1、12 余弦定理(二)学习目标 1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正弦、余弦定理解决三角形的有关问题知识链接1以下问题不能用余弦定理求解的是(1)已知两边和其中一边的对角，解三角形(2)已知两角和一边，求其他角和边(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角(4)已知一个三角形的三条边，解三角形答案(2)2利用余弦定理判断三角形的形状正确的是(1)在ABC 中，若 a2 b2c2，则ABC 为直角三角形(2)在ABC 中，若 a2 b2c2，则ABC 为锐角三角形(3)在ABC 中，若 a2 b2c2，则ABC 为钝角三角形答案(1)(3)预习导引1余
2、弦定理及其推论(1)a2b2c22bccos A，b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C.(2)cos Ab2c2a22bc，cos Bc2a2b22ca，cos Ca2b2c22ab.(3)在ABC 中，c2a2b2C 为直角；c2a2b2C 为钝角；c20，所以能组成锐角三角形2在ABC 中，AB5，AC3，BC7，则ABAC等于()A.152B152C.15 32D15答案 B解析 cos AAB2AC2BC22ABAC523272253 12，ABAC|AB|AC|cos A53(12)152，故选 B.3如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是()
3、A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D由增加的长度确定答案 A解析 设直角三角形三边为 a，b，c，且 a2b2c2，则(ax)2(bx)2(cx)2a2b22x22(ab)xc22cxx22(abc)xx20，cx 所对的最大角变为锐角4已知 a，b，c 为ABC 的三边，B120，则 a2c2acb2 等于()A0B1C1D2答案 A解析 b2a2c22accos Ba2c22accos 120a2c2ac.原式为 0.5在ABC 中，若 a2b2 3bc，sin C2 3sin B，则 A.答案 30解析 由 sin C2 3sin B，根据正弦定理，得 c2 3b，代入 a2b2 3b
4、c，得 a2b26b2，即 a27b2.由余弦定理得 cos Ab2c2a22bcb212b27b22b2 3b 6b24 3b2 32，又0A0，0A0，a12，最大边为 2a1.三角形为钝角三角形，a2(2a1)2(2a1)2，化简得 0a2a1，a2，2a8.11ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，asin Acsin C 2asin Cbsin B.(1)求 B；(2)若 A75，b2，求 a，c.解(1)由正弦定理，得 a2c2 2acb2，由余弦定理得 b2a2c22accos B，故 cos B 22.因此 B45.(2)sin Asin(3045)2 64.故
5、 absin Asin B 2 621 3，cbsin Csin B 2sin 60sin 45 6.12在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 cos 2C14.(1)求 sin C 的值；(2)当 a2,2sin Asin C 时，求 b 及 c 的长解(1)cos 2C12sin2C14，0C，sin C 104.(2)当 a2,2sin Asin C 时，由正弦定理 asin Acsin C，得 c4.由 cos 2C2cos2C114及 0C0)，解得 b 6或 2 6，b 6，c4或b2 6，c4.三、探究与创新13在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asin A(2bc)sin B(2cb)sinC.(1)求 A 的大小；(2)若 sin Bsin C1，试判断ABC 的形状解(1)由条件和正弦定理，得 2a2(2bc)b(2cb)c，即 a2b2c2bc.结合余弦定理 a2b2c22bccos A，得 cos A12.又 A(0，)，A23.(2)由(1)中 a2b2c2bc 及正弦定理，可得 sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，即(32)2sin2Bsin2Csin Bsin C，又 sin Bsin C1，得 sin Bsin C12.又 0B，C3，BC，ABC 为等腰的钝角三角形