1、第 4 讲 定积分的概念与微积分基本定理一、选择题1以初速度 40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度 v4010t2，则此物体达到最高时的高度为()A.1603 m B.803 m C.403 m D.203 m 解析 v4010t20，t2，02(4010t2)dt 40t103 t32040210381603(m)答案 A 2已知 f(x)2|x|，则21f(x)dx 等于()A3 B4 C.72D.92解析 f(x)2|x|2xx0，2xx0)，由 f(0)0，得 c0.f(x)2axb，因过点(1,0)与(0,2)，则有2a1b0，2a0b2，a1，b2.f(x)x22x，则
2、 f(x)的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 S02(x22x)dx13x3x20213(2)3(2)243.答案 B4已知 ai1n 1nin2，nN*，b01x2dx，则 a，b 的大小关系是()Aab Bab Cab D不确定 答案 A 5下列积分中 1e1xdx；22x dx；02 4x2dx；20cos 2xxsin xdx，积分值等于 1 的个数是()A1 B2 C3 D4 解析 1e1xdxln xe11，22xdx12x2220，02 4x2dx 1(1422)1，20cos 2x2cos xsin xdx1220(cos xsin x)dx 12(sin xcos)|2
3、 01.答案 C 6如图所示，在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内，曲线 yx2 和曲线 y x围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形 AOBC 内随机投一点(该点落在正方形 AOBC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是()A.12B.16C.14D.13解析 依题意知，题中的正方形区域的面积为 121，阴影区域的面积等于01(xx2)dx23x3213x31013，因此所投的点落在叶形图内部的概率等于13，选 D.答案 D二、填空题7如果 10 N 的力能使弹簧压缩 10 cm，为在弹性限度内将弹簧拉长 6 cm，则力所做的功为_ 解析 由 F(x)kx，得 k100，
4、F(x)100 x，W0.060 100 xdx0.18(J)答案 0.18 J 8曲线 y1x与直线 yx，x2 所围成的图形的面积为_ 答案 32ln 2 9已知 f(x)2x1，x2，2，1x2，x2，4若k3f(x)dx403(k2)则 k_.解析 k3f(x)dxk2(2x1)dx23(1x2)dx403，所以得到 k2k0，即 k0或 k1.答案 0 或110设 f(x)xnax 的导函数为 f(x)2x1 且12f(x)dxm，则mx1612 展开式中各项的系数和为_解析 因为 f(x)xnax 的导函数为 f(x)2x1.故 n2，a1.所以12f(x)dx12(x2x)dx1
5、3x312x22156m 所以mx1612 展开式中各项的系数和为5616121.答案 1三、解答题11已知 f(x)是一次函数，且01f(x)dx5，01xf(x)dx176，求12fxx dx 的值解 f(x)是一次函数，可设 f(x)axb(a0)01f(x)dx01(axb)dx12ax2bx 10 12ab.12ab5.又01xf(x)dx01x(axb)dx13ax312bx210 13a12b.13a12b176.解得 a4，b3，f(x)4x3，12fxx dx124x3xdx1243x dx(4x3ln x)21 43ln 2.12如图所示，直线 ykx 分抛物线 yxx2
6、与 x 轴所围图形为面积相等的两部分，求 k 的值解 抛物线 yxx2 与 x 轴两交点的横坐标为 x10，x21，所以，抛物线与 x 轴所围图形的面积S01(xx2)dxx2213x31016.又抛物线 yxx2 与 ykx 两交点的横坐标为x30，x41k，所以，S21k0(xx2kx)dx1k2 x213x31k016(1k)3.又知 S16，所以(1k)312，于是 k13 1213 42.13在区间0,1上给定曲线 yx2.试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积 S1 与 S2 之和最小，并求最小值解 面积 S1 等于边长为 t 与 t2 的矩形面积去掉曲线yx2 与 x
7、 轴、直线 xt 所围成的面积，即 S1tt20tx2dx23t3.S2 的面积等于曲线 yx2 与 x 轴，xt，x1 围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为 t2,1t，即 S2t1x2dxt2(1t)23t3t213.所以阴影部分面积 SS1S243t3t213(0t1)令 S(t)4t22t4tt12 0 时，得 t0 或 t12.t0 时，S13；t12时，S14；t1 时，S23.所以当 t12时，S 最小，且最小值为14.14.已知二次函数 f(x)3x23x，直线 l1：x2 和 l2：y3tx(其中 t 为常数，且 0t1)，直线 l2与函数 f(x)的图象以及直线 l1、l2与函数 f(x)的图象所围成的封闭图形如图 K153，设这两个阴影区域的面积之和为 S(t)(1)求函数 S(t)的解析式；(2)定义函数 h(x)S(x)，xR.若过点 A(1，m)(m4)可作曲线 yh(x)(xR)的三条切线，求实数 m 的取值范围 解析 (1)由 y3x23x，y3tx得 x2(t1)x0，所以 x10，x2t1.所以直线 l2与 f(x)的图象的交点的横坐标分别为 0，t1.因为 0t1，所以 1t10，得 x01 或 x01；由 g(x0)0，得1x00，m40，即4m4.故实数 m 的取值范围是(4,4)
