1、江苏省七市2022届高三数学下学期二模试题(满分:150分考试时间:120分钟)一、 选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 设全集U3,2,1,1,2,3,集合A1,1,B1,2,3,则(UA)B()A. 1 B. 1,2 C. 2,3 D. 1,2,32. 已知复数z满足z(12i)i(1z),则z()A. i B. i C. 1i D. 1i3. 已知|a|3,|b|2,(a2b)(a3b)18,则a与b的夹角为()A. 30 B. 60 C. 120 D. 1504. 时钟花是原产于南美热带雨林的藤蔓植物,从开放到闭合与体内的一
2、种时钟酶有关研究表明,当气温上升到20时,时钟酶活跃起来,花朵开始开放;当气温上升到28时,时钟酶的活性减弱,花朵开始闭合,且每天开闭一次已知某景区一天内517时的气温T(单位:)与时间t(单位:h)近似满足关系式T2010sin (t),则该景区这天时钟花从开始开放到开始闭合约经历(参考数据:sin 0.8)()A. 1.4 h B. 2.4 h C. 3.2 h D. 5.6 h5. 设(13x)na0a1xa2x2anxn,若a5a6,则n()A. 6 B. 7 C. 10 D. 116. 已知等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,则“d0”是“SnS3n2S2n”的()A. 充分不必
3、要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 在平面直角坐标系xOy中,点A(1,0),B(9,6),动点C在线段OB上,BDy轴,CEy轴,CFBD,垂足分别是D,E,F,OF与CE相交于点P.已知点Q在点P的轨迹上,且OAQ120,则AQ()A. 4 B. 2 C. D. 8. 已知f(x)是定义域为R的偶函数,f(5.5)2,g(x)(x1)f(x).若g(x1)是偶函数,则g(0.5)()A. 3 B. 2 C. 2 D. 3二、 选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的
4、得0分9. 已知一组数据x1,x2,xn的平均数为x0,若在这组数据中添加一个数据x0,得到一组新数据x0,x1,x2,xn,则()A. 这两组数据的平均数相同 B. 这两组数据的中位数相同C. 这两组数据的标准差相同 D. 这两组数据的极差相同10. 若ab0c,则()A. B. C. acbc D. ac211. 在正六棱锥PABCDEF中,已知底面边长为1,侧棱长为2,则下列说法正确的是()A. ABPDB. 共有4条棱所在的直线与AB是异面直线C. 该正六棱锥的内切球的半径为D. 该正六棱锥的外接球的表面积为12. 已知直线ya与曲线y相交于A,B两点,与曲线y相交于B,C两点,若点A
5、,B,C的横坐标分别为x1,x2,x3,则()A. x2aex2 B. x2ln x1 C. x3ex2 D. x1x3x三、 填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13. 若tan 3sin 2,为锐角,则cos 2_14. 设函数f(x)若f(f(a)4,则a_15. 已知双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分别是F1,F2,P(x1,y1),Q(x2,y2)是双曲线右支上的两点,x1y1x2y23.记PQF1,PQF2的周长分别为C1,C2,若C1C28,则双曲线的右顶点到直线PQ的距离为_16. 某同学的通用技术作品如图所示,该作品由两个相同的正四棱柱制作而成已知正四棱柱的底面边长为
6、3 cm,则这两个正四棱柱的公共部分构成的多面体的面数为_,体积为_cm3.(第一空2分,第二空3分)四、 解答题:本题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. (本小题满分10分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin A2sin B.(1) 若b2,c2,求角C的大小;(2) 若点D在边AB上,且ADc,求证:CD平分ACB.18.(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,所有棱长均为2,A1AC60,A1B.(1) 求证:平面A1ACC1平面ABC;(2) 求二面角BA1B1C1的正弦值19. (本小题满分12分)已知数列an的前n
