1、课时素养评价 二十八向量基本定理(15分钟35分)1.如图,在矩形ABCD中,若=5e1,=3e2,则=()A.(5e1+3e2)B.(5e1-3e2)C.(3e2-5e1)D.(5e2-3e1)【解析】选A.=(+)=(+)=(5e1+3e2).2.对于向量a,b有下列表示:a=2e,b=-2e;a=e1-e2,b=-2e1+2e2;a=4e1-e2,b=e1-e2;a=e1+e2,b=2e1-2e2.其中,向量a,b一定共线的有()A.B.C.D.【解析】选A.对于,a=-b;对于,a=-b;对于,a=4b;对于,若a=b(0),则e1+e2=(2e1-2e2),即(1-2)e1+(1+2
2、)e2=0,所以1-2=1+2=0,矛盾,故中a与b不共线.3.已知非零向量,不共线,且2=x+y,若= (R),则x,y满足的关系是()A.x+y-2=0B.2x+y-1=0C.x+2y-2=0D.2x+y-2=0【解析】选A.由=,得-=(-),即=(1+)-.又因为2=x+y,所以消去得x+y=2.4.(2020天水高一检测)已知a,b不共线,且c=1a+2b(1,2R),若c与b共线,则1=_.【解析】因为a,b不共线,所以a,b可以作为一组基底,又因为c与b共线,所以c=2b,所以1=0.答案:05.已知两个不共线向量e1,e2,且=e1+e2,=3e1+4e2,=2e1-7e2,若
3、A,B,D三点共线,则的值为_.【解析】由=3e1+4e2,=2e1-7e2,得=+=5e1-3e2,又=e1+e2,且A,B,D三点共线,所以存在实数,使得=,即e1+e2=(5e1-3e2),又e1,e2不共线,所以则=-.答案:-6.(2020呼和浩特高一检测)如图所示,四边形ABCD是一个梯形,ABCD,且AB=2CD,M,N分别是DC,AB的中点,已知,=a,=b,试用a,b分别表示, .【解析】因为ABCD,且AB=2CD,所以=a,因此=+ =-a+b+a=-a+b.因为 M,N分别是DC,AB的中点,所以=+ =-a-b+a=a-b,综上所述,=a,=-a+b,=a-b.(30
4、分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.(2020日照高一检测)如图,向量a-b等于()A.-4e1-2e2B.-2e1-4e2C.e1-3e2 D.3e1-e2【解析】选C.如图不妨令a=,b=,则a-b=-=,由平行四边形法则可知=e1-3e2.2.(2020兰州高一检测)设D为ABC所在平面内一点,=-+,若=(R),则=()A.-3B.3C.-2D.2【解析】选A.若=(R),所以-=-,化为=+,又=-+,所以=-,=,解得=-3.3.已知非零向量e1,e2不共线.欲使ke1+e2和e1+ke2共线,则实数k的值为()A.1B.-1C.1或-1D.0【解析】选C.因为ke1
5、+e2与e1+ke2共线,所以存在唯一实数,使ke1+e2=(e1+ke2),即(k-)e1=(k-1)e2,由于e1与e2不共线,只能有所以k=1.【补偿训练】设两个不共线的向量e1,e2,若向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数,使向量d=a+b与向量c共线?【解析】因为d=(2e1-3e2)+(2e1+3e2)=(2+2)e1+(3-3)e2,要使d与c共线,则存在唯一实数k使d=kc,即:(2+2)e1+(-3+3)e2=2ke1-9ke2.由得=-2,故存在这样的实数和,只要=-2,就能使向量d与c共线.4.在ABC中,点D在线段BC
6、的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若=x+(1-x),则x的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选D.依题意,设=,其中1,则有=+=+=+=(1-)+.又因为=x+(1-x),且,不共线,于是有x=1-,即x的取值范围是.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下列叙述正确的是()A.若a,b共线,则存在唯一的实数,使a=bB.b=3a(a为非零向量),则a,b共线C.若m=3a+4b,n=a+2b,则mnD.若a+b+c=0,则a+b=-c【解析】选BCD.判断非零向量a与b共线的方法是:存在实数,使a=b.在A选
