1、高考总复习数学（理科）第二章 函数、导数及其应用第十六节 定积分及其简单应用考 纲 要 求考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，了解微积分基本定理的含义考纲要求考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课 前 自 修考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接一、连续曲线课前自修一般地，如果函数yf(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I上的_基 础 回 顾 连续曲线考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接二、以直代曲求曲边梯形的面积的方法与步骤课前自修1分割：n 等分区间a，b2近似代替：取点 ixi1
2、，xi.3求和：i1nf(i)ban.4取极限：考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接三、定积分的定义课前自修如果函数 f(x)在区间a，b上的图象是连续曲线，用分点 ax0 x1x2xi1xixnb 将区间a，b等分成 n 个小区间在每个小区间xi1，xi 上任取一点 i(i1，2，n)，作和式_，当 n时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间a，b上的_，记作_，即其中 f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式，b，a分别叫做积分上限和下限，区间a，b叫做积分区间，“”称为积分号定积分f(x)dx考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自
3、修四、定积分f(x)dx的实质1当 f(x)在区间a，b上大于 0 时，f(x)dx 表示_，这也是定积分的几何意义(如图)2当 f(x)在区间a，b上小于 0 时，f(x)dx 表示_(如图)由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修3当 f(x)在区间a，b上有正有负时，f(x)dx 表示_(如图)介于xa，xb(ab)之间x轴之上、下相应的曲边梯形的面积的代数和考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修一般地，如果 f(x)是闭区间a
4、，b上的连续函数，并且 F(x)f(x)，那么f(x)dx_，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式，可以把 F(b)F(a)记作F(x)|ba，即f(x)dx_其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数五、微积分基本定理(牛顿莱布尼兹公式)F(b)F(a)F(x)|abF(b)F(a)考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修基 础 自 测 1.写成定积分的形式，可记为()A考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修2.(2014福建卷)如图，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_2e2考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链
5、接课前自修解析：联立yex，ye，解得 x1，因为 yex 与 yln x 互为反函数，故所求阴影部分面积 S2(eex)dx2，故所求概率 P2e2.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修3(2014江西卷)若 f(x)x22 f(x)dx，则f(x)dx()A1 B13C.13D1 B解析：不妨设f（x）dxk，则 f(x)x22f(x)dxx22k，所以f(x)dx(x22k)dx(13x32kx)10132kk，得 k13，即f(x)dx13，故选 B.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接课前自修4 (2013 湖 南 卷)若x2dx 9，则 常 数 T 的 值 为_ 3
6、解析：x2dxx33 T0T33 9，解得 T3.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接六、基本的积分公式课前自修0dx C；xmdx 1m1xm1C(mQ，m1)；1x dxln|x C；exdx exC；axdx axln aC；cos xdx sin xC；sin xdx cos xC(各式中的 C 均为常数)考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接七、定积分的性质课前自修1.kf(x)dx_(k 为常数)2.f(x)g(x)dx_3.f(x)dx_(其中 acb)kf(x)dxf(x)dxg(x)dxf(x)dxf(x)dx考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接八、利用函数的奇偶性
7、求定积分课前自修若 f(x)是a，a上的奇函数，则f(x)dx0；若 f(x)是a，a上的偶函数，则f(x)dx2f(x)dx.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接九、定积分的求法课前自修1定义法(用微分思想求曲边梯形的面积：分割、近似代替、求和、取极限)2牛顿莱布尼兹公式法3几何意义法：若 yf(x)，x 轴与直线 xa，xb 之间的各部分区域是可求面积的规则图形，则可直接求其面积如求1x2dx.4利用奇、偶函数的性质考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接十、定积分的简单应用课前自修1定积分在几何中的应用：如图，曲线 yf(x)，yg(x)与直线 xa，xb 围成的曲边梯形面积 S f
8、(x)g(x)dx.2定积分在物理中的应用：(1)变速直线运动的路程：运动速度为 V(t)，则在 ta 到 tb时间内物体的位移为 Sv(t)dt；(2)变力作功：力 F 是位移 s 的函数，则在 sa 到 sb 位移内力所做的功为 WF(s)ds.3定积分与其他知识的综合考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考 点 探 究考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点1 根据牛顿莱布尼兹公式求定积分考点探究【例 1】求下列定积分(1)11|x|dx；(2)30|2x|dx；(3)0 cos2 x2dx；(4)2 0cos 2xcos xsin xdx.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接
