1、南开大学附属中学2021届高三年级第一次月考数学学科试卷一、选择题(共9小题；共45分)1. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题首先可以根据题意得出集合以及集合或，然后根据补集的相关性质得出，最后根据交集的相关性质即可得出结果.【详解】因为集合中，所以，解得，集合，因为集合中，所以，解得或，集合或，则，故选：C.【点睛】本题考查集合的运算，主要考查补集以及交集的相关性质，考查函数的定义域，能否明确集合中包含的元素是解决本题的关键，考查计算能力，是简单题.2. 设，“”是“复数是纯虚数”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既
2、不充分也不必要条件【答案】B【解析】【详解】当a=0时，如果b=0，此时是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选B【考点定位】本小题主要考查的是充分必要条件，但问题中又涉及到了复数问题，复数部分本题所考查的是纯虚数的定义3. 命题，有的否定形式是（ ）A. ，有B. ，使C. ，使D. ，使【答案】D【解析】【分析】由命题的否定的概念求解，注意存在题词与全称题词的互换【详解】命题，有的否定形式是，使故选：D【点睛】本题考查命题的否定，书写命题的否定时，除否定结论处，存在题词与全称题词必须互换4. 函数（ ）A. B
3、. C. D. 【答案】A【解析】【详解】由于函数为偶函数又过（0，0）,排除，所以直接选A.【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.5. 复数（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算法则即可求解.【详解】，故选：B【点睛】本题主要考查了复数的除法运算法则，属于基础题.6. 已知，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用对数式的运算性质比较a与b的大小，再比较b，c与2的大小关系得答案【详解】alog232，blog46，c0.41.2，cab故选C【点睛】本题考查对数值的大小比较，考查对数函数与指数函数的性
4、质，是基础题7. 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】依题意得到不等式组解得即可.【详解】因为函数在单调递增，所以，解得，即故选：【点睛】本题考查分段函数的性质，由函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.8. 设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是A. f(x)的一个周期为2B. y=f(x)的图像关于直线x=对称C. f(x+)的一个零点为x=D. f(x)在(,)单调递减【答案】D【解析】f(x)的最小正周期为2，易知A正确；fcoscos31，为f(x)的最小值，故B正确；f(x)coscos，fcoscos0，故C
5、正确；由于fcoscos1，为f(x)的最小值，故f(x)在上不单调，故D错误故选D.9. 已知函数函数，其中.若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点，即y=b与h(x)=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点，求出并化简的解析式，画出图象可得实数b的取值范围【详解】因为，即，所以，由y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b=0.得b=f(x)+f(2-x)，令h(x)=f(x)+f(2-x)=，函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点，即y=b与h(x)=f(x)+f(2-x)的图象有4个
6、不同的交点，作出函数图形如图：结合函数的图象可得，当时，函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点，所以实数b的取值范围是故选：D.【点睛】本题考查函数零点问题的应用，考查函数的图象，考查函数与方程思想和数形结合思想，属于中档题二、填空题(共6小题；共30分)10. 幂函数在上为增函数，则实数_.【答案】【解析】【分析】利用幂函数定义和单调性可得且，联立求解即可.【详解】由幂函数定义得，解得：或因为在上为增函数，所以，即，所以故答案为：【点睛】本题考查了幂函数定义和单调性，属于基础题.11. 已知函数的单调递减区间是_.【答案】【解析】【分析】根据对数复合函数的单调区间方法以及定义域求解即可.【详
7、解】由题，因为为减函数，故求的单调递减区间，即求的单调递增区间，即，又对数函数的定义域有，解得，故的单调递增区间是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了对数型复合函数的单调区间，属于基础题.12. 由组成没有重复数字且都不与相邻的六位偶数的个数是_【答案】108【解析】【分析】根据分步计数原理与分类计数原理分类讨论列式求解.【详解】先确定个位数为偶数，有3种方法，再讨论：若5在首位或十位，则1，3有三个位置可选，其排列数为;若5在百位、千位或万位，则1，3有两个位置可选，其排列数为;从而所求排列数为【点睛】本题考查排列组合应用，考查基本分析求解能力，属基本题.13. 已知二项式的展开式中，各项系
8、数的和与各项二项式系数的和之比为64，则展开式中x的系数为_【答案】135【解析】【分析】令二项式中的x1，得到展开式中的各项系数的和，根据二项式系数和公式得到各项二项式系数的和2n，据已知列出方程求出n的值再运用二项式展开式的通项公式可得答案.【详解】令x1，得各项系数之和为(13)n4n由已知得64，n6，二项式的展开式的通项为Tr1()6rr3rx3r(r6，rN)，令3r1，得r2，所以x的系数为9C135故答案为：135.【点睛】本题主要考查二项式中的各项系数和二项式系数的性质和区别，令字母为1是求各项系数之和的常用手段，属于基础题.14. 甲、乙二人做掷骰子游戏，两人掷同一枚骰子各
