1、2015-2016学年天津市和平区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1频率分布直方图中，小长方形的面积等于（）A组距B频率C组数D频数2抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件A，则事件A的互斥事件为（）A至多抽到2件次品B至多抽到2件正品C至少抽到2件正品D至多抽到1件次品3期中考试过后，高一年级组把参加数学考试的全体高一学生考号末位为5的学生召集起来开座谈会，运用的抽样方法是（）A简单随机抽样B系统抽样C分层抽样D抽签法4若事件A与B是互为对立事件，且P（A）=0.4，则P（B）=（）A0B0.4C
2、0.6D15不等式3x4y+60表示的平面区域在直线3x4y+6=0的（）A右上方B右下方C左上方D左下方6如图给出的是计算的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）Ai20Bi20Ci10Di107目标函数z=x+y，变量x，y满足，则（）Azmin=2，zmax=3Bzmin=2，无最大值Czmax=3，无最小值D既无最大值，也无最小值8已知不等式（x+y）（+）9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A2B4C6D8二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9用辗转相除法或更相减损术求459与357的最大公约数是10某中学高一有400人，高二有320人，高三有28
3、0人，用简单随机抽样方法抽取一个容量为n的样本，已知每个人被抽取到的可能性大小为0.2，则n=11已知两个正变量x，y，满足x+y=4，则使不等式+m恒成立的实数m的取值范围是，当x=，y=时等号成立12如图所示，如果执行如图所示的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p=13如图，在矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（2，0）且点C与点D在函数f（x）=的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为14设xy满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a0，b0）的最大值为13，则a+b的最小值为三.解答题：6题52分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15一个
4、路口的红绿灯，红灯亮的时间为40秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为50秒（没有两灯同时亮），当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？（1）红灯；（2）黄灯；（3）不是红灯16雾霾天气是一种大气污染状态，PM2.5被认为是造成雾霾天气的“元凶”，PM2.5日均值越小，空气质量越好国家环境标准设定的PM2.5日均值（微克/立方米）与空气质量等级对应关系如表：PM2.5日均值（微克/立方米）035357575115115150150250250以上空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染由某市城市环境监测网获得4月份某5天甲、乙两城市的空气质量指数数据，用
5、茎叶图表示，如图所示（）试根据统计数据，分别写出两城区的PM2.5日均值的中位数，并从中位数角度判断哪个城区的空气质量较好？（）考虑用频率估计概率的方法，试根据统计数据，估计甲城区某一天空气质量等级为3级轻度污染的概率；（）分别从甲、乙两个城区的统计数据中任取一个，试求这两城区空气质量等级相同的概率17已知D是以点A（4，1），B（1，6），C（2，3）为顶点的三角形区域（包括边界及内部）（1）写出表示区域D的不等式组；（2）设点B（1，6）、C（2，3）在直线4x3ya=0的异侧，求a的取值范围；（3）若目标函数z=kx+y（k0）的最小值为k6，求k的取值范围18已知x0，y0，且2x+8
6、yxy=0，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值19某市司法部门为了宣传宪法举办法律知识问答活动，随机对该市1868岁的人群抽取一个容量为n的样本，并将样本数据分成五组：18，28），28，38），38，48），48，58），58，68），再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的比例第1组18，28）50.5第2组28，38）18a第3组38，48）270.9第4组48，58）x0.36第5组58，68）30.2（1）分别求出a，x的值；（2）从第2，3，4
7、组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率20某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：产品A（件）产品B（件）研制成本、搭载费用之和（万元）2030计划最大资金额300万元产品重量（千克）105最大搭载重量110千克预计收益（万元）8060试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是
