1、平行关系与垂直关系习题课A级基础巩固一、选择题1下列结论中正确的是(B)A平行于同一平面的两条直线平行B同时与两条异面直线平行的平面有无数多个C如果一条直线上有两点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行D直线l与平面不相交，则l解析平行于同一平面的两条直线可能相交、平行或异面，所以A不正确；一条直线上有两点在一个平面外，则直线与平面相交或平行，所以C不正确；直线与平面不相交，意味着直线与平面平行或在平面内，D不正确2如图所示，空间四边形ABCD的对角线AC8，BD6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90，则MN等于(A)A5B6C8D10解析如图，取AD的中点P，
2、连接PM、PN，则BDPM，ACPN，MPN即异面直线AC与BD所成的角，MPN90，PNAC4，PMBD3，MN53下列五个结论中正确结论的个数是(B)如果a、b是两条直线，ab，那么a平行于经过b的任何一个平面；如果直线a和平面满足a，那么a与平面 内的任何一条直线平行；如果直线a、b满足a，b，那么ab；如果直线a、b和平面满足ab，a，b，那么b；如果a与平面上的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面A0B1C2D3解析如图所示，在长方体ABCDABCD中，AABB，AA却在过BB的平面ABBA内，故错；AA平面BBCC，BC平面BBCC，但AA不平行于BC，故错；AA平面BBCC，A
3、D平面BBCC，但AA与AD相交，故错；ABCD，AB平面ABCD，CD平面ABCD，则CD平面ABCD，故正确；AA显然与平面ABBA中的无数条直线平行，但AA平面ABBA，故错误，故选B4一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面(C)A至多有一个是直角三角形B至多有两个是直角三角形C可能都是直角三角形D必然都是非直角三角形解析注意到答案特征是研究侧面最多有几个直角三角形，这是一道开放性试题，需要研究在什么情况下侧面的直角三角形最多在线面垂直关系较多的情况下，如图所示长方体中，三棱锥AA1C1D1的三个侧面都是直角三角形5下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、
4、P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形的序号是(B)AB CD解析对于选项，取NP中点G，由三角形中位线性质易证：MGAB，故正确；对于选项，易证NPAB，故选B6如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列结论中错误的为(C)AACBDBAC截面PQMNCACBDD异面直线PM与BD所成的角为45解析依题意得MNPQ，MN平面ABC，又MN、AC平面ACD，且MN与AC无公共点，因此有MNAC，AC平面MNPQ.同理，BDPN.又截面MNPQ是正方形，因此有ACBD，直线PM与BD所成的角是45.综上所述，其中错误的是C，选C二、填空题7已知直线b，平面，有以下条件
5、：b与内一条直线平行；b与内所有直线都没有公共点；b与无公共点；b不在内，且与内的一条直线平行其中能推出b的条件有_.(把你认为正确的序号都填上)解析中b可能在内，不符合；和是直线与平面平行的定义，是直线与平面平行的判定定理，都能推出b8等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面内，若AC与所成的角为30，则斜边上的中线CM与所成的角为_45_解析如图，设C在平面内的射影为O点，连结AO，MO，则CAO30，CMO就是CM与所成的角设ACBC1，则AB，CM，COsinCMO，CMO45三、解答题9如图，ABC和BCD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F，G分别为AC，DC
6、，AD的中点(1)求证：EF平面BCG；(2)求三棱锥DBCG的体积附：锥体的体积公式VSh，其中S为底面面积，h为高解析(1)由已知得ABCDBC，ACDC，又G为AD的中点，CGAD，同理BGAD，AD面BGC又EFAD，EF面BCG(2)在平面ABC内，作AOCB，交CB延长线于O由平面ABC平面BCD，知AO面BDC又G为AD中点，因此G到平面BDC距离h是AO的一半，在AOB中，AOABsin60，VDBCGVGBCDSDBChBDBCsin12010(2017全国卷文，19)如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ADCD(1)证明：ACBD；(2)已知ACD是直角三角形，ABB
7、D，若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比解析(1)证明：如图，取AC的中点O，连接DO，BO因为ADCD，所以ACDO又由于ABC是正三角形，所以ACBO从而AC平面DOB，故ACBD(2)解：连接EO由(1)及题设知ADC90，所以DOAO在RtAOB中，BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90由题设知AEC为直角三角形，所以EOAC又ABC是正三角形，且ABBD，所以EOBD故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为11
8、B级素养提升一、选择题1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为A1C1上的点，则下列直线中一定与CE垂直的是 (B)AACBBDCA1D1DA1A解析BDAC，BDA1A，ACA1AA，BD平面ACC1A1又CE平面ACC1A1，BDCE2a、b是两条异面直线，下列结论正确的是(D)A过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b平行B过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b相交C过不在a、b上的任一点，可作一条直线与a、b都平行D过a可以并且只可以作一个平面与b平行解析A错，若点与a所确定的平面与b平行时，就不能使这个平面与a平行了B错，若点与a所确定的平面与b平行时，就不能作一条
9、直线与a，b相交C错，假如这样的直线存在，根据公理4就可有ab，这与a，b异面矛盾D正确，在a上任取一点A，过A点作直线cb，则c与a确定一个平面与b平行，这个平面是唯一的二、填空题3已知ABC所在平面外一点P到ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是ABC的_外心_.(填“重心”“外心”“内心”“垂心”)解析P到ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到ABC三顶点的距离都相等，所以是外心4已知直线l平面，直线m平面，给出下列四个结论：，llm；lm；lm； lm其中正确的两个结论是_解析lm，故对；l或l，又m是内的一条直线，故lm不对；，对；m或m，无论哪种情况
10、与m结合都不能得出三、解答题5在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形(1)若ACBC，证明：直线BC平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE平面A1MC？请证明你的结论解析(1)因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1AB，AA1AC因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线，所以AA1平面ABC因为直线BC平面ABC，所以AA1BC又由已知，ACBC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线，所以BC平面ACC1A1(2)取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，A
11、C1的交点由已知，O为AC1的中点连接MD，OE，则MD，OE分别为ABC，ACC1的中位线，所以，MD綊AC，OE綊AC，因此MD綊OE连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DEMO因为直线DE平面A1MC，MO平面A1MC所以直线DE平面A1MC即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE平面A1MC6如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD、PC的中点，求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD解析(1)因为平面PAD底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以
12、PA底面ABCD(2)因为ABCD，CD2AB，E为CD的中点，所以ABDE，且ABDE所以四边形ABED为平行四边形所以BEAD又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE平面PAD(3)因为ABAD，而且ABED为平行四边形，所以BECD，ADCD由(1)知PA底面ABCD所以PACD所以CD平面PAD所以CDPD因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PDEF.所以CDEF，又因为CDBE，BEEFE，所以CD平面BEF. 所以平面BEF平面PCDC级能力拔高(2017全国卷文，18)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90(1
13、)证明：直线BC平面PAD；(2)若PCD的面积为2，求四棱锥PABCD的体积解析(1)证明：在平面ABCD内，因为BADABC90，所以BCAD又BC平面PAD，AD平面PAD，故BC平面PAD(2)解：如图，取AD的中点M，连接PM，CM由ABBCAD及BCAD，ABC90得四边形ABCM为正方形，则CMAD因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PMAD，PM底面ABCD因为CM底面ABCD，所以PMCM设BCx，则CMx，CDx，PMx，PCPD2x如图，取CD的中点N，连接PN，则PNCD，所以PNx因为PCD的面积为2，所以xx2，解得x2(舍去)或x2于是ABBC2，AD4，PM2所以四棱锥PABCD的体积V24
