1、12 余弦定理(二)学习目标 1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正弦、余弦定理解决三角形的有关问题知识链接1以下问题不能用余弦定理求解的是(1)已知两边和其中一边的对角,解三角形(2)已知两角和一边,求其他角和边(3)已知一个三角形的两条边及其夹角,求其他的边和角(4)已知一个三角形的三条边,解三角形答案(2)2利用余弦定理判断三角形的形状正确的是(1)在ABC 中,若 a2 b2c2,则ABC 为直角三角形(2)在ABC 中,若 a2 b2c2,则ABC 为锐角三角形(3)在ABC 中,若 a2 b2c2,则ABC 为钝角三角形答案(1)(3)预习导引1余
2、弦定理及其推论(1)a2b2c22bccos A,b2c2a22cacos B,c2a2b22abcos C.(2)cos Ab2c2a22bc,cos Bc2a2b22ca,cos Ca2b2c22ab.(3)在ABC 中,c2a2b2C 为直角;c2a2b2C 为钝角;c20,所以能组成锐角三角形2在ABC 中,AB5,AC3,BC7,则ABAC等于()A.152B152C.15 32D15答案 B解析 cos AAB2AC2BC22ABAC523272253 12,ABAC|AB|AC|cos A53(12)152,故选 B.3如果将直角三角形的三边增加同样的长度,则新三角形的形状是()
3、A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D由增加的长度确定答案 A解析 设直角三角形三边为 a,b,c,且 a2b2c2,则(ax)2(bx)2(cx)2a2b22x22(ab)xc22cxx22(abc)xx20,cx 所对的最大角变为锐角4已知 a,b,c 为ABC 的三边,B120,则 a2c2acb2 等于()A0B1C1D2答案 A解析 b2a2c22accos Ba2c22accos 120a2c2ac.原式为 0.5在ABC 中,若 a2b2 3bc,sin C2 3sin B,则 A.答案 30解析 由 sin C2 3sin B,根据正弦定理,得 c2 3b,代入 a2b2 3b
4、c,得 a2b26b2,即 a27b2.由余弦定理得 cos Ab2c2a22bcb212b27b22b2 3b 6b24 3b2 32,又0A0,0A0,a12,最大边为 2a1.三角形为钝角三角形,a2(2a1)2(2a1)2,化简得 0a2a1,a2,2a8.11ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,asin Acsin C 2asin Cbsin B.(1)求 B;(2)若 A75,b2,求 a,c.解(1)由正弦定理,得 a2c2 2acb2,由余弦定理得 b2a2c22accos B,故 cos B 22.因此 B45.(2)sin Asin(3045)2 64.故
5、 absin Asin B 2 621 3,cbsin Csin B 2sin 60sin 45 6.12在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos 2C14.(1)求 sin C 的值;(2)当 a2,2sin Asin C 时,求 b 及 c 的长解(1)cos 2C12sin2C14,0C,sin C 104.(2)当 a2,2sin Asin C 时,由正弦定理 asin Acsin C,得 c4.由 cos 2C2cos2C114及 0C0),解得 b 6或 2 6,b 6,c4或b2 6,c4.三、探究与创新13在ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asin A(2bc)sin B(2cb)sinC.(1)求 A 的大小;(2)若 sin Bsin C1,试判断ABC 的形状解(1)由条件和正弦定理,得 2a2(2bc)b(2cb)c,即 a2b2c2bc.结合余弦定理 a2b2c22bccos A,得 cos A12.又 A(0,),A23.(2)由(1)中 a2b2c2bc 及正弦定理,可得 sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C,即(32)2sin2Bsin2Csin Bsin C,又 sin Bsin C1,得 sin Bsin C12.又 0B,C3,BC,ABC 为等腰的钝角三角形