7、项和为Sn,anSn.(1) 从下面两个结论中选择一个进行证明,并求数列an的通项公式; 数列2nan是等差数列; 数列是等比数列;(注:如果选择多个方案进行解答,按第一个方案解答计分)(2) 记bn,求数列bn的前n项和Tn.20.(本小题满分12分)某地举行象棋比赛,淘汰赛阶段的比赛规则是:两人一组,先胜一局者进入复赛,败者淘汰比赛双方首先进行一局慢棋比赛,若和棋,则加赛快棋;若连续两局快棋都是和棋,则再加赛一局超快棋,超快棋只有胜与负两种结果在甲与乙的比赛中,甲慢棋比赛胜与和的概率分别为,快棋比赛胜与和的概率均为,超快棋比赛胜的概率为,且各局比赛相互独立(1) 求甲恰好经过三局进入复赛的
8、概率;(2) 记淘汰赛阶段甲与乙比赛的局数为X,求X的概率分布列和数学期望21. (本小题满分12分)已知曲线C由C1:1(ab0,x0)和C2:x2y2b2(x0)两部分组成,C1所在椭圆的离心率为,上、下顶点分别为B1,B2,右焦点为F,C2与x轴相交于点D,四边形B1FB2D的面积为1.(1) 求a,b的值;(2) 若直线l与C1相交于A,B两点,AB2,点P在C2上,求PAB面积的最大值22.(本小题满分12分)已知函数f(x)|ex|a ln x.(1) 当a1时,求曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2) 若f(x)a,求实数a的取值范围数学参考答案及评分标准1. C2
9、. A3. B4. B5. B6. C7. A8. D9. AD10. ABD11. BCD12. ACD13. 14. ln 215. 16. 81817. (1) 解:在ABC中,由正弦定理,得,因为sin A2sin B,所以a2b.(2分)又b2,所以a4.在ABC中,由余弦定理,得cos C.(4分)因为C(0,),所以C.(5分)(2) 证明:(证法1)在ACD中,由正弦定理,得,即.在BCD中,同理可得.(7分)因为ADCBDC,所以sin ADCsin BDC.又a2b,由,得sin ACDsin BCD.(9分)因为0ACDBCD,所以ACDBCD,即CD平分ACB.(10分
10、)(证法2)设ACD,BCD的面积分别为S1,S2,因为ADc,所以S22S1.(7分)又S1bCDsin ACD,S2aCDsin BCD,故aCDsin BCD2bCDsin ACD,所以sin BCDsin ACD.(9分)因为0BCDACD,所以BCDACD,即CD平分ACB.(10分)18. (1) 证明:取AC的中点O,连接OA1,OB,A1C.因为AA1AC2,A1AC60,所以A1AC为正三角形,所以A1OAC,且A1O.(2分)在正三角形ABC中,同理可得,BOAC,且BO.所以A1OB为二面角A1ACB的平面角(4分)又因为A1B,所以A1O2OB2A1B2,所以A1OB9
11、0,所以平面A1ACC1平面ABC.(6分)(2) 解:由(1)知,OA1OB,OA1OC,OCOB.以OB,OC,OA1为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则O(0,0,0),B(,0,0),A1(0,0,),A(0,1,0).在三棱柱ABCA1B1C1中,A1B1(,1,0),A1B(,0,).设平面BA1B1的法向量m(x,y,z),则令x1,得y,z1,所以平面BA1B1的一个法向量m(1,1).(8分)又平面A1B1C1的一个法向量n(0,0,1),(9分)且cos m,n.(10分)设二面角BA1B1C1的大小为,根据图形可知为钝角,所以sin ,所以二面角BA1B1
12、C1的正弦值为.(12分)19解:(1) 若选:因为anSn,所以an1Sn1,所以(an1Sn1)(anSn)(),即2an1an,(2分)所以2n1an12nan1.又当n1时,a1S1,得a1,2a11,所以数列2nan是以1为首项,1为公差的等差数列(4分)所以2nan1(n1)1n2,所以an.(6分)若选:因为anSn,所以an1Sn1,所以(an1Sn1)(anSn)(),即2an1an,(2分)所以an1an,所以an1(an).又当n1时,a1S1,得a1,所以a11,所以.所以数列是以1为首项,为公比的等比数列(4分)所以an(1)()n1,所以an.(6分)(2) (解法
13、1)由(1)知Snan.(7分)因为bn.(10分)所以数列bn的前n项和Tnb1b2bn()()()2.(12分)(解法2)由(1)知Snan,(7分)所以bn.(10分)所以数列bn的前n项和Tnb1b2bn(2)()()2.(12分)20. 解:(1) 记“甲恰好经过三局进入复赛”为事件A,则在甲与乙的比赛中,第一、二局为和棋,第三局甲胜,所以P(A).(3分)答:甲恰好经过三局进入复赛的概率为.(4分)(2) 随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.(6分)则P(X1)1,P(X2)(1),P(X3)(1),P(X4).(10分)所以X的概率分布列为X1234P所以E(X)1234.