7、项中,若a=b=0时不成立.所以A选项错误,B选项正确;在C选项中,m=2n,所以mn,所以C选项正确;D选项也正确.6.如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线AC,BD的交点,N是线段OD的中点,AN的延长线与CD交于点E,则下列说法正确的是()A.=+B.=-C.=+D.=+【解析】选ABC.由向量减法的三角形法则知,=-,故B正确;由向量加法的平行四边形法则知,=+,=+,故A、C正确;D选项显然不正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知e1,e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+e2,要使a,b能作为平面内的一组基底,则实数的取值范围为_.【解析】若能作为平面内的一组基底
8、,则a与b不共线.a=e1+2e2,b=2e1+e2,由akb即得4.答案:(-,4)(4,+)8.如图,在平面内有三个向量,|=|=1,与的夹角为120,与的夹角为30,|=5,设=m+n(m,nR),则m+n=_.【解析】作以OC为一条对角线的平行四边形OPCQ,则COQ=OCP=90,在RtQOC中,2OQ=QC,|=5,则|=5,|=10,所以|=10,又|=|=1,所以=10,=5,所以=+=10+5,所以m+n=10+5=15.答案:15【补偿训练】如图,在ABC中,D为BC的中点,G为AD的中点,过点G任作一直线MN分别交AB,AC于M,N两点,若=x,=y,试问:+是否为定值?
9、【解析】设=a,=b,则=xa,=yb,=.所以=-=-xa=a+b,=-=yb-xa=-xa+yb.因为与共线,且a,b不共线,所以有=,即a+b=(-x)a+yb.所以整理得:x+y=xy,即+=4,所以+为定值.四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,求APPM的值.【解析】设=e1,=e2,则=+=-3e2-e1,=+=2e1+e2.因为A,P,M和B,P,N分别共线,所以存在实数,使=-e1-3e2,=2e1+e2,所以=-=(+2)e1+(3+)e2.又因为=+=2e1+3e2,所以解得所以=,
10、即APPM=41.10.(2020上饶高一检测)在ABC中,=+.(1)求ABM与ABC的面积之比;(2)若N为AB中点,与交于点P,且=x+y (x,yR),求x+y的值.【解析】(1)在ABC中,=+,4=3+,3(-)=-,即3=,即点M是线段BC靠近B点的四等分点.故ABM与ABC的面积之比为.(2)因为=+,=x+y(x,yR),所以x=3y,因为N为AB的中点,所以=-=x+y-=+y,=-=x+y-=x+(y-1),因为,所以=,即+y=x+(y-1),所以解得:2x+y=1,又x=3y,所以x=,y=,所以x+y=.1.已知=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,试判断A,B
11、,C,D四点构成的图形.【解析】因为=+=-8a-2b,所以=2.若A,B,C三点共线,则存在实数,使=,即a+2b=-4a-b,所以矛盾,所以A,B,C三点不共线,故A,B,C,D四点不共线.所以,|=2|,故A,B,C,D四点构成一个梯形.2.(2020哈尔滨高一检测)我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现,是中国古代数学的图腾,还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的,若=a,=b,E为BF的中点,则=() A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b【解析】选A.设BE=m,则AE=BF=2BE=2m,在RtABE中,可得AB=m.过点E作EHAB于点H,则EH=m,EHAD,AH=m.所以AH=AB,HE=AD.所以=+=+=a+b. 【补偿训练】在ABC中,点P是AB上一点,且=+,Q是BC的中点,AQ与CP的交点为M,又=t,则t的值为_.【解析】因为=+,所以3=2+,即2-2=-,所以2=,即P为AB的一个三等分点,如图所示.因为A,M,Q三点共线,所以=x+(1-x)=+(x-1),而=-,所以=+.又=-=-+,由已知=t,可得+=t,又,不共线,所以解得t=.答案:
