1、第二章学业质量标准检测(B)本套检测题仅供教师参考备用，学生书中没有。本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分考试时间120分钟第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1设向量a(2,4)与向量b(x,6)共线，则实数x(B)A2B3C4D6解析由向量平行的性质，有24x6，解得x3，选B2如图，ab等于(C)A2e14e2B4e12e2Ce13e2D3e1e2解析abe13e2.3如图，正方形ABCD中，点E、F分别是DC、BC的中点，那么(D)ABCDAD解析()4已知点A(1,3)，B
2、(4，1)，则与向量同方向的单位向量为(A)A(，)B(，)C(，)D(，)解析因为(3，4)，|5，所以与向量同向的单位向量为(，)，选A5已知向量a、b满足|a|1，|b|4，且ab2，则a与b的夹角为(C)ABCD解析设a与b的夹角为，则据向量数量积公式可得cos ，则cos .0，.6已知向量a、b，那么(2a4b)2b(C)Aa2bBa4bCaDb解析(2a4b)2ba2b2ba，故选C7设a，b是两个非零向量(C)A若|ab|a|b|，则abB若ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得baD若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|解析本题考查向量共线的条件若|
3、ab|a|b|，则a与b方向相反则存在ba.反之则不然8在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，(2,4)，(1,3)且A(1,1)，则D点坐标为(C)A(3,5)B(4,6)C(0,0)D(1，3)解析(1,3)(2,4)(1，1)，设D(x，y)，(x，y)(1,1)(x1，y1)，解得.故D(0,0)9在ABC中，若2，则ABC是(D)A等边三角形B锐角三角形C钝角三角形D直角三角形解析因为2()，所以0，即，所以三角形为直角三角形，选D10已知a，b均为单位向量，(2ab)(a2b)，a与b的夹角为(A)A30B45C135D150解析(2ab)(a2b)2a24abab2b23ab
4、，ab.设夹角为，则cos ，又0，180，30.11如图，在ABC中，ADAB， ，|1，则(D)A2BCD解析本题考查了向量的运算 ，( ) ，又ABAD，0， |cos ADB|cos ADB|.12对向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，定义一种新的运算“*”的意义为a*b(x1y2，x2y1)，它仍是一个向量；则对任意的向量a，b，c和任意实数，下面命题中：a*bb*a；(a*b)*ba*(b*b)；(a)*(b)()(a*b)；(ab)*ca*cb*c正确命题的个数为(B)A3B2C1D0解析代入验证知不成立，成立，故选B第卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小
5、题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，a，b，c，则_acb_.(用a，b，c表示)解析acb.14(2018全国卷)已知向量a，b，c.若c，则_.解析因为2ab(4,2)，c(1，)，且c(2ab)，所以421，解得.15已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_1_，的最大值为_1_.解析本题考查平面向量的数量积建立平面直角坐标系如图：则(0，1)，设E(x0,0)，则(x0，1)，(x0，1)(0，1)1，又(1,0)，x0，而0x01，最大值为1.16ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列
6、结论中正确的是_.(写出所有正确结论的编号)a为单位向量；b为单位向量；ab；b；(4ab).解析等边三角形ABC的边长为2，2a，|2|a|2|a|1，故正确；2a，b|b|2，故错误，正确；由于2a，ba与b夹角为120，故错误；又(4ab)(4ab)b4ab|b|2412()40，(4ab)，故正确，因此，正确的编号是.三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的
7、值解析(1)由题设知(3,5)，(1,1)，则(2,6)，(4,4)所以|2，|4.故所求两条对角线的长分别为4，2.(2)由题设知(2，1)，t(32t,5t)由(ABt)0，得(32t,5t)(2，1)0，从而5t11，所以t.18(本小题满分12分)已知a，b是两个非零向量，若a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，试求a与b的夹角.解析由条件知由得46ab23b20，即2abb20，即2abb2，代入式得a2b2，|a|b|.cos .a与b的夹角为60.19(本小题满分12分)已知向量m(1,1)，向量n与向量m的夹角为，且mn1.(1)求向量n；(2)设向量a(1,0)，向量b
8、(cos x，sin x)，其中xR，若na0，试求|nb|的取值范围解析(1)设n(x，y)，则解得或n(1,0)或n(0，1)(2)a(1,0)，na0，n(0，1)nb(cos x，sin x1)|nb|.1sin x1，0.0|nb|2，即|nb|的取值范围是0,220(本题满分12分)在ABC中，设.(1)求证：ABC为等腰三角形；(2)若|2，且B，求的取值范围解析(1)证明：，()0.又0则()，()()0.220，|2|2.|，即ABC为等腰三角形(2)解：B，cos B，设|a.|2，|24，则有a2a22a2cos B4.a2，则a2cos B2.又cos B，2，21(本
9、小题满分12分)如图所示，在RtABC中，已知BCa，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值解析解法一：，0.，()()a2a2()a2a2a2cos .当0时，最大，其最大值为0.解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系设|c，|b，则A(0,0)，B(c,0)，C(0，b)，且|2a，|a，设P点的坐标为(x，y)，则Q(x，y)(xc，y)，(x，yb)，(c，b)，(2x，2y)x(xc)y(yb)x2y2cxby，cos ，即cxbya2cos .a2a2cos .故当cos 1时，即0(与同向)时，最大，其最大值为0.22(本题满分12分)已知向量a，b满足|a|b|1，|kab|akb|(k0，kR)(1)求ab关于k的解析式f(k)(2)若ab，求实数k的值(3)求向量a与b夹角的最大值解析(1)由已知|kab|akb|，有|kab|2(|akb|)2，k2a22kabb23a26kab3k2b2.又因为|a|b|1，得8kab2k22，所以ab，即f(k)(k0)(2)因为ab，k0，所以ab0，则a与b同向因为|a|b|1，所以ab1，即1，整理得k24k10，所以k2，所以当k2时，ab.(3)设a，b的夹角为，则cos ab(k)()22当，即k1时，cos 取最小值.
