1、章末综合检测(三)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1双曲线x2y23的渐近线方程为()AyxBy3xCyxDyx解析：选A.双曲线的标准方程为1，故其渐近线方程为yxx.2抛物线y28x的焦点坐标是()A(4，0) B(2，0) C(0，2) D(0，4)解析：选B.y28x的焦点坐标为，即(2，0)3若点P到直线x1的距离比到点(2，0)的距离小1，则点P的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线D抛物线解析：选D.点P到直线x1的距离比到点(2，0)的距离小1，即点P到直线x2的距离与到点(2，0)的距离相
2、等，根据抛物线的定义可知，点P的轨迹是抛物线4已知椭圆C：1(ab0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则椭圆C的离心率是()A.B.C.D.解析：选D.因为|F1F2|2c，所以tan 30，所以|PF2|c，|PF1|2|PF2|.由椭圆定义：|PF1|PF2|2c2a，故e.5已知抛物线y2px2(p0)的准线与圆x2y24y50相切，则p的值为()A10 B6C. D. 解析：选C.抛物线方程可化为x2y(p0)，由于圆x2(y2)29与抛物线的准线y相切，所以32，所以p.6设F1，F2是双曲线y21的两个焦点，过右焦点F2作倾斜角为的弦
3、AB，则F1AB的面积为()A. B.2C.D.解析：选B.直线AB的方程为yx2，将其代入y21，整理得：2x212x150，因为x1x26，x1x2，所以y1y2x12x222.y1y2(x12)(x22).|y1y2|.SF1AB|F1F2|y1y2|42.7若直线l过点(3，0)与双曲线4x29y236只有一个公共点，则这样的直线有()A1条 B2条C3条D4条解析：选C.双曲线方程可化为1，知(3，0)为双曲线的右顶点，故符合要求的直线l有3条，其中一条是切线，另两条是交线(分别与两渐近线平行)8已知点P是直线x2y30上的一个动点，定点M(1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|
4、PM|MQ|，则点Q的轨迹方程是()Ax2y30 Bx2y50Cx2y70Dx2y70解析：选D.设P(x0，y0)，则x02y030(*)又设Q(x，y)，由|PM|MQ|，知点M是线段PQ的中点，则，即(*)将 (*)代入(*)，得(2x)2(4y)30，即x2y70.故选D.9已知椭圆1(ab0)与双曲线x21有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的标准方程是()A.y21B.1C.1D.1解析：选C.因为双曲线的离心率为，所以椭圆的离心率为，即，又因为a2b2c23，所以a3，b.故椭圆的标准方程为1.10已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦AB，则AB中点到x轴的最短距离S
5、为()A. B. C1D2解析：选D.设A(x1，y1)，B(x2，y2)抛物线准线方程为y1.根据梯形中位线定理，得所求距离为：S1，由抛物线定义得S112，当A、B、F三点共线时取等号，故选D.11从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是3b2，4b2，则该椭圆离心率e的取值范围是()A.B.C.D.解析：选C.由对称性知矩形中心在原点，且两组对边平行于x轴，y轴，设矩形在第一象限的顶点坐标为(x，y)(x0，y0)，S矩形4xy2ab2ab2ab3b2，4b2，所以3b22ab4b2，即，e21，故e.12已知椭圆C1：1(ab0)与双曲线C2：x21
6、有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点若C1恰好将线段AB三等分，则()Aa2 Ba213Cb2Db22解析：选C.由题意，知a2b25，因此椭圆方程为(a25)x2a2y25a2a40，双曲线的一条渐近线方程为y2x，联立方程消去y，得(5a25)x25a2a40，所以直线截椭圆的弦长d2a，解得a2，b2.二、填空题：本题共4小题，每小题5分13若椭圆1过抛物线y28x的焦点，且与双曲线x2y21有相同的焦点，则该椭圆的方程为_解析：抛物线y28x的焦点坐标为(2，0)，双曲线x2y21的焦点坐标为(，0)由题意得所以a24，b22，所以椭圆的方程为1.答案
7、：114已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3，0)，且焦距与虚轴长之比为54，则双曲线的标准方程为_解析：由题意得双曲线的焦点在x轴上，且a3，焦距与虚轴长之比为54，即cb54，又c2a2b2，所以c5，b4，所以双曲线的标准方程为1.答案：115椭圆4x29y2144内一点P(3，2)，过点P的弦恰好以P为中点，那么这条弦所在的直线方程为_解析：设该弦与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，4x9y144，4x9y144，得，4(x1x2)(x1x2)9(y1y2)(y1y2)0，又因为x1x26，y1y24.所以k，故该弦所在直线为y2(x3)，即2x3y120.答案：2x3