9、考点探究思路点拨：求出被积函数的原函数，用微积分基本定理进行求解，计算f(x)dx 的关键是找到满足 F(x)f(x)的函数 F(x)其中 F(x)可将基本初等函数的导数公式逆向使用得到 自主解答：点评：计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究(4)(cos xsin x)dx(sin xcos x)|
10、2 02.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究变式探究1计算下列定积分的值：考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究解 析：(1)（4xx2）dx 2x2x33|31 232333 2（1）2（1）33203.(2)16（x1）6(x1)5，（x1）5dx16(x1)6|2116.(3)2 0(xsin x)dxx22 cos x|2 01222cos 2(01)28 1.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点2 利用定积分的性质求定积分考点探究【例 2】计算下列定积分：(1)|sin x|dx；(2)|x21|dx；(3)(xcos x3 x2)dx.思路点拨：对于
11、第(1)小题，应对 sin x 在区间0，2上的正负进行分情况计算而对于第(2)小题，在 0 x2 的条件下，对 x21的正、负情况进行讨论对于第(3)小题，利用奇函数在关于原点对称的积分区间上的积分值为 0，偶函数在关于原点对称的区间上的定积分相等去求解 自主解答：考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究点评：(1)当被积函数含有绝对值(或平方根)时，须按绝对值内的正负号将定积分区间分段，然后按区间的可加性逐段积分；同样，当被积函数为分段函数时，也须按函数的定义的分段情形相应的逐段积分(2)函数的奇偶性又是解决定积分有关问题的重要工具，利用这两点能简捷地解决定积分的有关问题，结论如下
12、：设函数 f(x)在闭区间a，a上的图象是连续曲线，若 f(x)是偶函数，则f(x)dx2f(x)dx；若 f(x)是奇函数，则f(x)dx0.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究解析：(1)(cos x)sin x，cos x|0 cos x|2(cos cos 0)(cos 2cos)4.(2)0 x2，于是|x21|1x2，0 x1，x21，1x2，|x21|dx(1x2)dx(x21)dx x13x3|10 13x3x|21113 13232 131 2.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究(3)yxcos x，x1，1 是一个奇函数，xcos xdx0.y 3
13、 x2，x1，1 是一个偶函数，原式3 x2dx235x53|1065.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究变式探究2.(sin xx3)dx_0解析：由于函数 ysin xx3 在区间2，2上是一个奇函数，图象关于原点成中心对称，在 x 轴上方和下方面积相等，故该区间上定积分的值为面积的代数和，等于 0，即22(sin xx3)dx0.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点3 求分段函数的定积分考点探究【例 3】求ln3xxdx.思路点拨：ln3xx首先是通过绝对值表示的分段函数，同时又是复合函数 yln3x 与函数 y1x的运算式，所以我们在计算时必须先把积分区间1e，e
14、 分段，再换元积分或凑变量完成 解析：ln3xxln3xx，1ex1，ln3xx，1xe，考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究 ln3xxdxln4x4|11eln4x4|e1ln414 ln41e4 ln4e4 ln414 12.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究变式探究3.21|32x|dx_12解析：21|32x|dx321|32x|dx232|32x|dx321(32x)dx232(2x3)dx(3xx2)321(x23x)23212.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点4 根据定积分的几何意义求定积分考点探究【例 4】用定积分的几何意义求以下定积分的
15、值：(1)22 2x2dx;(2)(1（x1）2x)dx.思路点拨：(1)根据定积分的几何意义，利用平面几何知识可得面积；(2)可利用定积分的几何意义及公式一起解决 解析：(1)22 2x2dx 表示半圆 y 2x2的面积，利用平面几何知识可得面积为，22 2x2dx.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究(2)(1（x1）2x)dx1（x1）2dxxdx，前者的被积函数 y 1（x1）2(0 x2)恰是一个位于 x 轴上方的半圆，其面积为4，而后者可用公式求得为12，故(1（x1）2x)dx4 12.点评：根据定积分的几何意义，可将一些特殊函数的定积分转化为利用平面几何知识求某些规
16、则图形的面积考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究变式探究4(2014陕西卷)定积分10(2xex)dx 的值为()Ae2 Be1CeDe1C解析：根据微积分基本定理可得10(2xex)dx(x2ex)|10e，故选 C.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点5 求曲边梯形的面积考点探究【例 5】求抛物线 y22x 与直线 y4x 围成的平面图形的面积思路点拨：先求出抛物线 y22x 与直线 y4x 的交点，将积分区间确定，再求定积分 解析：由方程组y22x，y4x 解出抛物线和直线的交点为(2，2)及(8，4)考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究方法一 选 x 作
17、为积分变量，由右图可看出 SA1A2.在 A1 部分：由于抛物线的上半支方程为 y 2x，下半支方程为y 2x，所以 SA1 2x(2x)dx 2 2x12dx2 223x32|20163，SA24x(2x)dx 4x12x22 23 x32|82383，于是 SSA1SA2163 383 18.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究方法二 选 y 作积分变量，将曲线方程写为 xy22 及 x4y(如右图所示)，则 S（4y）y22 dy4yy22 y36|24301218.点评：对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大概图形，然后根据图形的特点，选择相应的积分变量以确定积分
