1、高三理数试题五一选择题（共12小题，每题5分）1若集合，B=1，m，若AB，则m的值为（）A2B1C1或2D2或2复数z=2+2i，则的虚部为（）A2iB2iC2D23下列函数中，在区间（1，1）上为减函数的是（）Ay=By=cosxCy=ln（x+1）Dy=2x4已知向量=（1，m），=（3，2），且（+），则m=（）A8B6C6D85已知a，bR，则“log2alog2b”是“（）a（）b”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的
2、2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（）ABCD7已知变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为（）A1B2C3D48一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（）ABCD9设xR，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有ff（x）ex=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A1Be+lC3De+310在直角坐标系xOy中，设A（2，3），B（3，2），沿x轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，这时，则的大小为（）A120B60C30D4511若函数f（x）
3、=x33x在（a，6a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（，1C（，2）D（，212设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是（）A（0，1）B（0，2）C（0，+）D（1，+）二填空题（共4小题，每题5分）13已知向量，夹角为45，且|=1，|2|=，则|=14我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸（注：平地降雨量等于盆中积水体积
4、除以盆口面积；一尺等于十寸）15实数x，y满足4x25xy+4y2=5，设 S=x2+y2，则+=16若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则k=三解答题（共7小题，17-21每题12分，22-23选择一个作答，10分）17如图是函数的图象的一部分（1）求函数y=f（x）的解析式（2）若18Sn为数列an的前n项和，己知an0，an2+2an=4Sn+3（I）求an的通项公式：（）设bn=，求数列bn的前n项和19如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=（）求cosCAD的值；（）若cosBAD=，sinCBA=，求BC的长20如图，在
5、四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB=2AD=2CD=2E是PB的中点（）求证：平面EAC平面PBC；（）若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值21已知函数f（x）=2lnxx2+ax，aR（1）若函数f（x）ax+m=0在，e上有两个不等的实数根，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）的图象与x轴交于不同的点A（x1，0），B（x2，0），且0x1x2，求证：f（px1+qx2）0 （实数p，q满足0pq，p+q=1）22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（为参数，实数a0），曲线C2：（为参数，实数b0）在以O为极
6、点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：=（0，0）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点当=0时，|OA|=1；当=时，|OB|=2（）求a，b的值；（）求2|OA|2+|OA|OB|的最大值23设函数f（x）=|x+|+|xa|（a0）（）证明：f（x）2；（）若f（3）5，求a的取值范围答案一选择题（共12小题，每题5分）1若集合，B=1，m，若AB，则m的值为（）A2B1C1或2D2或【考点】集合关系中的参数取值问题【分析】由已知中集合，解根式方程可得A=2，结合B=1，m，及AB，结合集合包含关系的定义，可得m的值【解答】解：集合=2又B=1，m若AB则m=2故选A2复数z=
7、2+2i，则的虚部为（）A2iB2iC2D2【考点】复数的基本概念【分析】首先求出，根据复数的概念求虚部【解答】解：因为复数z=2+2i，则=22i，所以的虚部为2；故选：D3下列函数中，在区间（1，1）上为减函数的是（）Ay=By=cosxCy=ln（x+1）Dy=2x【考点】函数单调性的判断与证明【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（1，1）上的单调性，从而找出正确选项【解答】解：Ax增大时，x减小，1x减小，增大；函数在（1，1）上为增函数，即该选项错误；By=cosx在（1，1）上没有单调性，该选项错误；Cx增大时，x+1增大，ln（
8、x+1）增大，y=ln（x+1）在（1，1）上为增函数，即该选项错误；D.；根据指数函数单调性知，该函数在（1，1）上为减函数，该选项正确故选D4已知向量=（1，m），=（3，2），且（+），则m=（）A8B6C6D8【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案【解答】解：向量=（1，m），=（3，2），+=（4，m2），又（+），122（m2）=0，解得：m=8，故选：D5已知a，bR，则“log2alog2b”是“（）a（）b”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与