8、y12016抛物线y22x上距点M(m，0)(m0)最近的点恰好是抛物线的顶点，则m的取值范围是_解析：设P(x，y)为抛物线上任一点，则|PM|2(xm)2y2x22(m1)xm2x(m1)22m1.因为m0，所以m11.由于x0，且由题意知当x0时，|PM|最小则对称轴xm1应满足1m10，所以0b0)，由题意知：2a18，2a6c，解得a9，c3，故b2a2c272，所以椭圆C的方程是1，离心率e.18(本小题满分12分)如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，|O1O2|4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N为切点)，使得|PM|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点
9、P的轨迹方程解：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系，则O1(2，0)，O2(2，0)由已知|PM|PN|，所以|PM|22|PN|2.又因为两圆的半径均为1，所以|PO1|212(|PO2|21)设P(x，y)，则(x2)2y212(x2)2y21，即(x6)2y233.所以所求动点P的轨迹方程为(x6)2y233.19(本小题满分12分)已知直线l：yxt与椭圆C：x22y22交于A，B两点(1)求椭圆C的长轴长和焦点坐标；(2)若|AB|，求t的值解：(1)因为x22y22，所以y21，所以a，b1，所以c1，所以长轴为2a2，焦点坐标分别为F1(1，0
10、)，F2(1，0)(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)因为消元化简得3x24tx2t220，所以所以|AB|x1x2|，又因为|AB|，所以，解得t1.20(本小题满分12分)设A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在抛物线y2x2上，l是AB的垂直平分线(1)当且仅当x1x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论(2)当直线l的斜率为2时，求l在y轴上的截距的取值范围解：(1)点F在直线l上|FA|FB|A，B两点到抛物线的准线的距离相等，因为抛物线的准线与x轴平行，所以上述条件等价于y1y2xx(x1x2)(x1x2)0，因为x1x2，所以当且仅当x1x20时，直线l经过
11、抛物线的焦点F.(2)设l在y轴上的截距为b，依题意，得l的方程为y2xb.则过点A，B的直线方程可设为yxm，由，化简得2x2xm0，所以x1x2.因为A，B为抛物线上不同的两点，所以上述方程的判别式8m0，即m.设AB的中点N的坐标为(x0，y0)，则x0，y0x0mm.又点N在直线l上，所以mb，于是bm，所以l在y轴上的截距的取值范围为.21(本小题满分12分)已知双曲线x22y22的左、右焦点分别为F1、F2，动点P满足|PF1|PF2|4.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)若M是曲线E上的一个动点，求|MF2|的最小值并说明理由解：(1)由题意知，F1(，0)，F2(，0)，且|
12、PF1|PF2|42，所以P点的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且a2，c，从而b1.所以动点P的轨迹方程为y21.(2)设M(x，y)，则|MF2|，因为y21，所以y21，所以|MF2|.因为ME，所以x2，2，所以|MF2|2x，x2，2显然|MF2|在2，2上为减函数，所以|MF2|有最小值2.22(本小题满分12分)如图，抛物线C1：y24x的准线与x轴交于点F1，焦点为F2.以F1，F2为焦点，离心率为的椭圆记作C2.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l经过椭圆C2的右焦点F2，与抛物线C1交于A1，A2两点，与椭圆C2交于B1，B2两点，当以B1B2为直径的圆经过F1时，求A1A
13、2的长解：(1)设椭圆的标准方程为1(ab0)，依据题意得c1，则a2，b2a2c23，故椭圆的标准方程为1.(2)当直线l与x轴垂直时，B1，B2，又F1(1，0)，此时0，所以以B1B2为直径的圆不经过F1，不满足条件当直线l不与x轴垂直时，设l：yk(x1)，由，得(34k2)x28k2x4k2120.因为焦点在椭圆内部，所以直线l与椭圆恒有两个交点设B1(x1，y1)，B2(x2，y2)，则x1x2，x1x2.因为以B1B2为直径的圆经过F1，所以0，又F1(1，0)，所以(1x1)(1x2)y1y20，即(1k2)x1x2(1k2)(x1x2)1k20，解得k2.由，得k2x2(2k24)xk20.设A1(x3，y3)，A2(x4，y4)，则x3x42，x3x41，所以|A1A2|x3x4222.
