1、九江三中2020-2021学年度下学期期中考试试卷高二数学（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1已知集合，则（ ）ABCD2若复数满足，则（ ）ABCD3下列函数中，在单调递增且图象关于坐标原点对称的是（ ）ABCD42020年11月24日凌晨4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭把嫦娥五号探测器顺利地送入预定轨道，开启我国首次外太空采样返回之旅据科学家们测算：火箭的最大速度至少达112千米/秒时，可将嫦娥五号探测器顺利送入外太空若火箭的最大速度（单位：米/秒）、燃料的质量（单位：吨）和嫦娥五号探测器的质量（单位：吨）近似满足函数关系式，当燃料质量与嫦娥五号探测器质
2、量的比值至少为（ ）顺利送入外太空A9B99C999D99995已知平面向量，满足，且，则与的夹角为（ ）ABCD6已知两个平面，直线，直线，则下列命题正确的是（ ）A若，则B若，则C若，相交，则D若，相交，则7己知角的终边与单位圆交于点，则（ ）ABCD8某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为60秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待25秒才出现绿灯的概率为（ ）ABCD9已知样本数据为，该样本平均数为2021，方差为1，现加入一个数2021，得到新样本的平均数为，方差为，则（ ）A，B，C，D，10在中，则的面积的最大值为（ ）AB1CD11乔家大院是著名的旅游
3、景点，在景点的一面墙上，雕刻着如图（1）所示的浮雕，很好地展现了灿烂辉煌的“晋商文化”某陶艺爱好者，模仿着烧制了一个如图（2）的泥板作品，但在烧制的过程中发现，直径为的作品烧制成功后直径缩小到若烧制作品的材质、烧制环境均不变，那么想烧制一个体积为的正四面体，烧制前的陶坯棱长应为（ ）ABCD12设，是双曲线的左、右焦点，一条渐近线方程为，为双曲线上一点，且，则的面积等于（ ）A6B12CD二、填空题（本大题共4小题，共20分）13曲线在点处的切线方程为_.14设，则，的大小关系是_.（按照从大到小的顺序排列）15若双曲线的左焦点在抛物线的准线上，则_.16函数，有下列命题：的表达式可改写为；直
4、线是函数图象的一条对称轴；函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到；满足的的取值范围是.其中正确的命题序号是_.（注：把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共70分）（一）必考题：共60分17已知公差不为0的等差数列满足，且，成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和18如图，已知点为正方形所在平面外一点，是边长为2的等边三角形，点是线段的中点，平面平面（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积192020年10月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见，某地积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能，决
5、定在2021年体育中考中再增加一定的分数，规定：考生须参加立定跳远、掷实心球、一分钟跳绳三项测试，其中一分钟跳绳满分20分学校为掌握九年级学生一分钟跳绳情况，随机抽取了100名学生测试，其成绩均在间，并得到如图所示频率分布直方图，计分规则如表：一分钟跳绳个数得分1617181920（1）补全频率分布直方图若每分钟跳绳成绩为16分，则认为该学生跳绳成绩不合格，求在进行测试的100名学生中跳绳成绩不合格的人数为多少?（2）学校决定由这次跳绳测试得分最高的学生组成“小小教练员”团队，小明和小华是该团队的成员，现学校要从该团队中派2名同学参加某跳绳比赛，求小明和小华至少有一人被选派的概率20已知椭圆的
6、离心率是，椭圆过点.（1）求椭圆的方程；（2）已知，是椭圆的左、右焦点，过点的直线（不过坐标原点）与椭圆交于，两点，求的取值范围21已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）设函数，若在内有且仅有一个零点，求实数的取值范围（二）选考题：共10分请考生在第22，23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图就是在平面直角坐标系的“心形曲线”，又名心形线如果以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，其心形线的极坐标方程为.（1）求心形线的直角坐标方程；（2）已知直线过点，且倾斜角为120，若直线与心形线交于，两点求的值23设函数（1）求
7、不等式的解集；（2）若的最小值是，且，求的最小值九江三中2020-2021学年度下学期期中考试参考答案高二数学（文科）1A 2C 3D 4B 5C 6C7C 8C 9B 10D 11C 12A13141561617解：（1）设等差数列的公差为，由题意，解得.数列的通项公式；（2）数列的前项和.18（1）证明：连接，设，连接，因为底面是矩形，所以为的中点，又因为是的中点，所以为的中位线，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）解：在正方形中，又因为平面平面，且平面平面，所以平面，因为为等边三角形，且为线段的中点，所以，所以.19解：（1）如图补全频率分布直方图如下：若一分钟跳绳成绩为16分，则一分
8、钟跳绳个数在，根据频率分布直方图100名学生中跳绳成绩不合格人数为：（人）（2）跳绳测试得分最高的学生一分钟跳绳个数在，根据频率分布直方图，其人数为：（人），记小明为，小华为，其余四人为，则在这六人中选两人参加比赛的所有情况如下：，共15种，其中小明和小华至少有一个被选派的情况有：，共9种，小明和小华至少有一人被选派的概率为：.20解：（1）由条件知，解得，因此椭圆的方程为（2）设，则，设直线的方程为，代入椭圆的方程消去，得，由韦达定理得，则，.21解：（1）的定义域为，当时，令，得到；令，得到或，此时在上为减函数，在和上为增函数；当时，显然恒成立，此时在上为增函数；当时，令，得到，令，得到或
9、，此时在上为减函数，在或上为增函数；综上：当时，在上为减函数，在和上为增函数；当时，在上为增函数；当时，在上为减函数，在和上为增函数（2），在上有且仅有一个零点，即关于的方程在上有且仅有一个实数根，令，则，令，则，故在上单调递减，所以，即当时，所以在上单调递减，又，则，所以的取值范围是.22解：（1）心形线的极坐标方程为，根据，整理得，转换为直角坐标方程为.（2）直线过点，且倾斜角为120，转换为参数方程为（为参数），由于直线只能与轴的右侧的部分相交，故把直线的参数方程为（为参数），代入，整理得，所以.23解：（1），因为，所以或或，解得或，故不等式的解集为.（2）由（1）可知的最小值为2，即，所以，则，当且仅当，即，时等号成立，故的最小值为8
