1、北京市第十三中学20202021学年第一学期高三年级数学开学测试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷从第1页至第3页：第卷从第3页至第5页；答题纸从第1页至第4页.共150分，考试时间120分钟.请在答题纸规定处书写班级、姓名、准考证号.考试结束后，将本试卷的答题纸和答题卡一并交回.第卷（共40分）一.选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分.各题均有四个选项，其中只有一个是符合题目要求的）1. 设复数，则复数（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由除法法则计算出后可得其共轭复数【详解】，故选：B【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，根
2、据除法法则直接计算化简即可2. (1+2x)5的展开式中，x2的系数等于A. 80B. 40C. 20D. 10【答案】B【解析】【详解】 的展开式的通项 ，令 解得 (1+2x)5的展开式中，x2的系数为3. 投掷一颗骰子，掷出的点数构成的基本事件空间是=1，2，3，4，5，6设事件A=1，3，B=3，5，6，C=2，4，6，则下列结论中正确的是（ ）A. A，C为对立事件B. A，B为对立事件C. A，C为互斥事件，但不是对立事件D. A，B为互斥事件，但不是对立事件【答案】C【解析】试题分析：根据对立事件与互斥事件的定义进行判断，由于，因此A错；，因此B错；，因此C对；，因此D错；考点：
3、对立事件；互斥事件；4. 设函数，则的极大值点和极小值点分别为（ ）A. 2，2B. 2，2C. 5，3D. 5，3【答案】A【解析】【分析】求出导函数，由导函数确定函数的单调性与极值【详解】易知函数定义域是，由题意，当或时，当或时，在和上递增，在和上递减，极大值点2，极小值点是2故选：A【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，求出导函数，确定导函数的正负是解题关键5. 甲、乙两人独立地解同一问题，甲解出这个问题的概率，乙解出这个问题的概率是，那么其中至少有1人解出这个问题的概率是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由甲解决这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，则“至少有
4、一人解决这个问题”的事件的对立事件为“甲、乙两人均不能解决该问题”，我们可先求出“甲、乙两人均不能解决该问题”，然后根据对立事件概率减法公式，代入求出答案【详解】甲解决这个问题的概率是，甲解决不了这个问题的概率是，乙解决这个问题的概率是，乙解决不了这个问题的概率是则甲、乙两人均不能解决该问题的概率为则甲、乙两人至少有一人解决这个问题的概率为故选：【点睛】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式及对立事件概率减法公式，其中根据已知求出“甲乙两个至少有一人解决这个问题”的事件的对立事件为“甲、乙两人均不能解决该问题”的概率，是解答本题的关键6. 在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，
5、现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如右面的频率分布直方图所示若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h120 km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有( )A. 30辆B. 1700辆C. 170辆D. 300辆【答案】B【解析】【分析】由频率分布直方图求出在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率，由此能估2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有多少辆.【详解】由频率分布直方图得：在这段时间内以正常速度通过该处的汽车的频率为，估计辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有（辆），故选B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的应
6、用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.7. 若，则下列命题正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用导数得出其单调性，得出时，恒成立，存在，使得，这样可得正确选项同【详解】设，则，存在，使得，当时，递增，当时，递减，又，时，即，B正确，A错误；设，则，存在，使得，当时，递增，当时，递减，又，在上存在零点，即，CD均错故选：B【点睛】本题考查考查用导数研究函数的单调性，