8、多少？2015-2016学年天津市和平区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1频率分布直方图中，小长方形的面积等于（）A组距B频率C组数D频数【考点】频率分布直方图【分析】由频率分布直方图的做法，可得正确答案【解答】解：小长方形的长为组距，高为，所以小长方形的面积为：组距=频率故选B2抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件A，则事件A的互斥事件为（）A至多抽到2件次品B至多抽到2件正品C至少抽到2件正品D至多抽到1件次品【考点】互斥事件与对立事件【分析】由于在所有的基本事件中，不能同时
9、发生的两个事件是互斥事件，由此可得结论【解答】解：在所有的基本事件中，不能同时发生的两个事件是互斥事件，事件A：“至少抽到2件次品”，故“至多抽到1件次品”与A是互斥事件，故选：D3期中考试过后，高一年级组把参加数学考试的全体高一学生考号末位为5的学生召集起来开座谈会，运用的抽样方法是（）A简单随机抽样B系统抽样C分层抽样D抽签法【考点】系统抽样方法【分析】根据末位为5的学生的学生号码之间的关系进行判断即可【解答】解：末位为5的学生的学生号码间距相同都为10，高一年级组运用的抽样方法是系统抽样，故选：B4若事件A与B是互为对立事件，且P（A）=0.4，则P（B）=（）A0B0.4C0.6D1【
10、考点】互斥事件与对立事件【分析】根据对立事件的概率公式p（）=1P（A），解得即可【解答】解：因为对立事件的概率公式p（）=1P（A）=0.6，故先C5不等式3x4y+60表示的平面区域在直线3x4y+6=0的（）A右上方B右下方C左上方D左下方【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【分析】根据二元一次不等式表示平面区域的性质确定不等式对应的平面区域即可【解答】解：当x=0，y=0时，3x4y+6=60，原点位于不等式3x4y+60表示的平面区域内，不等式3x4y+60表示的平面区域位于直线3x4y+6=0的左上方故选：C6如图给出的是计算的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）Ai20
11、Bi20Ci10Di10【考点】循环结构【分析】由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，可知当条件满足时，用+s的值代替s得到新的s，并用n+2代替n、用i+1代替i，直到条件满足时，输出最后算出的s值由此结合题意即可得到本题答案【解答】解：由题意，该程序按如下步骤运行经过第一次循环得到s=，n=4，i=2；经过第二次循环得到s=+，n=6，i=3；经过第三次循环得到s=+，n=8，i=4；看到S中最后一项的分母与i的关系是：分母=2（i1）20=2（i1）解得i=11时需要输出所以判断框的条件应为i10故选D7目标函数z=x+y，变量x，y满足，则（）Azmin=2，zmax=3
12、Bzmin=2，无最大值Czmax=3，无最小值D既无最大值，也无最小值【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求目标函数z=x+y的最值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=x+y得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点C时，直线y=x+z的截距最小，此时z最小由，解得，即C（2，0），代入目标函数z=x+y得z=2+0=2即目标函数z=x+y的最小值为2无最大值故选：B8已知不等式（x+y）（+）9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A2B4C6D8【考点】基本不等式在最值问题中的应
13、用【分析】求（x+y）（）的最小值；展开凑定值【解答】解：已知不等式（x+y）（）9对任意正实数x，y恒成立，只要求（x+y ）（）的最小值992或4（舍去），所以正实数a的最小值为4，故选项为B二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9用辗转相除法或更相减损术求459与357的最大公约数是51【考点】用辗转相除计算最大公约数【分析】根据辗转相除法：用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数【解答】解：辗转相除法：459=3571+102，357=1023+51，102=512故459和3
14、57的最大公约数是51，故答案为：5110某中学高一有400人，高二有320人，高三有280人，用简单随机抽样方法抽取一个容量为n的样本，已知每个人被抽取到的可能性大小为0.2，则n=200【考点】简单随机抽样【分析】根据抽样的性质，每个个体被抽到的概率相等，建立方程即可【解答】解：在抽样中，每个个体被抽到的概率相等，则n=0.2=10000.2=200，故答案为：20011已知两个正变量x，y，满足x+y=4，则使不等式+m恒成立的实数m的取值范围是（，当x=，y=时等号成立【考点】基本不等式【分析】运用乘1法，可得+=（x+y）（+）=（5+），由基本不等式可得最小值，进而得到m的范围和相