18、区间，写出图形面积的积分表达式，再进行求解在本题中，显然方法二中选用 y 作积分变量更简捷考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究变式探究5(2013梅州二模)已知 min a，ba，ab，b，ab.设 f(x)min x3，1x，则由函数 f(x)的图象与 x 轴、直线 xe 所围成的封闭图形的面积为_54解析：由 x31x，可得 x1，所以图象的交点为(1，1)，(1，1)，f(x)min x3，1x，函数 f(x)的图象与 x 轴、直线 xe 所围成的封闭图形的面积为10 x3dxe11xdx14x4|10ln x|e114154.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点6
19、定积分的物理意义的应用考点探究【例 6】一辆汽车的 vt 曲线如图所示，求此汽车在这 1 min内所行驶的路程解析：由 vt 曲线易知，v(t)3t，t0，10），30，t10，40），1.5t90，t40，60.由变速直线运动的路程公式可得 考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究故此汽车在这1 min内所行驶的路程是1 350 m.点评：利用定积分求加速度或路程(位移)，要先根据物理知识得出被积函数，再确定时间段，最后用求定积分方法求出结果考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究变式探究6(2013湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t)7
20、3t 251t(t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A125ln 5 B825ln 113C425ln 5 D450ln 2C解析：令 v(t)73t 251t0，则 t4，汽车刹车的距离是4073t 251t dt425ln 5，故选 C.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点7 定积分与其他知识的综合考点探究【例 7】(1)已知 f(x)(1x2t)dt(x0)，求 f(x)的最小值(2)若函数 f(x)ax2bxc(a0)，且 f(1)4，f(1)1，f(x)dx316，求函数 f(x)的解析式思路点拨：(1)求积分时 x 看成
21、常数，t 是积分变量，求积分后即转化为求二次函数的最值，注意应用条件 x0.(2)由题设条件列出关于 a，b，c 的方程组进行求解，即可得结论 考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究解析：(1)f(x)(1x2t)dt(txtt2)|x0 xx2x22x2x(x0)，f(x)2x2x2x14218，又 x0，f(x)0.f(x)的最小值是 0.(2)由题意知 f(1)abc4，f(1)2ab1，又由f(x)dx(ax2bxc)dx316，知 a3b2c316，联立，解得 a1，b3，c2，从而所求的函数 f(x)的解析式为 f(x)x23x2.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接
22、考点探究点评：(1)解决此类问题应注意积分式中的积分变量是什么，切忌想当然(2)类似于此种类型的题目，应先根据题设条件求出定积分的值，将问题转化为关于a，b，c的方程组，再进行求解考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究变式探究7.如图，设点P从原点沿曲线yx2向点A(2，4)移动，记直线OP、曲线yx2及直线x2所围成的面积分别记为S1，S2，若S1S2，求点P的坐标考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接考点探究解析：设直线 OP 的方程为 ykx，P 点的坐标为(x，y)，则x0(kxx2)dx2x(x2kx)dx，即12kx213x3|x013x312kx2|2x，解得12kx
23、213x3832k13x312kx2，解得 k43，即直线 OP 的方程为 y43x，所以点 P 的坐标为43，169.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接感 悟 高 考考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接感悟高考考情播报1.定积分的计算、定积分在物理中的应用及利用定积分求平面图形的面积是近几年高考命题的热点.2.常与解析几何、函数、概率等相结合命题.3.题型多以选择题、填空题为主，属中低挡题.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接感悟高考品 味 高 考解析：利用定积分的几何意义知B正确1(2013江西卷)若 S121x2dx，S2211xdx，S321exdx，则 S1，S2，S3
24、 的大小关系为()AS1S2S3BS2S1S3CS2S3S1DS3S2S1B考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接感悟高考2(2014山东卷)直线 y4x 与曲线 yx3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A2 2 B4 2C2 D4D解析：结合图形可得封闭图形的面积为 S(4xx3)dx(2x214x4)|204，故选 D.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接感悟高考高 考 测 验1(2014梅州一模)如图，设 D 是图中边长为 2 的正方形区域，E 是函数 yx3 的图象与 x 轴及 x1 围成的阴影区域向 D 中随机投一点，则该点落入 E 中的概率为()A.116B.18C.1
25、4D.12B考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接感悟高考解析：利用定积分求出曲边形的面积，代入几何概型的概率公式求解阴影区域的面积为 2x3dx214x41012，又正方形的面积为 4，所以该点落入 E 中的概率为18，故选 B.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接感悟高考2已知 f(x)x2axa(a2，xR)，g(x)ex，(x)f(x)g(x)(1)当 a1 时，求(x)的单调区间；(2)求 g(x)在点(0，1)处的切线与直线 x1 及曲线 g(x)所围成的封闭图形的面积 S.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接感悟高考解析：(1)当 a1 时，(x)(x2x1)ex，(x)ex(x2x)(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(，0)，(1，)(2)切线的斜率为 kg(0)ex|x01，切线方程为 yx1.g(x)在点(0，1)处的切线 yx1 与直线 x1 及曲线 g(x)ex 所围成的封闭图形如下图所示 考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接感悟高考故所求封闭图形面积为 S e x (x 1)dx(e x x 1)dx ex12x2x|10121e.考纲要求课前自修考点探究感悟高考栏目链接