7、证明不等式成立解题关键是构造函数，由函数研究不等式问题8. 下图是两组各名同学体重（单位：）数据的茎叶图设，两组数据的平均数依次为和，标准差依次为和，那么（ ）（注：标准差，其中为的平均数）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】试题分析：，所以，.考点：1.茎叶图；2.平均数与标准差9. 教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为（ ）A. 84B. 42C. 41D. 35【答案】B【解析】【分析】分选出0本论语、1本论语、2本论语、3本论语四种情况，分别求出选法，即可得出结果.【详解】由题意，若选
8、出0本论语，则有种选法；若选出1本论语，则有种选法；若选出2本论语，则有种选法；若选出3本论语，则有种选法；综上，不同的选法种数为.故选B【点睛】本题主要考查计数原理，熟记分类加法计算原理即可，属于常考题型.10. 已知函数，若同时满足条件：，为的一个极大值点；，.则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】条件说明在上存在零点，极大值点，利用方程的根可得的范围，然后求出条件不等式恒成立的范围，求交集可得的范围【详解】定义域是，在存在极大值点，则有两个不等实根，或，设的两个实根为，或时，时，当，则，但时，不可能是极大值点；当时，由知，或时，时，即在和上递增，在上
9、递减，是极大值点，满足题意所以，则，综上故选：A【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，及不等式恒成立问题，求解不等式恒成立问题的方法是问题的转化，转化为求函数的最值第卷（共110分）二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分.）11. 若复数满足，则_.【答案】【解析】【分析】先求出复数，再求模.【详解】由得，则.【点睛】本题考查复数的运算，考查计算能力，属于基础题.12. 100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件.已知第1次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率是_.【答案】【解析】【分析】在第次抽到次品后，还有件次品，件正品，利用概率计算公式可得结果.【详解】第次抽到次
10、品后，还有有件次品，件正品，则第二次抽到正品的概率为，故答案为.【点睛】本题主要考查条件概率，属于简单题.解答条件概率问题时，一定要注意条件概率与独立事件概率的区别与联系.13. 二项式的展开式中，常数项等于_；二项式系数和为_.【答案】 (1). -540 (2). 64【解析】【分析】求出二项展开式通项公式，令的指数为0，得常数项的项数，从而得常数项，根据二项式系数的性质可得二项式系数和【详解】展开式通项公式为，令，常数项为，展开式中二项式系数和为故答案为：540；64【点睛】本题考查二项式定理，二项式系数的性质，解题关键是掌握二项展开式通项公式14. 同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量
11、表示结果中有正面向上，表示结果中没有正面向上，则_.【答案】【解析】【分析】先求出结果中没有正面向上的概率和结果中有正面向上的概率，再利用期望公式求解.【详解】由题意知，结果中没有正面向上的概率为，此时，而时对应概率为，故答案为：【点睛】本题主要考查随机变量的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15. 学号分别为1，2，3，4的四位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为_.【答案】2【解析】【分析】用列举法写出所有符合条件的排列【详解】满足题意的排列,3142，2413，只有两个故答案为：2【点睛】本题考查排列，直接写出排列是排列个数较少时的一种方法16. 已知
12、函数.（1）函数的最大值等于_；（2）若对任意，都有成立，则实数a的最小值是_.【答案】 (1). (2). 1【解析】【分析】（1）求出导函数，由导函数确定单调性，极值，得最大值；（2）若对任意，都有成立，等价于当时，而由（1）在上，因此只要当时，即可得，由此可得的取值范围，从而得的最小值【详解】（1）函数定义域是，时，递增，时，递减，时，取得极大值也最大值；（2）若对任意，都有成立，等价于当时，由（1）当时，且，满足题意；当，在上递增，在递减，只要即可，综上，的最小值是1.故答案为：；1【点睛】本题考查用导数求函数最值，研究不等式恒成立问题，恒成立问题的解题关键转化为函数的最小值，由单调性
13、易得结论三、解答题（本大题共6小题，满分80分）17. 已知函数，其中为实数.（1）求导数；（2）若，求在上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）利用基本初等函数的导数以及导数的运算法则即可求解.（2）利用，求得，再利用导数求出函数的单调区间，进而求出最值.【详解】（1）由，则（2）因为，则，解得，所以，当，解得，减区间为，当，解得或，增区间为，所以，综上所述，【点睛】本题考查了导数的基本运算法则、利用导数求函数的最值，属于基础题.18. 某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获
