1、云南省大理州大理市下关一中2019-2020学年高二数学3月月考试题 理（含解析）一、选择题1. 命题“，”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题解答.【详解】解：，为全称命题，故其否定为，故选：【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.2. 计算的结果是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简，再用二倍角公式，即可求解.【详解】.故选:B【点睛】本题考查三角函数化简求值，属于基础题.3. 在区间内任取一个实数，使得关于的方程有实数根的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先计算出当方
2、程有解时，实数的范围，然后利用几何概型概率计算公式计算概率.【详解】在区间内任取一个实数，若使方程有实数根，则，概率为，故选：A.【点睛】本题以方程的根为载体考查几何概率模型及计算，属于基础题.4. 已知两条不重合的直线和两个不重合的平面和，则下列说法正确的为（ ）A. 若，则B. 若，则，为异面直线C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】利用线面平行、垂直的性质，面面平行的判定定理，即可得出结论.【详解】解：对于A，可能，故A不正确；对于B，的位置可能是平行直线，可能是相交直线，也可能是异面直线，故B不正确；对于C，由垂直于同一平面的两条直线平行，得出，所以C正确；对于D，根据面面
3、平行的判定定理可知，对应平面内的直线如果两条直线是相交的，则两个平面是平行的，故D不正确.故选：C.【点睛】本题考查空间中的线线、线面、面面的平行或垂直关系，属于基础题.5. 已知双曲线以椭圆的焦点为顶点，左右顶点为焦点，则的渐近线方程为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据已知条件求出值，即可求解.【详解】由题意知的焦点坐标为，顶点为，故渐近线方程为.故选:A.【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及简单的几何性质，属于基础题.6. 函数f（x）=log2x-1的零点所在的区间为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】连续函数f（x）=log2x-1在（0，
4、+）上单调递增且f（3）f（4）0，根据函数的零点的判定定理可求结果【详解】函数f（x）=log2x-1在定义域（0，+）上单调递增，f（3）=log23-1-10，f（4）=2-10，根据根的存在性定理得f（x）=log2x-1的零点所在的一个区间是（3，4），故选C【点睛】本题主要考查了函数零点定义及判定的应用，属于基础试题7. 下列各函数中，最小值为2的是（ ）A. B. ，C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用对勾函数的性质，基本不等式及其成立的条件进行判断.【详解】对于A选项，当时，故A错；对于B选项，令，当时，则在上递减，所以，所以B错；对于C选项，令，则，则在上递增，即，故C
5、错；对于D选项，当且仅当，时等号成立.故选：D.【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”.8. “方程表示的曲线为椭圆”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据方程表示椭圆的条件列不等式组，解不等式组求得的取值范围，由此判断充分、必要条件.【详解】由于方程表示的曲线为椭圆，所以，解得且.所以“方程表示的曲线为椭圆”是“”的充分不必要条件.故选：A【点睛】本小题主要考查方程表示椭圆的条件，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.9. 展开式中含x项的系数为（
6、 ）A. -112B. 112C. -513D. 513【答案】C【解析】【分析】项出时，项出；项出时，项出；从而求得含的项的系数。【详解】当项出时，5个括号均出；当项出时，5个括号有2个出，3个出；所以展开式中含的项为：.所以含的项的系数为.故选：C.【点睛】本题考查二项式定理的应用，求解展开式中指定项的系，考查逻辑推理能力和运算求解能力。10. 若实数数列：1，81成等比数列，则圆锥曲线的离心率是（ ）A. 或B. 或C. D. 或10【答案】A【解析】【分析】由等比数列的性质可得a的值，分类讨论可求曲线的离心率【详解】由1，81成等比数列有：，所以，当时，方程为，表示焦点在y轴的椭圆，其
7、中，故离心率；当时，方程为，表示焦点在x轴的双曲线，其中，故离心率,故选择A.【点睛】本题考查知识点有等比数列的性质和圆锥曲线的离心率，属于综合题型，根据题意得出未知量代入圆锥曲线方程即可求离心率，难度不大，注重基础的应用，属于简单题.11. 已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可判断函数f（x）的周期为6，对称轴为x3，所以有f（12.5）f（0.5），f（-4.5）f（1.5），f（3.5）f（2.5），因为00.51.52.53，且函数在（0，3）内单调递减，从而判断大小【详解】函数满足，=
8、，f（x）在R上是以6为周期的函数，f（12.5）f（12+0.5）f（0.5），又为偶函数，f（x）的对称轴为x3，f（3.5）f（2.5），又00.51.52.53，且在（0，3）内单调递减，f（2.5）f（1.5）f（0.5）即f（3.5）f（-4.5）f（12.5）故选B【点睛】本题主要考查了函数周期性与对称性的推导，考查了周期与单调性的综合运用，利用周期与对称把所要比较的变量转化到同一单调区间，利用函数的单调性比较函数值的大小，是解决此类问题的常用方法，属于中档题12. “斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔
9、子数列”.斐波那契数列满足（，），记其前n项和为.设命题，命题，则下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据定义，判断命题、的真假，再根据复合命题的真假性判断可得.【详解】解：因为，所以，故命题p为真命题，则为假命题.，故命题q为假命题，则为真命题.由复合命题的真假判断，得为真命题.故选：【点睛】本题考查复合命题的真假性判断，由递推公式研究数列的性质，属于中档题.二、填空题13. 若直线和直线互相垂直，则的值为_.【答案】2或0【解析】【分析】由直线垂直的条件列方程求解即可【详解】因为直线与直线互相垂直，所以，解得：或，故答案为：2或0【点睛】本题考查两直
10、线垂直的条件，对于两条直线和，则它们垂直的条件是：14. 已知，点为抛物线上一动点，点到直线的距离是，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，把点到直线的距离，转化为，再根据抛物线的定义可得，得到，结合图象，得到当点三点共线时，此时取得最小值，即可求解.【详解】如图所示，抛物线，可得焦点坐标为，准线方程为，过点作准线的垂线于点，交直线于点，则，则，又由抛物线的定义可得，所以，结合图象，可得当点三点共线时，此时取得最小值，最小值为，所以的最小值为.故答案：.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程的应用，其中解答中根据抛物线的定义把抛物线上的点到直线的距离
11、转化为抛物线上的点到焦点的距离，结合图象求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.15. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，则球O的表面积为_.【答案】【解析】【分析】将三棱锥补成长方体，根据棱长求出外接球的半径，然后求出外接球的表面积，得到答案.【详解】如图所示，将三棱锥补成长方体，球为长方体的外接球，边长分别为，则，所以，所以，则球的表面积为.故答案为：.【点睛】本题考查求三棱锥外接球的表面积，属于中档题.16. 已知在锐角中，角的对边分别为，若，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】先用正弦定理边化角，得，再结合诱导公式和内角和代换，进而求得最值【详解】由正弦定
12、理可转化为，两边同时除以可得，即则，当且仅当时取到等号；故答案为【点睛】本题考查三角函数的化简求值，正弦定理、诱导公式的使用，基本不等式求最值，综合性强，属于中档题三、解答题17. 已知函数（，）的部分图象如图所示.，.（1）求的解析式；（2）将的图象先向右平移个单位，再将图象上的所有点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数为，求的单调增区间.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）先根据图象确定周期，从而得出，利用及确定和；（2）先利用三角函数图象变换的法则确定的解析式，然后利用整体思想求解单调区间.【详解】解：（1）由图可知，则，；又，则，得，因为，所以.又，解得
13、,所以.（2）将图象向右平移个单位后得，再将图象上的所有点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得，即，令，得，.故的单调递增区间为：，.【点睛】本题考查利用三角函数的图象求解析式，考查求解型函数的单调区间问题，难度一般.18. 已知公差不为零的等差数列满足，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，且数列的前项和为，求证：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由条件列方程求解，从而得解（2）由，利用裂项相消求和得，结合数列的单调性可证得不等式.【详解】（1）设等差数列的公差为，由和，成等比数列，可得： ，解得，所以.（2），所以又单调递增，所以.综上：【
14、点睛】本题主要考查了等差数列的基本量运算及裂项相消法求和，属于基础题.19. 如图，已知扇形的圆心角AOB，半径为，若点C是上的一动点(不与点A，B重合).(1)若弦，求的长；(2)求四边形OACB面积的最大值.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）在三角形中，利用余弦定理求得的余弦值，进而求得的大小，再利用弧长公式计算出的长.（2）设，利用三角形和三角形的面积表示出四边形的面积，利用三角恒等变换进行化简，结合三角函数最值的求法，求得四边形的面积的最大值.【详解】(1)在OBC中，BC4(1)，OBOC，所以由余弦定理得cosBOC，所以BOC，于是的长为.(2)设AOC，则BOC，S
15、四边形OACBSAOCSBOCsin sin24sin cos ，由于，所以，当时，四边形OACB的面积取得最大值16.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查四边形面积的最大值的求法，考查弧长公式，考查三角恒等变换，考查三角函数最值的求法，属于中档题.20. 如图，在四面体中，分别是线段，的中点，.（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）通过证明证得平面，由此证得平面平面.（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）由于分别是线段的中点，所以，且，由于，所以.由于、是线段的中点，所以.
