1、数学试题一、选择题（共10题，每题4分，共40分在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.设函数，则导函数等于（ ）A. xB. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用基本函数的求导公式，即可求出结果【详解】解：函数，则导函数故选：B【点睛】本题考查基本函数的求导公式，属于基础题2.的二项展开式中的常数项为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用二项式的通项公式即可得出【详解】解：二项式的展开式的通项公式为，令，解得：，二项式的展开式中的常数项为.故选：A【点睛】本题考查了二项式的通项公式的应用，属于基础题3.某种产品的广告费支出与销售额（单位：百万元）之
2、间有如下对应数据：2456830405070根据上表提供的数据，求出关于的回归直线方程为，则的值为（ ）A. 40B. 50C. 60D. 70【答案】C【解析】分析：由题意，求得这组熟记的样本中心，将样本中心点代入回归直线的方程，即可求解答案.详解：由题意，根据表中的数据可得，把代入回归直线的方程，得，解得，故选C.点睛：本题主要考查了回归分析的初步应用，其中熟记回归直线的基本特征回归直线方程经过样本中心点是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀总计甲班10b乙班c30总计
3、105已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（ ）参考公式：附表：P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828A. 列联表中c的值为30，b的值为35B. 列联表中c的值为15，b的值为50C. 根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D. 根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”【答案】C【解析】【分析】根据题意可求出成绩优秀的学生数是，所以成绩非优秀的学生数是，即可求出的值，判断出的真假，再根据列联表求出K2，即可由独立性检验的基本思想判断出的真假【详解】由题意知，
4、成绩优秀的学生数是，成绩非优秀的学生数是，所以c20，b45，选项A，B错误；根据列联表中的数据，得到6.1093.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”，选项C正确故选：C【点睛】本题主要考查独立性检验的基本思想的应用，属于基础题5.如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：是函数的极值点；是函数的最小值点；在处切线的斜率小于零；在区间上单调递增.则正确命题的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】分析：根据导数的几何意义，与函数的单调性，极值点的关系，结合图象即可作出判断.详解：根据，可以确定函数的增区间、减区间，切线的斜率的正负，由导函数的图象，可得的函数
5、在单调递减，在单调递增，其中的左边负右边正，所以为函数的一个极小值点，且上函数单调递增，所以是正确的；其中左右两侧都是正数，所以不是函数的极值点，所以是错误的；由可得函数在处的切线的斜率大于零，所以错误的，故选C.点睛：本题主要考查了导函数的图象和原函数的性质之间的关系的应用，其中熟记导数函数函数的性质之间的关系的判定是解答的关键，着重考查了数形结合思想和分析问题、解答问题的能力.6.已知随机变量服从二项分布，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】表示做了次独立实验，每次试验成功概率为，则选7.若，则（ ）A. 32B. 1C. 1D. 32【答案】A【解析】【分析】令中的得值【详
6、解】解：因为，所以令得：.故选：A【点睛】本题考查二项展开式的系数问题，通过赋值法求出系数和是解题的关键8.某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布，则分数位于区间分的考生人数近似为（ ）（已知若，则， ， ）A. 1140B. 1075C. 2280D. 2150【答案】C【解析】【分析】先计算区间（110，130）概率，再用0.5减得区间（130，150）概率，乘以总人数得结果.【详解】由题意得，因此，所以，即分数位于区间分的考生人数近似为，选C.【点睛】正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是
7、正态曲线关于直线x对称，及曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一个.9.盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是的事件为()A. 恰有1个是坏的B. 4个全是好的C. 恰有2个是好的D. 至多有2个是坏的【答案】C【解析】【分析】利用超几何分布的概率计算公式，分别计算出对应的概率，由此判断出正确的选项.【详解】对于选项A，概率为.对于选项B，概率为.对于选项C，概率为.对于选项D，包括没有坏的，有个坏的和个坏的三种情况.根据A选项，恰好有一个坏
8、的概率已经是，故D选项不正确.综上所述，本小题选C.【点睛】本小题主要考查超几何分布的识别以及利用超几何分布概率计算公式计算随机事件的概率，属于基础题.10.某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A层班级，生物在B层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有第一节第二节第三节第四节地理B层2班化学A层3班地理A层1班化学A层4班生物A层1班化学B层2班生物B层2班历史B层1班物理A层1班生物A层3班物理A层2班生物A层4班物理B层2班生物B层1班物理B层1班物理A层4班政治1班物理A层3班政治2班政治