14、得数据如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立（）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（）将该校学生支持方案的概率估计值记为，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小（结论不要求证明）【答案】（）该校男生支持方案一的概率为，该校女生支持方案一的概率为；（）,（）【解析】【分析】（）根据频率估计概率，即
15、得结果；（）先分类，再根据独立事件概率乘法公式以及分类计数加法公式求结果；（）先求，再根据频率估计概率，即得大小.【详解】（）该校男生支持方案一的概率为，该校女生支持方案一的概率为；（）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率为：;（）【点睛】本题考查利用频率估计概率、独立事件概率乘法公式，考查基本分析求解能力，属基础题.19. 年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破亿微信用户平均年龄只有岁，的用户在岁以下，的用户在岁之间，为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信的数量，现在
16、从北京大学生中随机抽取位同学进行了抽样调查，结果如下：微信群数量频数频率至个至个至个至个个以上合计（）求，的值（）若从位同学中随机抽取人，求这人中恰有人微信群个数超过个的概率（）以这个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取人，记表示抽到的是微信群个数超过个的人数，求的分布列和数学期望【答案】（），（）（）见解析.【解析】【分析】(1)由频率分布列的性质及,能求出a,b,c的值. (2)记“2人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A,利用等可能事件概率计算公式能求出2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率. (3)依题意可知,微信群个数超过15个的概率为的所
17、有可能取值0,1,2,3,由此能求出X的分布列和数学期望EX.【详解】（）由已知得，解得，（）记“人中恰有人微信群个数超过个”为事件，则所以，人中恰有人微信群个数超过个的概率为（）依题意可知，微信群个数超过个概率为的所有可能取值，则，所以分布列为：数学期望【点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.20. 已知函数.（1）求的单调区间；（2）若对所有都有，求实数a的取值范围.
18、【答案】（1）在的单调递减，在单调递增；（2）.【解析】【分析】（1）求出导函数，由确定增区间，确定减区间；（2）分离参数得，利用导数求得在上的最小值即可【详解】解：（1）函数定义域为，.令解得；令解得.所以在的单调递减，在单调递增.（2）依题意，得在上恒成立，即不等式对于恒成立.令，即，当时，因为，故是上的增函数，所以，则.所以的取值范围是.【点睛】本题考查用导数求单调区间，研究不等式恒成立问题，利用分离参数法解决不等式恒成立问题，转化为求函数的最值21. 甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出
19、3道题进行测试,答对一题加10分,答错一题(不答视为答错)减5分,至少得15分才能入选.（1）求乙得分的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.【答案】（1）分布列详见解析，；（2）【解析】【分析】（1）确定乙答题所得分数的可能取值，求出相应的概率，即可得到乙得分的分布列和数学期望；（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，求出甲、乙入选的概率，利用对立事件，即可求得结论【详解】（1）设乙答题所得分数为，则的可能取值为，0，15，30，；乙得分的分布列如下：X-1501530P（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件，乙入选为事件则，故甲乙两人至少有一人入选的概
20、率【点睛】本题考查概率的计算，考查互斥事件的概率，考查离散型随机变量的分布列与期望，确定变量的取值，计算其概率是关键22. 已知函数，其中.（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；（2）如果对于任意，且，都有，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，对函数求导，得出切线斜率，进而可求出切线方程；（2）先由题意，得到函数是定义在上的增函数；根据导数的方法以及二次函数的性质，由分段函数单调性，分别求解，即可得出结果.【详解】（1）由题意，得时， 所以，又因为，所以函数的图象在点处的切线方程为；（2）因为对于任意，且，都有，所以是定义在上的增函数；当时，是开口向下，对称轴为的二次函数，为使其在上单调递增，只需；当时， 则，令，解得.随着x变化时，和的变化情况如下：x0即函数在上单调递减，在上单调递增，且.为使其在上单调递增，只需；又因为，即时，的最大值，必然小于时，的最小值；综上，满足题意的的取值范围为.【点睛】本题主要考查求曲线在某点的切线方程，考查由分段函数单调性解不等式，利用导函数的方法求解即可，属于常考题型.
