1、2017-2018学年北京市第四中学高三上学期期中考试数学理一、选择题：共8题1. 已知集合,那么等于A. B. C. D. 【答案】B【解析】由得，结合可知，故选B.2. 若,则A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为，所以是第一或第三象限角，当是第一象限角时，且，则；当是第三象限角时，且，则，故选C.3. 已知向量满足,则A. B. 1 C. D. 【答案】C【解析】，所以，则，故选C.4. 设,则A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由函数的单调性可知由单调性可知，由函数单调性可知，所以有，故选B考点：函数单调性比较大小5. 已知,则是的A. 充分不必要条件 B. 必
2、要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，则，所以；若，则，则，因此充分性成立,而必要性不成立，故是的充分不必要条件，故选A.6. 函数的图象如图所示,则的解析式可以为A. B. C. D. 【答案】C【解析】对于A，当时，不符合题意，则A不正确；B，是奇函数，不符合题意，则B不正确；C恒成立，符合题意，则C正确；D，当时 不符合题意，故D不正确，故选C.7. 实数满足若的最大值为,最小值为,则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】作出不等式组所表示的平面区域,如图所示， 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单
3、题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.请在此填写本题解析!8. 设函数的定义域为,如果存在正实数,使得对任意,都有,则称为上的“型增函数”.已知函数是定义在上的奇函数,且当时,).若为上的“型增函数”,则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数是定义在上的奇函数，且当时，)，为上的“20型增函数”，当时，解得，当时，由，即，得：，或，解得，实数的取值范围是，故选B.二
4、、填空题：共6题9. 若函数,则等于_.【答案】3【解析】因为，所以,则，故答案为3.10. 在平面直角坐标系中,点,若向量,则实数_.【答案】4【解析】试题分析：，因为，故，即，解得.考点：1、向量的坐标运算；2、向量垂直.11. 已知函数的导函数的部分图象如图所示,且导函数有最小值,则_,_.【答案】 (1). 2 (2). 【解析】，由图象可知，则，又，且，所以，故答案为2和.12. 已知正数满足,则的最小值是_.【答案】9【解析】由题意，当且仅当，即，时取等号，故答案为9.点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提
5、“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件13. 已知函数(其中为自然对数的底数,且),若,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】由二次函数的性质可知，当时，是增函数，当时，又当时，所以函数在R上是增函数，则不等式等价于，所以，则实数的取值范围是，故答案为.14. 以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数组成的集合:对于函数,存在一个正数M,使得函数的值域包含于区间.例如,当时,. 现有如下命题:设函数的定义域为D,则“”的充要条件是“”;若函
6、数,则有最大值和最小值;若函数的定义域相同,且,则;若函数有最大值,则.其中的真命题有_. (写出所有真命题的序号)【答案】【解析】充分性:即表示的值域为R,所以在定义域内能够找到点使得函数值为R内一点；必要性:在定义域内能找到点使函数值为R上任一点,说明函数值域为R,所以满足充要条件，正确；充分性:表示有界，不能推出有最大值与最小值；有最大值与最小值表示有界，可以推出,所以为必要不充分条件，错误；即表示的值域为R，表示有界，有界函数加上无界函数为无界函数,所以,则正确；因为无界，所以有最大值说明a=0,有界,所以,则正确.故本题正确答案为:三、解答题：共6题15. 已知集合,.(1)求;(2
7、)已知,若是的充分不必要条件,求的取值范围.【答案】(1).(2)【解析】试题分析：(1)求出集合，再利用补集与交集的定义求解即可；(2)是的充分不必要条件，则，则.试题解析：(1),.，(=.(2)是的充分不必要条件，则，所以，即的取值范围是16. 在锐角中,内角所对的边长分别为,已知的面积.(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：(1)由三角形的面积公式可得c=6；(2)由已知求出，再利用余弦定理求出求出a，再结合正弦定理即可求出.试题解析：(1)由，可得.(2)由锐角ABC中可得.由余弦定理可得:,由正弦定理:，即.17. 已知函数(1)求函数的最小正周期与
8、单调增区间;(2)求函数在上的最大值与最小值.【答案】(1)最小正周期为单调增区间为.(2)最小值,最大值.【解析】试题分析：根据题意、二倍角的正弦、余弦公式、两角和的正弦公式运算化简；（1）由三角函数的周期公式求出周期，再由正弦函数的单调递增区间求出此函数的增区间；（2）由的范围求出求出的范围，再由正弦函数的性质求出次函数的最大值、最小值.试题解析：由题意得， ， (1)的最小正周期为令,解得,所以函数的单调增区间为.(2)因为,所以,所以，于是,所以，当且仅当时取最小值，当且仅当,即时最大值.点睛：本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知
9、识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即，然后利用三角函数的性质求解.18. 已知函数.(1)若曲线在点处的切线与直线垂直,求的值;(2)当时,试问曲线与直线是否有公共点?如果有,求出所有公共点;若没有,请说明理由.【答案】(1),(2)曲线与直线仅有一个公共点,公共点为.【解析】试题分析：(1)求出切线的斜率,则易得切线方程；(2)由题意，令，求导并判断函数的单调性，判断函数的零点个数,即可得出结论.试题解析：(1)函数的定义域为.又曲线在点处的切线与直线垂直,所以,即,(2)当时,.令，.当时,在单调递减
10、;当时,在单调递增.又,所以在恒负.因此,曲线与直线仅有一个公共点,公共点为.点睛：本题主要考查了导数的几何意义即函数在某点处的导数即为曲线在该点处切线的斜率，以及导数在函数零点中的应用，属于中档题；两曲线和交点的个数转化为的图象与轴交点的个数，再通过导数判断函数的单调性得其大致图象得到结果.19. 已知函数(为实常数).(1)若,求曲线在处的切线方程;(2)讨论函数在上的单调性;(3)若存在,使得成立,求实数的取值范围.【答案】(1)y=1.(2)答案见解析；(3).【解析】试题分析：(1)求出切线的斜率，即可得出切线方程；(2)1,e，分、三种情况讨论导数的符号，即可得出结论；(3)分、三
11、种情况讨论函数的单调性并求出最值,则易得结论.试题解析：(1)时,所求切线方程为y=1.1,e.当即𝑎2时，1,e,此时,在1,e上单调增；当即时，时,上单调减；时,在上单调增;当即时，,此时,在上单调减；当时,在上单调增,的最小值为当时,在上单调减,在上单调增,的最小值为.因为.当时,在上单调减,的最小值为,，综上,20. 设是定义在D上的函数,若对D中的任意两数),恒有,则称为定义在D上的C函数.(1)试判断函数是否为定义域上的C函数,并说明理由;(2)若函数是R上的奇函数,试证明不是R上的C函数;(3)设是定义在D上的函数,若对任何实数以及D中的任意两数),恒有,则称为定
12、义在D上的函数. 已知是R上的函数,m是给定的正整数,设,且,记. 对于满足条件的任意函数,试求的最大值.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析；(3)的最大值为.【解析】试题分析：(1)证明是否成立,即可得出结论；(2)假设是R上的C函数,取, 则有,结合奇函数可得,是同理可得,则推出矛盾；(3)对任意,取.由题意,=,则.试题解析：(1)是C函数,证明如下:对任意实数),有=.即，是C函数.(2)假设是R上的C函数,取,则有.是奇函数，所以，所以. (*)同理,取,可证.与(*)式矛盾.不是R上的C函数.(3)对任意,取.是R上的函数,且=.那么=.可证是函数,且使得都成立，此时.综上所述,的最大值为.
