1、南开大学附属中学2021届高三年级第一次月考数学学科试卷一、选择题(共9小题;共45分)1. 设,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题首先可以根据题意得出集合以及集合或,然后根据补集的相关性质得出,最后根据交集的相关性质即可得出结果.【详解】因为集合中,所以,解得,集合,因为集合中,所以,解得或,集合或,则,故选:C.【点睛】本题考查集合的运算,主要考查补集以及交集的相关性质,考查函数的定义域,能否明确集合中包含的元素是解决本题的关键,考查计算能力,是简单题.2. 设,“”是“复数是纯虚数”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既
2、不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】当a=0时,如果b=0,此时是实数,不是纯虚数,因此不是充分条件;而如果已经是纯虚数,由定义实部为零,虚部不为零可以得到a=0,因此是必要条件,故选B【考点定位】本小题主要考查的是充分必要条件,但问题中又涉及到了复数问题,复数部分本题所考查的是纯虚数的定义3. 命题,有的否定形式是( )A. ,有B. ,使C. ,使D. ,使【答案】D【解析】【分析】由命题的否定的概念求解,注意存在题词与全称题词的互换【详解】命题,有的否定形式是,使故选:D【点睛】本题考查命题的否定,书写命题的否定时,除否定结论处,存在题词与全称题词必须互换4. 函数( )A. B
3、. C. D. 【答案】A【解析】【详解】由于函数为偶函数又过(0,0),排除,所以直接选A.【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查,注意函数的特征即可,属于简单题.5. 复数( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算法则即可求解.【详解】,故选:B【点睛】本题主要考查了复数的除法运算法则,属于基础题.6. 已知,则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用对数式的运算性质比较a与b的大小,再比较b,c与2的大小关系得答案【详解】alog232,blog46,c0.41.2,cab故选C【点睛】本题考查对数值的大小比较,考查对数函数与指数函数的性
4、质,是基础题7. 是上的单调递增函数,则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】依题意得到不等式组解得即可.【详解】因为函数在单调递增,所以,解得,即故选:【点睛】本题考查分段函数的性质,由函数的单调性求参数的取值范围,属于基础题.8. 设函数f(x)=cos(x+),则下列结论错误的是A. f(x)的一个周期为2B. y=f(x)的图像关于直线x=对称C. f(x+)的一个零点为x=D. f(x)在(,)单调递减【答案】D【解析】f(x)的最小正周期为2,易知A正确;fcoscos31,为f(x)的最小值,故B正确;f(x)coscos,fcoscos0,故C
5、正确;由于fcoscos1,为f(x)的最小值,故f(x)在上不单调,故D错误故选D.9. 已知函数函数,其中.若函数恰有4个零点,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,即y=b与h(x)=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点,求出并化简的解析式,画出图象可得实数b的取值范围【详解】因为,即,所以,由y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b=0.得b=f(x)+f(2-x),令h(x)=f(x)+f(2-x)=,函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,即y=b与h(x)=f(x)+f(2-x)的图象有4个
6、不同的交点,作出函数图形如图:结合函数的图象可得,当时,函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,所以实数b的取值范围是故选:D.【点睛】本题考查函数零点问题的应用,考查函数的图象,考查函数与方程思想和数形结合思想,属于中档题二、填空题(共6小题;共30分)10. 幂函数在上为增函数,则实数_.【答案】【解析】【分析】利用幂函数定义和单调性可得且,联立求解即可.【详解】由幂函数定义得,解得:或因为在上为增函数,所以,即,所以故答案为:【点睛】本题考查了幂函数定义和单调性,属于基础题.11. 已知函数的单调递减区间是_.【答案】【解析】【分析】根据对数复合函数的单调区间方法以及定义域求解即可.【详
7、解】由题,因为为减函数,故求的单调递减区间,即求的单调递增区间,即,又对数函数的定义域有,解得,故的单调递增区间是.故答案为:.【点睛】本题主要考查了对数型复合函数的单调区间,属于基础题.12. 由组成没有重复数字且都不与相邻的六位偶数的个数是_【答案】108【解析】【分析】根据分步计数原理与分类计数原理分类讨论列式求解.【详解】先确定个位数为偶数,有3种方法,再讨论:若5在首位或十位,则1,3有三个位置可选,其排列数为;若5在百位、千位或万位,则1,3有两个位置可选,其排列数为;从而所求排列数为【点睛】本题考查排列组合应用,考查基本分析求解能力,属基本题.13. 已知二项式的展开式中,各项系
8、数的和与各项二项式系数的和之比为64,则展开式中x的系数为_【答案】135【解析】【分析】令二项式中的x1,得到展开式中的各项系数的和,根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n,据已知列出方程求出n的值再运用二项式展开式的通项公式可得答案.【详解】令x1,得各项系数之和为(13)n4n由已知得64,n6,二项式的展开式的通项为Tr1()6rr3rx3r(r6,rN),令3r1,得r2,所以x的系数为9C135故答案为:135.【点睛】本题主要考查二项式中的各项系数和二项式系数的性质和区别,令字母为1是求各项系数之和的常用手段,属于基础题.14. 甲、乙二人做掷骰子游戏,两人掷同一枚骰子各