16、由于，所以，所以，因，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.结合（1）可知两两垂直.以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则，则.设平面的法向量为，则，令，则.设平面的法向量为，则，令，则.由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.21. 互联网正在改变着人们的生活方式，在日常消费中手机支付正逐渐取代现金支付成为人们首选的支付方式. 某学生在暑期社会活动中针对人们生活中的支付方式进行了调查研究. 采用调查问卷的方式对100名18岁以上的成年人进行
17、了研究，发现共有60人以手机支付作为自己的首选支付方式，在这60人中，45岁以下的占，在仍以现金作为首选支付方式的人中，45岁及以上的有30人. （1）从以现金作为首选支付方式的40人中，任意选取3人，求这3人至少有1人的年龄低于45岁的概率；（2）某商家为了鼓励人们使用手机支付，做出以下促销活动：凡是用手机支付的消费者，商品一律打八折. 已知某商品原价50元，以上述调查的支付方式的频率作为消费者购买该商品的支付方式的概率，设销售每件商品的消费者的支付方式都是相互独立的，求销售10件该商品的销售额的数学期望.【答案】（1）；（2）440【解析】【分析】（1）先计算出选取的人中，全都是高于岁的概
18、率，然后用减去这个概率，求得至少有人的年龄低于岁的概率.（2）首先确定“销售的10件商品中以手机支付为首选支付的商品件数”满足二项分布，求得销售额的表达式，然后利用期望计算公式，计算出销售额的期望.【详解】（1）设事件表示至少有1人的年龄低于45岁， 则. （2）由题意知，以手机支付作为首选支付方式的概率为. 设表示销售的10件商品中以手机支付为首选支付的商品件数，则，设表示销售额，则， 所以销售额的数学期望（元）.【点睛】本小题主要考查利用对立事件来计算古典概型概率问题，考查二项分布的识别和期望的计算，考查随机变量线性运算后的数学期望的计算.22. 已知椭圆的左、右焦点分别为，弦过点，的周长
19、为，椭圆的离心率为（1）求椭圆的方程；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由椭圆的定义以及ABF2的周长可以得出,再结合离心率即可求出和,即可得椭圆方程;(2)由题意条件设出直线的方程和椭圆方程联立消化简得出,利用向量数量积的坐标运算化简,并联立求出参数,然后利用直线与椭圆的交点弦弦长求点到直线距离,最后由S=即可得出答案.【详解】(1)如图由椭圆的定义及ABF2的周长为8,可得解得,由离心率,解得,所以,则所求的椭圆方程为.(2)由题意设直线的方程，A(),B(),联立,消化简得:,则:,由,得:和韦达定理联立可解得,由,得,由点到直线距离,所以ABF2得面积为.【点睛】本题考查了椭圆方程的求解,考查了直线与椭圆相交问题,考查了学生的综合思维和运算能力,属于较难度的题.解决直线与椭圆的结合的问题,通常采用以下步骤:设出直线方程和交点,注意要考虑直线斜率存在与否的情况;联立直线方程和椭圆方程,消元化简为一元二次方程,结合根的判别式,利用韦达定理,设而不求;转化,由已知条件转化等量关系;综合运算得出相应的结果.