15、应x，y的值【解答】解：x0，y0，且x+y=4，可得+=（x+y）（+）=（5+）（5+2）=，当且仅当y=2x=， +取得最小值，由不等式+m恒成立，可得m故答案为：（，12如图所示，如果执行如图所示的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p=2520【考点】程序框图【分析】通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果【解答】解：模拟执行程序，可得n=6，m=4，k=1，p=1p=3不满足条件k4，执行循环体，k=2，p=12不满足条件k4，执行循环体，k=3，p=60不满足条件k4，执行循环体，k=4，p=360不满足条件k4，执行循环体，k=5，p=2520满足
16、条件km，退出循环，输出p的值为2520故答案为：252013如图，在矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（2，0）且点C与点D在函数f（x）=的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为【考点】几何概型【分析】根据函数的解析式求出A，C，D的坐标，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可【解答】解：B的坐标为（2，0），当当x=2时，f（2）=2+1=3，即C（2，3），由f（x）=x+1=3，得x=4，即D（4.3），A（4，0），则矩形ABCD的面积S=63=18，阴影部分的面积S=，则对应的面积S=，故答案为：14设xy满足约束条件，若目标函数z=
17、abx+y（a0，b0）的最大值为13，则a+b的最小值为6【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求a+b的最小值【解答】解：由z=abx+y（a0，b0）得y=abx+z，作出可行域如图：a0，b0，直线y=abx+z的斜率为负，且截距最大时，z也最大平移直线y=abx+z，由图象可知当y=abx+z经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大由，解得，即A（1，4）此时z=ab+4=13，即ab=9，则a+b=2=23=6，当且仅当a=b=3时取=号，故最小值为6，故答案为：6三.解答题：6题52分解答应写出文字说明，证明
18、过程或演算步骤.15一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为40秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为50秒（没有两灯同时亮），当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？（1）红灯；（2）黄灯；（3）不是红灯【考点】几何概型【分析】根据几何概型的概率公式分别进行求解即可【解答】解：全部时间为40+5+50=95秒，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型，记“看见红灯”为事件A，“看见黄灯”为事件B，“看见绿灯”为事件C，“看见的不是红灯”为事件D，则（1）P（A）=（2）P（B）=（3）P（D）=P（B）+P（C）=16雾霾天气是一种大气污染状态，PM2.5被认为是造成雾霾天气的“元凶”，PM
19、2.5日均值越小，空气质量越好国家环境标准设定的PM2.5日均值（微克/立方米）与空气质量等级对应关系如表：PM2.5日均值（微克/立方米）035357575115115150150250250以上空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染由某市城市环境监测网获得4月份某5天甲、乙两城市的空气质量指数数据，用茎叶图表示，如图所示（）试根据统计数据，分别写出两城区的PM2.5日均值的中位数，并从中位数角度判断哪个城区的空气质量较好？（）考虑用频率估计概率的方法，试根据统计数据，估计甲城区某一天空气质量等级为3级轻度污染的概率；（）分别从甲、乙两个城区的统计数据中任取
20、一个，试求这两城区空气质量等级相同的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图【分析】（I）由茎叶图可知甲乙两个城市5天数据由小到大排列，求出中位数，比较两个中位数的大小可得哪个城市的空气质量较好；（II）由茎叶图可知在抽取的五天中，甲城市空气质量等级为3级轻度污染的频数为3，进而得到频率，进而估算出概率；（）从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，共有25种不同情况，统计这两个城市空气质量等级相同的情况个数，代入古典概型概率计算公式可得答案【解答】解：（）甲城市5天数据由小到大排列：59，83，87，95，116，乙城市5天数据由小到大排列：66，68，85，88，98，甲的中位
21、数是87，乙的中位数是85，乙城市的空气质量较好（）根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为3级轻度污染的频率为，则估计甲城市某一天的空气质量等级为3级轻度污染的概率为（）设事件A：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记为：（59，66），（59，68），（59，85），（59，88）（59，98）（83，66），（83，68），（83，85），（83，88）（83，98）（87，66），（87，68），（87，85），（87，88）（87，98）（95，66），（95，