9、充要条件的判断【分析】根据指数函数，对数函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断【解答】解：若“（）a（）b”，则根据指数函数的单调性的性质可知ab，当a，b由负值或等于0时，log2alog2b不成立若log2alog2b，则ab0此时“（）a（）b”成立“log2alog2b”是“（）a（）b”的充分不必要条件故选：A6古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（）ABCD【考点】等比数列
10、的前n项和【分析】设这女子每天分别织布an尺，则数列an是等比数列，公比q=2利用等比数列的通项公式及其前n项公式即可得出【解答】解：设这女子每天分别织布an尺，则数列an是等比数列，公比q=2则=5，解得a3=故选：A7已知变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为（）A1B2C3D4【考点】简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为（0，1），（1，0），（1，2），验证知在点（1，0）时取得最大值2当直线z=2x+y过点A（1，0
11、）时，z最大是2，故选B8一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】几何体是三棱锥，根据三视图知最里面的面与底面垂直，高为2，结合直观图判定外接球的球心在SO上，利用球心到A、S的距离相等求得半径，代入球的表面积公式计算【解答】解：由三视图知：几何体是三棱锥，且最里面的面与底面垂直，高为2，如图：其中OA=OB=OC=2，SO平面ABC，且SO=2，其外接球的球心在SO上，设球心为M，OM=x，则=2xx=，外接球的半径R=，几何体的外接球的表面积S=4=故选：D9设xR，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实
12、数x，都有ff（x）ex=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A1Be+lC3De+3【考点】函数单调性的性质【分析】利用换元法 将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f（x）的表达式，即可得到结论【解答】解：设t=f（x）ex，则f（x）=ex+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=et+t=e+1，函数f（x）为单调递增函数，函数为一对一函数，解得t=1，f（x）=ex+1，即f（ln2）=eln2+1=2+1=3，故选：C10在直角坐标系xOy中，设A（2，3），B（3，2），沿x轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后
13、，这时，则的大小为（）A120B60C30D45【考点】二面角的平面角及求法【分析】作ACx轴，BDx轴，AM平行等于CD，连接AB，MD，根据二面角的平面角的定义可知BDM就是二面角的平面角，则利用，根据余弦定理可知BDM的大小【解答】解：作AC垂直x轴，BD垂直x轴，AM平行等于CD，连接AB，MD，CD=5，BD=2，AC=3=MD，而BDx轴，MDx轴（MDAC），BDM就是二面角的平面角，BM=，DM=3，BD=2COSBDM=BDM=120故选A11若函数f（x）=x33x在（a，6a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A（，1）B（，1C（，2）D（，2【考点】利用导数求闭区
14、间上函数的最值【分析】因为给的是开区间，最大值一定是在该极大值点处取得，因此对原函数求导、求极大值点，求出函数极大值时的x值，然后让极大值点落在区间（a，6a2）内，依此构造不等式即可求解实数a的值【解答】解：由题意f（x）=x33x，所以f（x）=3x23=3（x+1）（x1），当x1或x1时，f（x）0；资*源%库 当1x1时，f（x）0，故x=1是函数f（x）的极大值点，f（1）=1+3=2，x33x=2，解得x=2，所以由题意应有：，解得a2故选：D12设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PA
15、B的面积的取值范围是（）A（0，1）B（0，2）C（0，+）D（1，+）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】设出点P1，P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l1与l2的斜率，由两直线垂直求得P1，P2的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得PAB的面积的取值范围【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0x11x2），当0x1时，f（x）=，当x1时，f（x）=，l1的斜率，l2的斜率，l1与l2垂直，且x2x10，即x1x2=1直线l1：，l2