14、(12分)21. 解:(1) 如图,因为C2:x2y2b2(x0)与x轴相交于点D,所以D(b,0).设C1所在椭圆的右焦点为F(c,0),所以c.因为C1所在椭圆的离心率e,所以.所以a2b,cb.(1分)所以B1B22b,FDbc.所以四边形B1FB2D的面积SB1B2FD2b(bc).(2分)因为四边形B1FB2D的面积为1,所以b2bc1,即(1)b21,解得b1,所以a2,b1.(4分)(2) 由(1)得曲线C1:y21(x0).当直线l斜率不存在时,不妨设A(0,1),B(0,1),此时PAB的面积S1,当且仅当P(1,0)时等号成立(5分)当直线l斜率存在时,由C1的对称性,不妨
15、设l的方程为ykxm(k0),由消去y,得(4k21)x28kmx4(m21)0.设A(x1,y1),B(x2,y2),x10,x20,所以(6分)所以m1.所以AB|x1x2|.(7分)又AB2,所以2,整理,得m2.(8分)因为m1,所以k2,m.作斜率为k的直线l与半圆C2相切,切点为P,此时PAB的面积最大,设直线l的方程为ykxn(n0),因为1,所以n.(9分)因为直线l与直线AB距离d1,设t,则d1112.(11分)所以PAB面积的最大值为ABdmax2,当且仅当t时等号成立,此时直线AB的方程为yx,点P(,).综上,PAB的面积的最大值为2.(12分)22. 解:(1) 函
16、数f(x)的定义域为(0,),当a1时,f(x)exln x,f(x)ex.(2分)所以f(1)e1,f(1)e.所以所求的切线方程为y(e1)e(x1),即exy10.(4分)(2) 当a0时,f(x)exa ln xexa(ln x).设h(x)ln x,则h(x).令h(x)0,得0x1,所以h(x)在(0,1)上是减函数;令h(x)0,得x1,所以h(x)在(1,)上是增函数,所以h(x)minh(1)1,h(x)1.因为ex0,a0,所以f(x)exa(ln x)0,所以f(x)a,所以a0符合题意(7分)当a0时,函数f(x)|ex|a ln x|a ln x.设g(x)xexa(x0),则g(x)(x1)ex0,所以g(x)在0,)上是增函数因为g(0)a0,g(a)a(ea1)0,且函数g(x)在0,)上的图象是不间断的,所以存在x0(0,a),使得g(x0)x0ex0a0,所以ax0ex0,所以f(x)(9分) 当0xx0时,f(x)exa ln x,所以f(x)ex0,所以f(x)在(0,x0上是减函数 当xx0时,ex0,所以f(x)ex(ex)0,所以f(x)在(x0,)上是增函数由,得f(x)minf(x0)a ln x0,又f(x)a,所以a ln x0a,解得x0,所以0ax0ex0ee1.综上,实数a的取值范围是(,e1).(12分)