1、学案20函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用导学目标： 1.了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出yAsin(x)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题自主梳理1用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示XxyAsin(x)0A0A02.图象变换：函数yAsin(x) (A0，0)的图象可由函数ysin x的图象作如下变换得到：（1）相位变换：ysin xysin(x)，把ysin x图象上所有的点向_(0)或向_(0)平
2、行移动_个单位（2）周期变换：ysin (x)ysin(x)，把ysin(x)图象上各点的横坐标_(01)到原来的_倍(纵坐标不变)（3）振幅变换：ysin (x)yAsin(x)，把ysin(x)图象上各点的纵坐标_(A1)或_(0A0，0)，x(，)表示一个振动量时，则_叫做振幅，T_叫做周期，f_叫做频率，_叫做相位，_叫做初相函数yAcos(x)的最小正周期为_yAtan(x)的最小正周期为_自我检测1(2011池州月考)要得到函数ysin的图象，可以把函数ysin 2x的图象()A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位2已知函数f(x)sin (xR，0)的最
3、小正周期为.将yf(x)的图象向左平移|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是 ()A.B.C.D.3已知函数f(x)sin(x)(xR，0)的最小正周期为，为了得到函数g(x)cos x的图象，只要将yf(x)的图象 ()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度4(2011太原高三调研)函数ysin的一条对称轴方程是 ()AxBxCxDx5(2011六安月考)若动直线xa与函数f(x)sin x和g(x)cos x的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为 ()A1 B. C. D2探究点一三角函数的图象及变换例1已知函数y2sin.(1)
4、求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y2sin的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到变式迁移1设f(x)cos2xsin xcos xsin2x (xR)(1)画出f(x)在上的图象；(2)求函数的单调增减区间；(3)如何由ysin x的图象变换得到f(x)的图象？探究点二求yAsin(x)的解析式例2已知函数f(x)Asin(x) (A0，0，|0，0，|)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x02，2)(1)求f(x)的解析式及x0的值；(2)若锐角满足cos ，求f(4)的
5、值探究点三三角函数模型的简单应用例3已知海湾内海浪的高度y(米)是时间t(0t24，单位：小时)的函数，记作yf(t)下表是某日各时刻记录的浪高数据：t03691215182124y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，yf(t)的曲线可近似地看成是函数yAcos tb.(1)根据以上数据，求函数yAcos tb的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午800至晚上2000之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？变式迁移3交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E22
6、0sin表示，求：(1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次取得最大值时的时间数形结合思想的应用例(12分)设关于的方程cos sin a0在区间(0,2)内有相异的两个实根、.(1)求实数a的取值范围；(2)求的值【答题模板】解(1)原方程可化为sin()，作出函数ysin(x)(x(0,2)的图象3分由图知，方程在(0,2)内有相异实根，的充要条件是.即2a或a2.6分(2)由图知：当a2，即(1，)时，直线y与三角函数ysin(x)的图象交于C、D两点，它们中点的横坐标为，.8分当2a0，0)的图象如图所示，f()，则f(0)等于 ()ABC.
7、D.5(2011烟台月考)若函数yAsin(x)m(A0，0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ()Ay4sinBy2sin2Cy2sin2Dy2sin2题号12345答案二、填空题(每小题4分，共12分)6已知函数ysin(x) (0，0)和g(x)2cos(2x)1的图象的对称轴完全相同若x，则f(x)的取值范围是_三、解答题(共38分)9(12分)已知函数f(x)Asin(x)(A0，0，|0，00)的最小正周期为，(1)求的值；(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求函数yg(x)
8、在区间上的最小值答案 自主梳理1.022.(1)左右|(2)伸长缩短(3)伸长缩短A3.Ax自我检测1B2.D3.A4.D5.B课堂活动区例1解题导引(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两边伸展一下，以示整个定义域上的图象；(2)变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用x来确定平移单位解(1)y2sin的振幅A2，周期T，初相.(2)令X2x，则y2sin2sin X.列表：XX02ysin X01010y2sin02020描点连线，得图象如图所示：(3)将ysin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍(纵坐标不
9、变)，得到ysin 2x的图象；再将ysin 2x的图象向左平移个单位，得到ysin 2sin的图象；再将ysin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y2sin的图象变式迁移1解ysin 2x1sin 2xcos 2x1sin.(1)(五点法)设X2x，则xX，令X0，2，于是五点分别为，描点连线即可得图象，如下图(2)由2k2x2k，kZ，得单调增区间为，kZ.由2k2x2k，kZ，得单调减区间为，kZ.(3)把ysin x的图象向右平移个单位；再把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)；最后把所得图象向上平移1个单位即得ysin1的图象例2解题导引确定yAsin(x)b
10、的解析式的步骤：(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A，b.(2)求.确定函数的周期T，则.(3)求参数是本题的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点解由图象可知A2，T8.方法一由图象过点(1,2)，得2sin2，sin1.|，f(x)2sin.方法二点(1,2)对应“五点”中的第二个点1，f(x)2sin.变式迁移2解(1)由题意可得：A2，2，即4，f(x)2sin，f(0)2sin 1，由|0，0)中参数的确定有如下结论：A；k；由特殊点确定解(1)由表中数据，知周期T12，由t0，y1.5，得Ab1.5；由t3，y1.0，得b1.0，A0.5，b1，y
11、cos t1.(2)由题知，当y1时才可对冲浪者开放，cos t11，cos t0，2kt2k，kZ，即12k3t12k3，kZ.0t24，故可令中的k分别为0,1,2，得0t3，或9t15，或21t24.在规定时间上午800至晚上2000之间，有6个小时的时间可供冲浪者运动，即上午900至下午300.变式迁移3解(1)t0时，E220sin 110(伏)(2)T0.02(秒)(3)当100t，t秒时，第一次取得最大值，电压的最大值为220伏课后练习区1C2.D3.A4.C5.D6.7sin 2x8.9解(1)由图象知A2，T8，.(2分)又图象经过点(1,0)，2sin()0.|，.f(x)
12、2sin(x)(5分)(2)yf(x)f(x2)2sin(x)2sin(x)2sin(x)2cosx.(8分)x6，x.当x，即x时，yf(x)f(x2)取得最大值；当x，即x4时，yf(x)f(x2)取得最小值2.(12分)10解根据f(x)是R上的偶函数，图象过点M(0,2)，可得f(x)f(x)且A2，则有2sin(x)2sin(x)，即sin xcos 0，cos 0，即k (kZ)而0，.(4分)再由f(x)2sin(x)2cos x的图象关于点N对称，f()2cos()0cos 0，(8分)即k (kZ)， (kZ)又00，依题意得，所以1.(8分)(2)由(1)知f(x)sin，所以g(x)f(2x)sin.(10分)当0x时，4x.所以sin1.因此1g(x)，(13分)所以g(x)在此区间内的最小值为1.(14分)