16、：取x=0分别得到A（0，1lnx1），B（0，1+lnx2），|AB|=|1lnx1（1+lnx2）|=|2（lnx1+lnx2）|=|2lnx1x2|=2联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，|AB|xP|=函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0x11，资*源%库 ，则，PAB的面积的取值范围是（0，1）故选：A二填空题（共4小题，每题5分）13已知向量，夹角为45，且|=1，|2|=，则|=【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用数量积的性质即可得出【解答】解：向量，夹角为45，且|=1，|2|=，化为=10，化为，资*源%库解得|=故答案为：14我国古代数学名著数书九章中有“天池盆
17、测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是3寸（注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上地面面积即可得到答案【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸因为积水深9寸，所以水面半径为寸则盆中水的体积为（立方寸）所以则平地降雨量等于（寸）故答案为315实数x，y满足4x25xy+4y2=5，设 S=x2+y2，则+=【考点】基本不等
18、式【分析】由2xyx2+y2可得5xy=4x2+4y25（x2+y2），从而可求s的最大值，由x2+y22xy及5xy=4x2+4y258xy5可得xy的范围，进而可求s的最小值，代入可求【解答】解：4x25xy+4y2=5，5xy=4x2+4y25，又2xyx2+y2资*源%库5xy=4x2+4y25（x2+y2）设 S=x2+y2，4s5ss即x2+y22xy5xy=4x2+4y258xy5xyxyS=x2+y22xy+=故答案为：16若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则k=2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先设切点，然后利用切点
19、来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可【解答】解：设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；由导数的几何意义可得k=，得x1=x2+1再由切点也在各自的曲线上，可得kx1+b=lnx1+2，kx2+b=ln（x2+1）联立上述式子解得k=2，故答案为2三解答题（共7小题，17-21每题12分，22-23选择一个作答，10分）17如图是函数的图象的一部分（1）求函数y=f（x）的解析式（2）若【考点】正弦函数的图象【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式（2）由
20、条件求得，再根据 2，2，求得2=，可得tan2 的值【解答】解：（1）由图象可知振幅A=3，又，=，f（x）=3sin（2x+）再根据五点法作图可得 2+=，（2），2，2，2=，tan2=tan=tan（）=tan=18Sn为数列an的前n项和，己知an0，an2+2an=4Sn+3（I）求an的通项公式：（）设bn=，求数列bn的前n项和【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求an的通项公式：（）求出bn=，利用裂项法即可求数列bn的前n项和【解答】解：（I）由an2+2an=4Sn+3，可知an+12+2an+1=4Sn+1+3两式相减得an+1
21、2an2+2（an+1an）=4an+1，即2（an+1+an）=an+12an2=（an+1+an）（an+1an），an0，an+1an=2，a12+2a1=4a1+3，a1=1（舍）或a1=3，则an是首项为3，公差d=2的等差数列，an的通项公式an=3+2（n1）=2n+1：（）an=2n+1，bn=（），数列bn的前n项和Tn=（+）=（）=19如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=（）求cosCAD的值；（）若cosBAD=，sinCBA=，求BC的长【考点】解三角形的实际应用【分析】（）利用余弦定理，利用已知条件求得cosCAD的值（）根据cosCAD，cos
22、BAD的值分别，求得sinBAD和sinCAD，进而利用两角和公式求得sinBAC的值，最后利用正弦定理求得BC【解答】解：（）cosCAD=（）cosBAD=，sinBAD=，cosCAD=，sinCAD=sinBAC=sin（BADCAD）=sinBADcosCADcosBADsinCAD=+=，由正弦定理知=，BC=sinBAC=320如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB=2AD=2CD=2E是PB的中点（）求证：平面EAC平面PBC；（）若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角
23、；平面与平面垂直的判定【分析】（）证明平面EAC平面PBC，只需证明AC平面PBC，即证ACPC，ACBC；（）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，1，0），面EAC的法向量=（a，a，2），利用二面角PA CE的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，2，2），=（1，1，2），即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值【解答】（）证明：PC平面ABCD，AC平面ABCD，ACPC，AB=2，AD=CD=1，AC=BC=，AC2+BC2=AB2，ACBC，又BCPC=C，AC平面PBC，AC平面EAC，平面EAC平面PBC（）如图，以C为原点，取AB中