22、68），（95，85），（95，88）（95，98），其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为2级良的为甲59，乙66，乙68；同为3级轻度污染的为甲83，甲87，甲95； 乙85，乙88，乙98；则空气质量等级相同的为：（59，66），（59，68），（83，85），（83，88），（83，98），（87，85），（87，88），（87，98），（95，85），（95，88），（95，98），共11个结果所以这两个城市空气质量等级相同的概率为17已知D是以点A（4，1），B（1，6），C（2，3）为顶点的三角形区域（包括边界及内部）（1）写出表示区域D的不等式组；（2）设点B（1，6）、C
23、（2，3）在直线4x3ya=0的异侧，求a的取值范围；（3）若目标函数z=kx+y（k0）的最小值为k6，求k的取值范围【考点】简单线性规划【分析】（1）先分别求出AB，BC，AB的方程，结合二元一次不等式组表示平面区域进行表示，（2）根据点与直线的位置关系转化为二元一次不等式关系进行求解即可（3）根据线性规划的知识建立直线斜率关系进行求解即可【解答】解：（1）A（4，1），B（1，6），C（2，3）为顶点，则直线方程AB：得7x5y23=0，AC：，即x+3y7=0，BC：，即9x+y+15=0，则对应的不等式组为（2）点B（1，6）、C（2，3）在直线4x3ya=0的异侧，将点的坐标分别代
24、入得（14a）（17a）0，即（a14）（a+17）0，得17a14（3）z=kx+y（k0）的最小值为k6，这也是将点B（1，6）的坐标代入的结果，B是目标函数的最优解，y=kx+z，0kkAB或kBCk0，（k0，这种情况不存在）kAB=，0k，即k018已知x0，y0，且2x+8yxy=0，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值【考点】基本不等式【分析】（1）利用基本不等式构建不等式即可得出；（2）由2x+8y=xy，变形得+=1，利用“乘1法”和基本不等式即可得出【解答】解：（1）x0，y0，2x+8yxy=0，xy=2x+8y2，8，xy64当且仅当x=4y=16时取等号故xy
25、的最小值为64（2）由2x+8y=xy，得： +=1，又x0，y0，x+y=（x+y）=10+10+=18当且仅当x=2y=12时取等号故x+y的最小值为1819某市司法部门为了宣传宪法举办法律知识问答活动，随机对该市1868岁的人群抽取一个容量为n的样本，并将样本数据分成五组：18，28），28，38），38，48），48，58），58，68），再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的比例第1组18，28）50.5第2组28，38）18a第3组38，48）270.
26、9第4组48，58）x0.36第5组58，68）30.2（1）分别求出a，x的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【分析】（1）由回答对的人数：每组的人数=回答正确的概率，分别可求得要求的值；（2）由分层抽样按比例抽取的特点可得各组的人数；（3）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，列举可得从6名学生中任取2名
27、的所有可能的情况，以及其中第2组至少有1人的情况种数，由古典概型可得概率【解答】解：（1）第1组人数50.5=10，所以n=100.1=100，第2组频率为：0.2，人数为：1000.2=20，所以a=1820=0.9，第4组人数1000.25=25，所以x=250.36=9，（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人（3）记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A，抽取的6人中，第2组的设为a1，a2，第3组的设为b1，b2，b3，第4组的设为c，则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a
28、1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c）其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c） P（A）= 答：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为20某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产
29、生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：产品A（件）产品B（件）研制成本、搭载费用之和（万元）2030计划最大资金额300万元产品重量（千克）105最大搭载重量110千克预计收益（万元）8060试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？【考点】简单线性规划的应用【分析】我们可以设搭载的产品中A有x件，产品B有y件，我们不难得到关于x，y的不等式组，即约束条件和目标函数，然后根据线行规划的方法不难得到结论【解答】解：设搭载产品Ax件，产品By件，预计总收益z=80x+60y则，作出可行域，如图作出直线l0：4x+3y=0并平移，由图象得，当直线经过M点时z能取得最大值，解得，即M（9，4）所以zmax=809+604=960（万元）答：搭载产品A9件，产品B4件，可使得总预计收益最大，为960万元2016年8月3日