9、3班A. 8种B. 10种C. 12种D. 14种【答案】B【解析】【分析】根据表格进行逻辑推理即可得到结果.【详解】张毅不同的选课方法如下：（1）生物B层1班，政治1班，物理A层2班；（2）生物B层1班，政治1班，物理A层4班；（3）生物B层1班，政治2班，物理A层1班；（4）生物B层1班，政治2班，物理A层4班；（5）生物B层1班，政治3班，物理A层1班；（6）生物B层1班，政治3班，物理A层2班；（7）生物B层2班，政治1班，物理A层3班；（8）生物B层2班，政治1班，物理A层4班；（9）生物B层2班，政治3班，物理A层1班；（10）生物B层2班，政治3班，物理A层3班；共10种，故选B
10、.【点睛】本题以实际生活为背景，考查了逻辑推理能力与分类讨论思想，属于中档题.二、填空题（共5题，每题5分，共25分）11.函数的极大值是_.【答案】【解析】【分析】求出导函数，然后利用导函数等于0，找到极值点，通过判断得到极大值【详解】由 得，令，解得，易当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，取极大值，得，所以的极大值为【点睛】本题考查极值的求解，首先根据导函数等于零找到极值点，然后利用单调性判断确定为极大值或极小值12.一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件，“第2次拿出的是白球”为事件，则是_【答案】【解析】【分
11、析】先计算， ，然后根据条件概率的定义，可得结果.【详解】由题可知：所以故答案为：【点睛】本题考查条件概率，掌握条件概率公式，审清题意，简单计算，属基础题.13.一射手对靶射击，直到第一次中靶为止他每次射击中靶概率是0.9，他有3颗弹子，射击结束后尚余子弹数目的数学期望=_【答案】1.89【解析】【分析】由题意可知，再分别求对应的概率，根据公式求数学期望.【详解】由题意可知 当表示第一次没有击中，第二次射击中靶， 当表示第一次射击中靶，,当表示前两次都没有击中，第三次可中可不中， 则.故答案为：【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望，意在考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题型，本题的关键
12、是弄清楚变量表示的随机事件，并正确写出概率.14.函数在上递减，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，由函数在上递减，故在上恒成立，即可求出参数的取值范围；【详解】解：因为的定义域为，又因为在上递减，故在上恒成立，在上恒成立，因为在上单调递减，故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.15.已知函数，下列命题：为偶函数；的最大值为2；在内的零点个数为18；的任何一个极大值都大于1其中所有正确命题的序号是_【答案】【解析】【分析】由于函数，根据奇偶性的定义和图象与性质，分析函数的奇偶性、最值、对称性和极值，从而可判断命题的真假【详解】解：对于，函数，
13、定义域为，且满足，所以函数为偶函数，故正确；对于，因为，所以，又因，即当时，取得最大值为2，故正确；对于，的图象如图所示，可知在内有10个零点，由可知为偶函数，其零点关于原点对称，所以在内的零点个数为20，所以错误；对于，由于是偶函数，则只需考虑的情况，此时，则，由和的图象可知，在每一个区间上，时，有2个解，且当时，则单调递增，当时，则单调递减，而，所以得极大值为，所以的任何一个极大值都大于1，故正确. 综上知，正确的命题序号是故答案为：【点睛】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，涉及函数的奇偶性、最值、对称性、极值和零点，也考查了推理与判断能力，是中档题三、解答题（共6题，共85分解答应写
14、出文字说明，演算步骤或证明过程）16.已知函数.()求函数的单调区间；()求证：当时，.【答案】(1)f(x)的单调增区间为(1，), 单调减区间为(0，1)；(2)见解析.【解析】【分析】()明确定义域，求出导函数，解不等式即可得到函数的单调区间；()作差构造新函数，研究函数的最值即可.【详解】(1)依题意知函数的定义域为x|x0，f(x)2x-2=，由f(x)0， 得x1; 由f(x)0， 得0x2时，g(x)0，g(x)在(2，)上为增函数，g(x)g(2)4-2ln2-6+40，当x2时， x2-2lnx3x-4,即当x2时.【点睛】本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明解题时
15、要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用17.据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下（数值越小，速度越快，单位是MIPS）测试1测试2测试3测试4测试5测试6测试7测试8测试9测试10测试11测试12品牌A3691041121746614品牌B2854258155121021设分别表示第次测试中品牌A和品牌B的测试结果，记（）求数据的众数；（）从满足的测
16、试中随机抽取两次，求品牌A的测试结果恰好有一次大于品牌B的测试结果的概率；（）经过了解，前6次测试是打开含有文字和表格的文件，后6次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.【答案】（）4 ；（）；（）本题为开放问题，答案不唯一.【解析】【详解】试题分析：（1）将自变量的取值情况写出来，根据众数的概念可得结果；（2）将题目中满足从满足的测试中随机抽取两次的事件次数数出来，满足品牌A的测试结果恰好有一次大于品牌B的测试结果的次数数出来，两个数据作比即可；（3）可以从题目中的条件中，从多个角度下结论，只要解释的有道理均可得分