24、点F，、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，1，0）设P（0，0，a）（a0），则E（，），=（1，1，0），=（0，0，a），=（，），取=（1，1，0），则=0，为面PAC的法向量设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则=0，即取x=a，y=a，z=2，则=（a，a，2），依题意，|cos，|=，则a=2于是=（2，2，2），=（1，1，2）设直线PA与平面EAC所成角为，则sin=|cos，|=，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为21已知函数f（x）=2lnxx2+ax，aR（1）若函数f（x）ax+m=0在，e上有两个不等的
25、实数根，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）的图象与x轴交于不同的点A（x1，0），B（x2，0），且0x1x2，求证：f（px1+qx2）0 （实数p，q满足0pq，p+q=1）WWW【考点】利用导数研究函数的极值【分析】（1）方程f（x）=ax+m即为2lnxx2+2axm=0，令g（x）=2lnxx2+2axm，利用导数研究该函数在，e上的最小值，要使方程f（x）ax+m=0在，e上有两个不相等的实数根，得到关于m的不等式组，解之即可；（2）将a用x1与x2表示，然后求出导函数f（x），从而得到f（px1+qx2），然后利用导数研究函数的单调性证明f（px1+qx2）0【解答】解：（
26、1）方程f（x）ax+m=0即为2lnxx2+m=0，令g（x）=2lnxx2+m，则g（x）=2x=，因为x，e，故g（x）=0时，x=1当x1时，g（x）0；当1xe时，g（x）0故函数g（x）在x=1处取得极大值g（1）=m1，又g（）=m2，g（e）=m+2e2，g（e）g（）=4e2+0，则g（e）g（），故函数g（x）在，e上的最小值是g（e）方程f（x）ax+m=0在，e上有两个不相等的实数根，则有，解得1m2+，故实数m的取值范围是（1，2+（2）函数f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），2lnxx2+ax=0的两个根为x1，x2，则2lnx1+a
27、x1=0，2lnx2+ax2=0，两式相减得a=（x1+x2），f（x）=2lnxx2+ax，f（x）=2x+a，则f（px1+qx2）=2（px1+qx2）+a=+（2p1）（x2x1）（*）0pq，p+q=1，则2p1，又0x1x2，（2p1）（x2x1）0，WWW下证 0，即证明 +ln0令t=，0x1x2，0t1，即证明u（t）=+lnt0在0t1上恒成立，u（t）=，0pq，1，又0t1，u（t）0，u（t）在（0，1）上是增函数，则u（t）u（1）=0，从而知 +ln0，故（*）0，即f（px1+qx2）0成立22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（为参数，实数a0），曲线C2：
28、（为参数，实数b0）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：=（0，0）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点当=0时，|OA|=1；当=时，|OB|=2（）求a，b的值；（）求2|OA|2+|OA|OB|的最大值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（I）由曲线C1：（为参数，实数a0），利用cos2+sin2=1即可化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出极坐标方程，进而得出a的值同理可得b的值（II）由（I）可得C1，C2的方程分别为=cos，=2sin可得2|OA|2+|OA|OB|=2cos2+2sincos=+1，利用三角函数的单调
29、性与值域即可得出【解答】解：（）由曲线C1：（为参数，实数a0），化为普通方程为（xa）2+y2=a2，展开为：x2+y22ax=0，其极坐标方程为2=2acos，即=2acos，由题意可得当=0时，|OA|=1，a=曲线C2：（为参数，实数b0），化为普通方程为x2+（yb）2=b2，展开可得极坐标方程为=2bsin，由题意可得当时，|OB|=2，b=1（）由（I）可得C1，C2的方程分别为=cos，=2sin2|OA|2+|OA|OB|=2cos2+2sincos=sin2+cos2+1=+1，2+，+1的最大值为+1，当2+=时，=时取到最大值23设函数f（x）=|x+|+|xa|（a0
30、）（）证明：f（x）2；（）若f（3）5，求a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（）由a0，f（x）=|x+|+|xa|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）2成立（）由f（3）=|3+|+|3a|5，分当a3时和当0a3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求【解答】解：（）证明：a0，f（x）=|x+|+|xa|（x+）（xa）|=|a+|=a+2=2，故不等式f（x）2成立（）f（3）=|3+|+|3a|5，当a3时，不等式即a+5，即a25a+10，解得3a当0a3时，不等式即 6a+5，即 a2a10，求得a3综上可得，a的取值范围（，）2017年2月15日版权所有：高考资源网()
