1、2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义（第1课时） 一、教学目标重点：平面向量数量积的概念，性质、运算律的发现与论证难点：平面向量数量积的定义及运算率的理解，平面向量数量积的应用知识点：平面向量数量积的概念，性质、运算律能力点：通过对平面向量数量积性质及运算律的探究，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力教育点：通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣和善于发现、勇于探索的精神，体会学习的快乐，体会各学科之间是密不可分的培养学生思考问题认真严谨的学习态度自主探究点：有关向量数量积的性质及运算律的证明考试点：考查向量数量积运算；有关向量夹角的计算；应用向量解决垂直问题易错易混点：向量的
2、数量积与实数的乘法的区别拓展点：向量在几何中证明垂直的应用二、引入新课任意两个向量都可以进行加减运算，并且两个向量的和与差仍是一个向量，我们自然地会想到：两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能，其运算结果是什么呢？思考：1如右图，一个物体在力的作用下产生位移，且力与位移的夹角为，那么力所做的功是多少？ 结论：2功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量与的“数量积”一般地，对于非零向量与的数量积是指什么？【设计意图】由旧知识引出新内容，同时联系物理学和数学，理解具体和一般的关系三、探究新知1平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积(inne
3、r product)（或内积），记作，即，其中是与的夹角特别强调：两个向量，的数量积与代数中两个数的乘积是两码事，但表面看来又有点相似，因此要注意两个向量与的数量积是记作，中间的实心小圆点不能省略，也不能把实心小圆点用乘号“”代替，写成思考1：对于两个非零向量与，其数量积是一个数量，那么它何时为正数？何时为负数？何时为零？ 结论：，当，即时，；当，即时，；当，即时，思考2：零向量与任一向量的数量积是多少？ 结论：我们规定，零向量与任一向量的数量积为02投影的定义对于两个非零向量与，设其夹角为，叫做向量在方向上的投影 如上图所示，即有向线段的数量为特别强调：向量的投影是一个数量思考1：向量在方向
4、上的投影一定是正数吗？向量在方向上的投影是什么？ 结论：不一定是正数，其正负取决于，即的取值向量在方向上的投影是思考2：根据投影的概念，数量积的几何意义是什么？ 结论：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积，或等于的长度与在方向上的投影的乘积【设计意图】使学生从感性到理性去认知数量积的定义通过对概念的认识、分析和探究，使学生加深理解，掌握相关的几何意义并加深对投影的认识3平面向量数量积的运算性质 思考1：设与都是非零向量，若，则等于多少？反之成立吗？ 结论：思考2：当与同向时，等于什么？当与反向时，等于什么？特别地，等于什么？ 结论：当与同向时，；当与反向时，；，所以通常记作思考3：设与都是非
5、零向量，如何计算它们的夹角？结论：由可得，再结合可求出思考4：与的大小关系如何？为什么？ 结论：，因为，所以【设计意图】通过上述4个思考，在学生讨论交流的基础上，由教师进一步明晰数量积的性质，然后再由学生利用数量积的定义给予证明，完成探究活动这样设计体现了教师只是教学活动的引领者，而学生才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情4平面向量数量积的运算律发现数量积的运算律教师引导学生回顾实数运算中有关的运算律，并类比得出数量积的运算律，体会不同运算的运算律不尽相同，然后由学生自主完成下列表格：在实数运算中在向量运算中是否正确交换律(1)（ ）结
6、合律(2)（ ）(3)（ ）分配率(4)（ ）消去律(5)（ ）【设计意图】通过类比、探究使学生得到数量积的运算律，进一步培养学生的逻辑思维和探究问题的能力答案：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)对于上述表格，学生在处理的过程中(2)(5)出错率较高，需要老师着重分析：(2)这是因为表示一个与共线的向量，而表示一个与共线的向量，而与不一定共线，所以一般不成立，即使与共线，此式也不一定成立(5) 如下图，均满足，但明晰数量积的运算律已知向量、和实数，则：(1) ；(2) ；(3) 证明数量积的运算律学生自主证明(1) (2)，同时对于(2)，注意引导学生反思：当时，向量与、与的方向的关系，此
7、时向量与、与的夹角与向量与的夹角相等吗？教师分析证明 (3)：如右图，在平面内任取一点O，作， ，因为（即）在方向上的投影等于、在方向上的投影的和，即， 所以，所以，所以【设计意图】发现运算律、明晰运算律、证明运算律， 这样做不仅培养了学生推理论证的能力，同时也增强了学生类比创新的意识，将知识的获得和能力的培养有机的结合在一起四、理解新知1对数量积的理解平面向量的数量积是两个向量之间的运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是：数量积的运算结果是数量而不是向量这个数量的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关
8、，数量积运算结果的符号取决于向量与的夹角 2灵活掌握平面向量数量积的性质(1) ，既可以用来证明两向量垂直，也可以由垂直进行有关计算；(2) 与可用来求向量的模，以实现实数运算向向量运算的相互转化(3) 不仅可以用来直接计算两向量、的夹角，也可用来求直线的夹角(向量的夹角与向量所在直线的夹角有区别)，还可利用夹角的取值情况建立方程或不等式用于求参数的值或范围五、运用新知例1已知，且与的夹角，求【设计意图】本例及拓展变式1，2均由学生自主完成，然后教师进行答案的校对其目的是通过计算巩固对数量积定义的理解解： 例2我们知道，对任意，恒有，对于任意的向量，是否也有下面类似的结论？(1) ；(2) 【
9、设计意图】使学生体会实际解题中运算律的作用，比较向量运算与多项式乘法运算的异同解：(1) (2) 例3已知，且与的夹角，求解： = = =拓展变式3 已知，与的夹角，求答案： 例4已知，且与不共线为何值时，向量与互相垂直？【设计意图】学会利用数量积来解决有关垂直问题，体会运算律的优越性解：与互相垂直的条件是，即因为，所以，所以也就是说，当时，与互相垂直拓展变式4：若，求的值答案：六、课堂小结1知识方面：（1）平面向量的数量积的定义；（2）平面向量数量积的几何意义；（3）平面向量数量积的重要性质及运算律；（4）平面向量数量积的运算律2思想方法方面：体会类比的数学思想和方法，进一步提高抽象概括、推
10、理论证的能力【设计意图】通过课堂小结，使学生对本节的内容有一个完整、系统的认识，在培养概括能力的同时，也对本节课的教学效果进行反馈七、布置作业 必做题：教材P108习题2.4 A组1、2、3；B组1选做题：已知与都是非零向量，且 与垂直，与垂直求与的夹角【设计意图】通过设计不同层次的作业既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到激发兴趣和“减负”的目的八、教后反思1教学设计亮点：通过创设情境引入引入新课，激发了学生的学习兴趣；以提问、猜想、讨论、变式练习等方式让更多的学生主动参与进来，突出了学生在学习活动中的主体地位2课堂教学不足之处：本节的知识容量有些大，为了完成教学任务，反而使得部分知识点落实不到位，以致于学生在课下的压力颇大九、板书设计2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义一、创设情境引入新课二、探究新知1234三、运用新知例1例2例3例4四、归纳小结五、布置作业
