1、导数与函数的单调性（4）.对数函数的导数:.1)(ln)1(xx.ln1)(log)2(axxa（5）.指数函数的导数:.)()1(xxee).1,0(ln)()2(aaaaaxxxxcos)(sin1）（3）.三角函数：xxsin)(cos2）（1）.常函数：(C)/0,(c为常数)；（2）.幂函数：(xn)/nxn1一复习回顾：1.基本初等函数的导数公式函数 y=f(x)在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 G 且 x 1 x 2 时yxoabyxoab1）都有 f(x 1)f(x 2)，则 f(x)在G 上是增函数；2）都有 f(x 1)f(x 2)，则 f(x)在G 上是减函数；若
2、f(x)在G上是增函数或减函数，则 f(x)在G上具有严格的单调性。G 称为单调区间G=(a,b)二、复习引入:(1)函数的单调性也叫函数的增减性；(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量x而言的。若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间；若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1x2的前提下,比较f(x1)f(x2)的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.观 察:下图(1)表示高台跳水运动
3、员的高度 h 随时间 t 变化的函数的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数的图象.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?105.69.4)(2ttth()9.86.5v tt aabbttvhOO 运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t 的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,.0)()(thtv 从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,.0)()(thtv(1)(2)xyOxyOxyOxyOy=xy=x2y=x3xy1 观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的
4、关系.在某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数 在这个区间内单调递增;如果 ,那么函数 在这个区间内单调递减.0)(xf)(xfy 0)(xf)(xfy 题1 已知导函数的下列信息:当1 x 4,或 x 1时,当 x=4,或 x=1时,)(xf;0)(xf;0)(xf.0)(xf试画出函数的图象的大致形状.)(xf解:当1 x 4,或 x 0(或f(x)0,即X1,函数f(x)单调递增 当f/(x)0,即X0,即X0,函数f(x)单调递增 当f/(x)0,即X0,即-1x1,函数f(x)单调递增 当f/(x)0,即X1,函数f(x)单调递减 又f/(1)=0,f/(-1)=0,f(x)的单调递
5、增区间-1,1 单调递减区间(-,-1;1,+)1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:332(3)()3;(4)().f xxxf xxxx课本P93:练习1(4)f(x)=x3-x2-x f/(x)=3x2-2x-1.当f/(x)0,即x1或x-13,函数f(x)单调递增 当f/(x)0,即-13 x1,函数f(x)单调递减 又f/(1)=0,f/(-13)=0,f(x)的单调递增区间1,+);(-,-13 单调递减区间-13,1332(3)()3;(4)().f xxxf xxxx1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:练习2.函数的图象如图所示,试画出导函数图象的大致形状)(xfy
6、)(xf 108642-2-4-6-8-10-55101520课本P93:练习2:baC练习3.讨论二次函数的单调区间.)0()(2acbxaxxf解:)0()(2acbxaxxf.2)(baxxf0)1(a由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是0)(xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab0)2(a由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是0)(xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab课本P93:练习4:证明:因为f(x)=2x3-6x2+7 f/(x)=6x2-12x=6x(x-2),当x(0,2)时,f/(x)=6x(x-2)0,即在（0，1上恒成立f x
7、a-xx31max而()在（0，1上单调递增，()(1)=-1g xxg xg 1a-2120 10 1已知函数（），(若（）在(上是增函数，求 的取值范围f xaxx,f xxx,a.增例2：322当a1时，()f xx 1对x（0，1）也有()0时，（）在(0,1)上是增函数f xa-f x所以a的范围是-1，+）在某个区间上，f（x）在这个区间上单调递增（递减）；但由f（x）在这个区间上单调递增（递减）而仅仅得到是不够的。还有可能导数等于0也能使f（x）在这个区间上单调，所以对于能否取到等号的问题需要单独验证()0(或0(或0)f x2120 10 1已知函数（），(若（）在(上是增函数
8、，求 的取值范围f xaxx,f xxx,a.增例2：322当a1时，()f xx 1对x（0，1）也有()0时，（）在(0,1)上是增函数f xa-f x所以a的范围是-1，+）本题用到一个重要的转化：maxminmf()恒成立()()恒成立()xmf xmf xmf x320f xax-xxaf xa练习2已知函数()=，(0,1,若()在（0，1上是增函数，求 的取值范围。3)2,320f xax-xxaf xa练习2已知函数()=，(0,1,若()在（0，1上是增函数，求 的取值范围。解:f/(x)=2a-3x2,因为f(X)在(0,1上是增函数,f/(x)=2a-3x20 在(0,1上恒成立 即 a 3x22 在(0,1上恒成立,设g(x)=3x22 因为g(x)在(0,1上是增函数 g(x)max=32,a32 作业:课本P93:练习1,2 (写在书上)课本选修1-1,习题3.3 P98:A1,A2,A3.(写在通用练习本上)选修1-1作业本P47:3.3.1 函数的单调性与导数 (先完成后检查)
