与基本不等式；不等式的解法21分2016年第5，12，14，19题一元二次不等式的解法；线性规划；基本不等式40分【例题分析及变式】类型1：不等式的解法例1.（1）(2016江苏第5题)函数y=的
2、定义域是.【答案】-3，1【解析】由题意知3-2x-x20，解得-3x1，所以原函数的定义域为-3，1.（2）.(2015江苏第7题)不等式4的解集为.【答案】(-1，2)【解析】由4，知x2-x2，解得-1x2，所以原不等式的解集为(-1，2).（3）(必修5 P73习题6改编)已知不等式ax2+bx-10的解集为x|x4，则a=，b=.【答案】-【解析】由题意知3和4是方程ax2+bx-1=0的两根，所以a(x-3)(x-4)=0，所以a=-，b=.例2（东莞市2017届高三上学期期末）已知函数 f (x) x 1x+3（1）解不等式 f (x) 8；（2）若不等式 f (x) 3a的解集
3、不是空集，求实数a的取值范围.（1）， 当时，由，解得；当时，无解；当时，由，解得 所以不等式的解集为 （2）因为，所以 又不等式的解集不是空集，所以, 所以 即实数的取值范围是 例3解关于x的一元二次不等式(x-2)(ax-2)0.【解答】当a=0时，原不等式可化为x-20，所以x0，当a1时，0，所以x2.当a=1时，=2，原不等式化为(x-2)20，所以xR且x2.当0a2，原不等式化为(x-2)0，则x.当a0时，2，原不等式化为(x-2)0，所以x2.综上所述，当a=0时，原不等式的解集为x|x1时，原不等式的解集为；当a=1时，原不等式的解集为x|xR且x2；当0a1时，原不等式的
4、解集为 ；当a0.【解答】由ax2+(a-1)x-10，得(ax-1)(x+1)0.当a0时，(ax-1)(x+1)0(x+1)0x；当-1a0(x+1)0x0-(x+1)20(x+1)20x；当a0(x+1)0-1x0时，不等式的解集为；当-1a0时，不等式的解集为；当a=-1时，不等式的解集为；当a-1时，不等式的解集为.题组小结： .类型2：三个二次之间的关系例4（1）.(2016启东调研测试)已知偶函数f(x)在0，+)上单调递增，且f(3)=0，则不等式f(x2-2x)0的解集为.【答案】(-1，3)【解析】根据偶函数的性质，可得-3x2-2x3，解得-1x3，从而不等式的解集为(-
5、1，3).（2）(必修1 P32习题7改编)若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间0，2上是增函数，且f(m)f(0)，则实数m的取值范围是.【答案】m|0m4【解析】由函数的对称轴为x=2，且在0，2上为增函数，知a0，根据函数图象可得实数m的取值范围是m|0m4.（3）.(2014江苏第10题)已知函数f(x)=x2+mx-1，若对于任意的xm，m+1，都有f(x)0成立，则实数m的取值范围是.【答案】【解析】因为二次函数开口向上，在区间m，m+1上始终满足f(x)0，所以只需即可，由解得故实数m的取值范围为.例5 (2016苏州调研测试)已知函数f(x)=x|x-a|，
6、aR，g(x)=x2-1.(1)当a=1时，解不等式f(x)g(x)；(2)记函数f(x)在区间0，2上的最大值为F(a)，求F(a)的表达式.【解答】(1)由f(x)g(x)，当a=1时，即解不等式x|x-1|x2-1.当x1时，不等式为x2-xx2-1，解得x1，所以x=1；当x1时，不等式为x-x2x2-1，解得-x1，所以-x1.综上，不等式f(x)g(x)的解集为.(2)因为x0，2，当a0时，f(x)=x2-ax，则f(x)在区间0，2上是增函数，所以F(a)=f(2)=4-2a.当0a2时，f(x)=则f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间a，2上是增函数，所以F(a
7、)=max，而f=，f(2)=4-2a，令ff(2)，即4-2a，解得-4-4a-4+4，所以当0a4-4时，F(a)=4-2a；令ff(2)，即4-2a，解得a-4-4或a-4+4，所以当4-4a2时，F(a)=.当a2时，f(x)=-x2+ax，当12，即2a-.题组小结： .类型3：线性规划问题例6(2016全国卷)若实数x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为.【答案】【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.联立得A，当直线z=x+y过点A时，z取得最大值，所以zmax=1+=.变式1(2016山东卷)若变量x，y满足约束条件则x2+y2的最大值是.【答案】10【解析】作出
8、不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，设z=x2+y2，联立得由图可知，当x2+y2=z过点(3，-1)时，z取得最大值，即(x2+y2)max=32+(-1)2=10.变式2(2016苏州中学)若实数x，y满足约束条件则z=的最小值为.【答案】【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，其中A(3，0)，C(2，1)，易知z=1+.变式3 (2016江苏第12题)已知实数x，y满足约束条件那么x2+y2的取值范围是.【答案】【解析】作出实数x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，则x2+y2即为可行域内的点(x，y)到原点O的距离的平方.由图可知点A到原点O的距离最近，点B到原点O的距离最远.点A
9、到原点O的距离即原点O到直线2x+y-2=0的距离d=，则(x2+y2)min=；点B为直线x-2y+4=0与3x-y-3=0的交点，即点B的坐标为(2，3)，则(x2+y2)max=13.综上，x2+y2的取值范围是.变式4 (必修5 P77练习2改编)不等式组所表示的平面区域的面积为.【答案】【解析】作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，由题意知xB=1，xC=2.由解得yD=，所以SBCD=(xC-xB)=.变式5 若变量x，y满足约束条件且目标函数zkxy当且仅当时取得最小值，则实数k的取值范围是_【答案】【解析】由题意知不等式组所表示的可行域为如图所示的ABC及其内部，其中A(
10、3,1)，B(4,2)，C(1,2)将目标函数变形得ykxz，当z取得最小值时，直线的纵截距最小由于直线当且仅当经过点(3,1)时纵截距最小，结合动直线ykxz绕定点A旋转进行分析，知k1，故所求实数k的取值范围是.题组小结： .【课堂总结】1.含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论2.解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决【巩固作业】 学案作业 专题三（1）-不等式解法与线性规划 作业：一、 填空题1.(2016苏州暑假测试)已知变量x，y满足约束条件则目标函数
11、z=2x-y的最大值是.【答案】7【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，可知当目标函数过点A(5，3)时，z取得最大值，所以zmax=25-3=7.2.若对任意实数x-1，1，不等式x2+ax-3a0恒成立，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】设f(x)=x2+ax-3a.因为对任意实数x-1，1，不等式x2+ax-3a.3.(2015山东卷)若变量x，y满足约束条件则z=x+3y的最大值为.【答案】7【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，当直线x+3y-z=0经过可行域内的点A时，z取得最大值.联立解得即A(1，2)，故zmax=1+32=7.4.若关于x的不等式ax2+2x+a0的解集为
12、R，则实数a的取值范围是.【答案】(1，+)【解析】当a=0时，易知条件不成立；当a0时，要使不等式ax2+2x+a0的解集为R，必须满足解得a1.5.(必修5 P90习题6改编)若x，y满足约束条件则z=x+y的最小值是.【答案】2【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由z=x+y，得y=-x+z.令z=0，画出y=-x的图象，当它的平行线经过点A(2，0)时，z取得最小值，最小值为z=2.6.(2016淮阴中学)已知x，yR，且x2+2xy+4y2=6，则z=x2+4y2的取值范围是.【答案】4，12【解析】因为2xy=6-(x2+4y2)，而2xy，所以6-(x2+4y2
13、)，所以x2+4y24，当且仅当x=2y时取等号.又因为(x+2y)2=6+2xy0，即2xy-6，所以z=x2+4y2=6-2xy12.综上可得4x2+4y212.7.(2016苏大考前卷)已知不等式(ax+3)(x2-b)0对任意x(0，+)恒成立，其中a，b是整数，则a+b的取值集合为.【答案】8，-2【解析】当b0时，由(ax+3)(x2-b)0得ax+30在x(0，+)上恒成立，则a0.当b0时，由(ax+3)(x2-b)0可设f(x)=ax+3，g(x)=x2-b，又g(x)的大致图象如图所示，那么由题意可知再由a，b是整数得到或因此a+b=8或-2.8.(2016启东中学)已知f
14、(x)=x2+2x+aln x，若f(x)在区间(0，1上恒为单调函数，则实数a的取值范围为.【答案】(-，-40，+)【解析】由题意知f(x)=2x+2+=，因为f(x)在区间(0，1上恒为单调函数，所以f(x)在区间(0，1上恒大于等于0或恒小于等于0，所以2x2+2x+a0或2x2+2x+a0在区间(0，1上恒成立，即a-(2x2+2x)或a-(2x2+2x)，而函数y=-2x2-2x在区间(0，1上的值域为-4，0)，所以a0或a-4.9.(2016扬州中学)已知函数f(x)=x3+2x，对任意的t-3，3，f(tx-2)+f(x)0恒成立，则实数x的取值范围是.【答案】【解析】函数f
15、(x)=x3+2x是R上的奇函数且单调增，f(tx-2)+f(x)0化为f(tx-2)f(-x)，即tx-2-x，问题变为g(t)=(x+1)t-20在t-3，3上恒成立，故有解得-x-.10.(2015宿迁一模)已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1，若关于x的不等式f(f(x)0的解集为空集，则实数a的取值范围是.【答案】(-，-2【解析】因为f(x)=x-(a+1)x-(a-1)，所以f(f(x)0等价于f(x)-(a+1)f(x)-(a-1)0，从而a-1f(x)a+1，要使f(f(x)0的解集为(-1，3)，求a，b的值；(2)若f(1)=2，a0，b0，求+的最小值.解：(1)
16、由题意得即解得(2) 因为f(1)=2，所以a+b=1，所以+=(a+b)=5+9，当且仅当b=2a=时取等号.13.(2016泰州中学)已知函数f(x)=ax2+2x+c(a，cN*)满足f(1)=5；6f(2)11.(1)求函数f(x)的表达式；(2)若对任意的x1，2，都有f(x)-2mx0恒成立，求实数m的取值范围.解：(1) 由题知5=a+c+2，即c=3-a.又64a+c+411，所以-a0，y0，a=x+y，b=，c=m(mN*).求证：若对任意正数x，y可使a，b，c为三角形三边，则m的取值集合为1，2，3.证明：因为a=x+y=b，c0，故a+cb恒成立.若a+bc恒成立，即m恒成立.因为=2+，得m2+.故当mc恒成立.若b+ca恒成立，即m=-恒成立.令t=+(t2)，则-=t-=，当t=2时，取得最大值，得m2-，故当m2-时，b+ca恒成立.综上，2-m2+.由mN*，得m的取值集合为1，2，3，即得证.