9、一次，则至少出现一个5点或6点的概率是_；如果谁掷的点数大谁就取胜，则甲取胜的概率为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用分步乘法计数原理求出所有结果；求出至少出现一个5点或6点的包含的结果；利用列举法求出甲取胜包含的基本事件的个数，利用古典概型概率公式求出事件的概率.【详解】两人掷同一枚骰子各一次出现的所有结果有种，至少出现一个5点或6点的包含的结果有种，由古典概型概率公式得至少出现一个5点或6点的概率是，甲获胜包含的结果有：，、，共15个，由古典概型概率公式可得：甲取胜的概率为，故答案为：；【点睛】本题只要考查了分步乘法计数原理以及古典概型概率公式，属于基础题.15. 从某
10、小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示：（1）直方图中x值为_；（2）在这些用户中，用电量落在区间100，250）内户数为_【答案】（1）0.0044； （2）70【解析】（1）依题意及频率分布直方图知，0.002450+0.003650+0.006050+x50+0.002450+0.001250=1，解得x=0.0044（2）样本数据落在100，150）内频率为0.003650=0.18，样本数据落在150，200）内的频率为0.00650=0.3样本数据落在200，250）内的频率为0.004450=0.22，故在这些用户中，用电
11、量落在区间100，250）内的户数为（0.18+0.30+0.22）100=70故答案为0.0044；70三、解答题(共5个题；共75分)16. 已知.(1)求的值;(2)求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）利用正切的两角和公式求的值；（2）利用第一问的结果求第二问，但需要先将式子化简，最后变形成关于的式子，需要运用三角函数的倍角公式将化成单角的三角函数，然后分子分母都除以，然后代入的值即可试题解析：（1）由 （2）考点：1.正切的两角和公式；2.正余弦的倍角公式.17. 中，角A，B，C所对的边分别为. 已知.（1）求的值；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【
12、解析】【分析】（1）根据求出，根据求出，根据正弦定理求出；（2）先求出，再利用面积公式即可求出.【详解】（1）在中，由题意知，又因为，所有，由正弦定理可得.（2）由得，由,得.所以.因此，的面积.【点睛】本题考查正弦定理和三角形面积公式的应用，属于中档题.18. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学
13、期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.【答案】（）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人（）（i）答案见解析；（ii）【解析】分析：（）由分层抽样的概念可知应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人（）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3且分布列为超几何分布，即P（X=k）=（k=0，1，2，3）据此求解分布列即可，计算相应的数学期望为（ii）由题意结合题意和互斥事件概率公式可得事件A发生的概率为详解：（）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此
14、应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人（）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3P（X=k）=（k=0，1，2，3）所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=BC，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=所以，事件A发生的概率为点睛：本题主要在考查超几何分布和分层抽样.超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到
15、的某类个体的个数超几何分布的特征是：考查对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1) ；(2)总体中某两层的个体数之比样本中这两层抽取的个体数之比19. 已知函数，满足，（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的最大值和最小值.（3）若函数的两个零点分别在区间和内，求的取值范围.【答案】（1）；（2），；（3）【解析】【分析】（1）由得，由待定系数法得、的值；（2）利用二次函数的对称轴和单调区间即可求得最值；（3），由题意可得，求解
16、即可.【详解】（1）由得，又，得即，所以， ，解得： ， ，所以，（2）对称轴， 所以， 所以，（3），若有2个零点分别区间和内，则 ，即，解得：【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析，考查二次函数的最值，以及零点分布情况，属于中档题.20. 已知函数满足（其中为在点处导数，为常数）.（1）求的值；（2）求函数的单调区间；（3）设函数，若函数在上单调，求实数的取值范围.【答案】（1）-1；（2）单调递增区间为和单调递减区间为；（3）或.【解析】【分析】（1）对函数求导后代入,可求得,进而求得函数的解析式；（2）求导后利用直接写出单调区间；（3）化简，利用函数单调递增转化为导数为非负数，由此求得的取值范围.【详解】（1）因为，所以.（2）由（1）得，当 有或，此时函数单调递增；当，有，此时函数单调递减 ，单调递增区间为和单调递减区间为. （3），当在区间上单调递增时，恒成立设，则，即；当在区间上单调递减时，恒成立设，则，即，综上所述，c的取值范围是或.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性并求参数的取值范围.