17、解析：（）124624421647所以等于1有2次，=2有3次，=4有4次，=6有2次，=7有1次，则数据的众数为4 （）设事件D=“品牌的测试结果恰有一次大于品牌的测试结果”.满足的测试共有4次，其中品牌的测试结果大于品牌的测试结果有2次即测试3和测试7，不妨用M，N表示.品牌的测试结果小于品牌的测试结果有2次即测试6和测试11，不妨用P，Q表示.从中随机抽取两次，共有MN,MP,MQ,NP,NQ,PQ六种情况，其中事件D发生，指的是MP,MQ,NP,NQ四种情况.故. （）可能出现的作答情况举例：结论一：，品牌处理器对含有文字与表格的文件的打开速度快一些，品牌处理器对含有文字与图片的文件的
18、打开速度快一些理由如下：从前6次测试（打开含有文字与表格的文件）来看，对于含有文字与表格的相同文件，品牌的测试有两次打开速度比品牌快(数值小），品牌有四次比品牌快，从后6次测试（打开含有文字与图片的文件）来看，对于含有文字与图片的相同文件，品牌有四次打开速度比品牌快（数值小）.结论二：从测试结果看，这两种国产品牌处理器文件的打开速度结论：品牌打开文件速度快一些理由如下：品牌处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为，品牌处理器对文件打开的测试结果的平均数估计为，所以品牌打开文件速度快一些.（且品牌方差较小）18.如图，在三棱柱中，平面，（）求证：平面；（）求异面直线与所成角的大小；（）点在线段上
19、，且，点在线段上，若平面，求的值【答案】（）详见解析；（）60；（）【解析】【分析】（）推导出，从而平面，进而，由此能证明平面；（）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的大小为；（）求出平面的法向量，由平面，利用向量法能求出的值【详解】解：（）证明：在三棱柱中，平面，平面，平面，平面（）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，0，0，2，0，0，设异面直线与所成角为，则，异面直线与所成角的大小为（）解：，2，0，0，0，0，2，2，0，设平面的法向量，则，取，得，1，点在线段上，且，点在线段上，设，则，即，0，解得，0，平面，解得：的值为【点
20、睛】本题考查线面垂直的判定定理和利用空间向量法求异面直线所成角，以及根据线面平行求两线段的比值，涉及空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理证明能力和转化思想19.已知椭圆W：（ab0）离心率，其右顶点A（2，0），直线l过点B（1，0）且与椭圆交于C，D两点（）求椭圆W的标准方程；（）判断点A与以CD为直径的圆的位置关系，并说明理由【答案】（）；（）点在以为直径的圆上【解析】【分析】（）由离心率和的关系解出椭圆的标准方程；（）设坐标为，坐标为；分别在斜率不存在和斜率存在两种情况下假设直线方程，与椭圆方程联立；只要证明出即可得出点在以为直径的圆上【详解】（）由题意可知：，椭圆的方程为（）点
21、在以为直径的圆上设坐标为，坐标为当直线斜率不存在时，则的方程为由得不妨设， ，即点在以为直径的圆上当直线斜率存在时，设直线的方程为由，得 即点在以为直径的圆上综上，点在以为直径的圆上【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、圆的性质、分类讨论方法，关键是能够利用韦达定理表示出向量的数量积，从而通过整理运算求得结果，属于中档题20.已知函数（）当时，求在处的切线方程；（）讨论函数的单调性【答案】（）；（）分类讨论，详见解析【解析】【分析】（）先由题设条件求得，再由导数的几何意义求得在处的切线的斜率（1），进而求得切线方程；（）先
22、求导，再对分成：当时；当时；当时；当时；进行讨论，得出结果【详解】（）已知函数，则的定义域为：，则（1），又（1），在处的切线方程为，即（）由（）知：，当时，此时在时单调递增，在，时单调递减；当时，此时在时单调递增；当时，令，有，或，此时在与时单调递增，在单调递减；当时，在与，时单调递增，在，时单调递减；当时，在时单调递增，在，时单调递减；综上可知：当时，在时单调递增，在，时单调递减；当时，在与，时单调递增，在，时单调递减；当时，此时在时单调递增；当时，在与时单调递增，在单调递减【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程和利用导数研究函数单调性，考查分类讨论思想和计算能力21.设an和bn是
23、两个等差数列,记cn=maxb1-a1n,b2-a2n,bn-ann(n=1,2,3,),其中maxx1,x2,xs表示x1,x2,xs这s个数中最大的数.()若an=n,bn=2n-1,求c1,c2,c3的值,并证明cn是等差数列;()证明:或者对任意正数M,存在正整数m,当nm时,M;或者存在正整数m,使得cm,cm+1,cm+2,是等差数列.【答案】 () 见解析;() 见解析.【解析】试题分析：()读懂新定义cn的含义,即可求得cn的通项公式;()结合新定义,通过对d1的分类讨论,进而证明.试题解析： ()c1=b1-a1=1-1=0,c2=maxb1-2a1,b2-2a2=max1-21,3-22=-1,c3=maxb1-3a1,b2-3a2,b3-3a3=max1-31,3-32,5-33=.当n3时,(bk+1-nak+1)-(bk-nak)=(bk+1-bk)-n(ak+1-ak)=2-n0时,取正整数m,则当nm时,nd1d2,因此cn=b1-a1n.此时,cm,cm+1,cm+2,是等差数列.当d1=0时,对任意n1,cn=b1-a1n+(n-1)maxd2,0=b1-a1+(n-1)(maxd2,0-a1).此时,c1,c2,c3,cn,是等差数列.当d1时,有nd1max,故当nm时,M.