9、一次,则至少出现一个5点或6点的概率是_;如果谁掷的点数大谁就取胜,则甲取胜的概率为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用分步乘法计数原理求出所有结果;求出至少出现一个5点或6点的包含的结果;利用列举法求出甲取胜包含的基本事件的个数,利用古典概型概率公式求出事件的概率.【详解】两人掷同一枚骰子各一次出现的所有结果有种,至少出现一个5点或6点的包含的结果有种,由古典概型概率公式得至少出现一个5点或6点的概率是,甲获胜包含的结果有:,、,共15个,由古典概型概率公式可得:甲取胜的概率为,故答案为:;【点睛】本题只要考查了分步乘法计数原理以及古典概型概率公式,属于基础题.15. 从某
10、小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50至350度之间,频率分布直方图如图所示:(1)直方图中x值为_;(2)在这些用户中,用电量落在区间100,250)内户数为_【答案】(1)0.0044; (2)70【解析】(1)依题意及频率分布直方图知,0.002450+0.003650+0.006050+x50+0.002450+0.001250=1,解得x=0.0044(2)样本数据落在100,150)内频率为0.003650=0.18,样本数据落在150,200)内的频率为0.00650=0.3样本数据落在200,250)内的频率为0.004450=0.22,故在这些用户中,用电
11、量落在区间100,250)内的户数为(0.18+0.30+0.22)100=70故答案为0.0044;70三、解答题(共5个题;共75分)16. 已知.(1)求的值;(2)求的值.【答案】(1);(2)【解析】【详解】试题分析:(1)利用正切的两角和公式求的值;(2)利用第一问的结果求第二问,但需要先将式子化简,最后变形成关于的式子,需要运用三角函数的倍角公式将化成单角的三角函数,然后分子分母都除以,然后代入的值即可试题解析:(1)由 (2)考点:1.正切的两角和公式;2.正余弦的倍角公式.17. 中,角A,B,C所对的边分别为. 已知.(1)求的值;(2)求的面积.【答案】(1);(2).【
12、解析】【分析】(1)根据求出,根据求出,根据正弦定理求出;(2)先求出,再利用面积公式即可求出.【详解】(1)在中,由题意知,又因为,所有,由正弦定理可得.(2)由得,由,得.所以.因此,的面积.【点睛】本题考查正弦定理和三角形面积公式的应用,属于中档题.18. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(II)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学
13、期望;(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.【答案】()从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人()(i)答案见解析;(ii)【解析】分析:()由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人()(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3且分布列为超几何分布,即P(X=k)=(k=0,1,2,3)据此求解分布列即可,计算相应的数学期望为(ii)由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为详解:()由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此
14、应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人()(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3P(X=k)=(k=0,1,2,3)所以,随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望(ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=BC,且B与C互斥,由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=所以,事件A发生的概率为点睛:本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到
15、的某类个体的个数超几何分布的特征是:考查对象分两类;已知各类对象的个数;从中抽取若干个个体,考查某类个体个数X的概率分布,超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型进行分层抽样的相关计算时,常利用以下关系式巧解:(1) ;(2)总体中某两层的个体数之比样本中这两层抽取的个体数之比19. 已知函数,满足,(1)求函数的解析式;(2)当时,求函数的最大值和最小值.(3)若函数的两个零点分别在区间和内,求的取值范围.【答案】(1);(2),;(3)【解析】【分析】(1)由得,由待定系数法得、的值;(2)利用二次函数的对称轴和单调区间即可求得最值;(3),由题意可得,求解
16、即可.【详解】(1)由得,又,得即,所以, ,解得: , ,所以,(2)对称轴, 所以, 所以,(3),若有2个零点分别区间和内,则 ,即,解得:【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析,考查二次函数的最值,以及零点分布情况,属于中档题.20. 已知函数满足(其中为在点处导数,为常数).(1)求的值;(2)求函数的单调区间;(3)设函数,若函数在上单调,求实数的取值范围.【答案】(1)-1;(2)单调递增区间为和单调递减区间为;(3)或.【解析】【分析】(1)对函数求导后代入,可求得,进而求得函数的解析式;(2)求导后利用直接写出单调区间;(3)化简,利用函数单调递增转化为导数为非负数,由此求得的取值范围.【详解】(1)因为,所以.(2)由(1)得,当 有或,此时函数单调递增;当,有,此时函数单调递减 ,单调递增区间为和单调递减区间为. (3),当在区间上单调递增时,恒成立设,则,即;当在区间上单调递减时,恒成立设,则,即,综上所述,c的取值范围是或.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性并求参数的取值范围.