1、第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用最新考纲展示 1理解平面向量数量积的含义及其物理意义了解平面向量的数量积与向量投影的关系 2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题一、平面向量的数量积1两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量 a 和 b，作 O Aa，O Bb，则AOB 叫作向量 a 与 b 的夹角(2)范围：向量夹角的范围是，a与b同向时，夹角0；a与b反向时，夹角.(3)向量垂直：如果向量a与b的夹角
2、是90，则a与b垂直，记作.0180180ab2平面向量数量积(1)a，b是两个非零向量，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫作a与b的数量积，记作ab，即ab.规定0a0.当ab时，90，这时ab.(2)ab的几何意义：ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积|a|b|cos 0|b|cos 二、数量积的性质及运算律1向量数量积的性质(1)如果 e 是单位向量，则 aeea|a|cosa，e(2)abab0.(3)aa|a|2，|a|aa.(4)cosa，bab|a|b|.(5)|ab|a|b|.2数量积的运算律(1)交换律：ab.(2)分配律：(ab)c.(3)对R，(ab)
3、baacbc(a)ba(b)三、平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2).1两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角2两向量a与b的夹角为锐角cosa，b0且a与b不共线；两向量a与b的夹角为钝角cosa，b0，180，ab0是两个向量a，b夹角为锐角的必要不充分条件5在实数运算中，若a，bR，则|ab|a|b|，但对于向量a，b却 有|ab|a|b|，当 且 仅 当 ab 时 等 号 成 立 这 是 因 为|ab|a|b|cos|，而|cos|1.6实数运算满足消去律：若bcca，c
4、0，则有ba.在向量数量积的运算中，若abac(a0)，则不一定得到bc.7实数运算满足乘法结合律，但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线8在实数运算中，若ab0，则a与b中至少有一个为0，而在向量数量积的运算中，不能从ab0推出a0或b0成立实际上由ab0可推出以下四种结论：a0，b0；a0，b0；a0，b0；a0，b0，但ab.1(2014年高考大纲全国卷)已知a，b为单位向量，其夹角为60，则(2ab)b()A1B0C1D2解 析：(2a b)b 2ab b2
5、2|a|b|cosa，b|b|2 211cos 6010.答案：B2已知|a|4，|b|3，a与b的夹角为120，则b在a方向上的投影为()A2 B.32C2 D32解析：b 在 a 方向上的投影为|b|cos 12032.故选 D.答案：D3设a，b，c是单位向量，且abc，则ac的值为()A2 B.12C3 D.13解析：由 abc 得 bca，两边平方得(b)2(ca)2，1112ac，ac12.答案：B4在ABC 中，若ABACABCB4，则边 AB 的长度为_解析：由ABAC4，ABCB4 得ABACABCB8，于是AB(ACCB)8，即ABAB8，故|AB|28，得|AB|2 2.
6、答案：2 2答案：35(2014 年高考江西卷)已知单位向量 e1，e2 的夹角为，且 cos 13，若向量 a3e12e2，则|a|_.解析：a2(3e12e2)29e2112e1e24e229121349，|a|3.A1 B2C3D5平面向量数量积的运算(自主探究)例 1(1)(2014 年高考新课标全国卷)设向量 a，b 满足|ab|10，|ab|6，则 ab()(2)(2014 年高考江苏卷)如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB8，AD5，CP3PD，APBP2，则ABAD 的值是_(3)(2014 年高考天津卷)已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD120，点 E，F 分别
7、在边 BC，DC 上，BC3BE，DCDF.若AEAF1，则 的值为_解析(1)|ab|2|ab|24ab4，ab1.(2)APBP(AD DP)(BC CP)(AD 14AB)(AD 34AB)AD 212AD AB 316AB 2，即 22512AD AB 31664，AD AB22.(3)如图建系：A(1,0)，B(0，3)，C(1,0)，D(0，3)BE13BC13，33.AEABBE(1，3)13，33 43，2 33DF 1DC 1，3，AFAD DF 11，3 3.则AEAF4311 2 33 3 3答案(1)A(2)22(3)2规律方法(1)平面向量数量积的计算方法：已知向量a
8、，b的模及夹角，利用公式ab|a|b|cos 求解 已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解(2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算43 4322103231，得 2.考情分析 平面向量数量积常解决线段的长度、两直线的位置关系、求夹角问题；也常在平面几何问题中与一些几何图形相结合考查向量方法的应用平面向量数量积的性质(高频研析)角度一 平面向量的模1设向量 a，b 满足|a|b|1，ab12，则|a2b|()A.2B.3C.5D.7解析：|a2b|2a24ab4b1412 43，|a2b|3.答案：B 角度二 平面向量的夹角2(2015 年衡水
9、中学一调)已知|a|2|b|0，且关于 x 的函数 f(x)13x312|a|x2abx 在 R 上有极值，则向量 a 与 b 的夹角的范围是()A.0，6B.6，C.3，D.3，23答案：C解析：设 a 与 b 的夹角为.f(x)13x312|a|x2abx，f(x)x2|a|xab.函数 f(x)在 R 上有极值，方程 x2|a|xab0 有两个不同的实数根，即|a|24ab0，aba24，又|a|2|b|0，cos ab|a|b|a24a2212，即 cos 12，又0，3，故选 C.角度三 平面向量的垂直3设xR，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，则|ab|()A.5 B.10C
10、2 5D10解析：ab，ab0，即 x20，x2，ab(3，1)，|ab|10.答案：B规律方法(1)求两非零向量的夹角时要注意：向量的数量积不满足结合律数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角(2)利用数量积求解长度问题的处理方法：a2aa|a|2 或|a|aa.|ab|ab2 a22abb2.若 a(x，y)，则|a|x2y2.例2(2015年苏北四市质检)已知向量a(cos，sin)，b(2，1)平面向量与三角函数的综合(师生共研)(1)若 ab，求sin cos sin cos 的值；(2)若|a
11、b|2，0，2，求 sin4 的值解析(1)由 ab 可知，ab2cos sin 0，所以 sin 2cos，所以sin cos sin cos 2cos cos 2cos cos 13.(2)由 ab(cos 2，sin 1)可得，|ab|cos 22sin 12 64cos 2sin 2，即 12cos sin 0，又 cos2sin21，且 00，2 由可解得sin 35，cos 45，所以 sin4 22(sin cos)22 3545 7 210.规律方法 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路：(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三
12、角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等(1)若ab，求的值；(2)若|2ab|m恒成立，求实数m的取值范围已知向量 a(cos，sin)，0，向量 b(3，1)解析：(1)ab，3cos sin 0，得 tan 3.又 0，3.(2)2ab(2cos 3，2sin 1)，|2ab|2(2cos 3)2(2sin 1)2，8812sin 32 cos 88sin3.又 0，33，23.sin3 32，1.|2ab|2 的最大值为 16.|2ab|的最大值为 4.又|2ab|4.
