1、1.1.4投影与直观图自主学习 学习目标1初步了解空间图形平行投影和中心投影的原理，初步理解平行投影的性质2了解空间图形的不同表示形式，会运用斜二测画法的规则画出水平放置的简单空间图形的直观图 自学导引1平行投影的性质当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质：(1)直线或线段的平行投影仍是_或_；(2)平行直线的平行投影是_或_的直线；(3)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段_且_；(4)与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形_；(5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比_这两条线段的比2水平放置的平面图形的直观图的画法(1)表示空间图形的_，叫做空间图形的
2、直观图(2)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段在直观图中分别画成_于x轴、y轴或z轴的线段，平行于x轴和z轴的线段，在直观图中长度_，平行于y轴的线段，长度为原来的_(3)对于图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端点作坐标轴的_，再借助于所作的_确定端点在直观图中的位置3中心投影 一个_把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影对点讲练知识点一平行投影的概念性质例1下列命题中正确的个数为()直线或线段的平行投影仍是直线或线段；矩形的平行投影一定是矩形；两条相交直线的投影可能平行；如果ABC在一投影
3、面内的平行投影是ABC，则ABC的重心M在投影面内的平行投影M一定是ABC的重心A1B2C3D4点评本题必须明白平行直线(与投射线不平行)的平行投影是平行直线或重合的直线；在同一直线上或平行直线上，两条线段的平行投影的比等于两条线段的比一般来说正方形、菱形、长方形的平行投影是平行四边形，梯形的平行投影是梯形变式训练1关于直角AOB在某平面内的平行投影有如下判断：可能是0角；可能是锐角；可能是直角；可能是钝角；可能是180的角其中正确判断的序号是_知识点二水平放置的平面图形的直观图例2用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图点评此类问题的解题步骤是：建系、定点、连线成图要注意选取
4、恰当的坐标原点，能使整个作图变得简便变式训练2将例2中三角形放置成如图所示，则直观图与例2中还一样吗？知识点三将直观图恢复为原平面图形例3如图，ABC是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形点评由直观图恢复到平面图形的步骤与斜二测画法的步骤一样，注意角度的改变，平行性不变，长度的变化，关键是点的确定变式训练3已知ABC的平面直观图ABC是边长为a的正三角形，那么原ABC的面积为()A.a2 B.a2 C.a2 D.a21直观图中应遵循的基本原则：(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中应分别画成平行于x轴、y轴、z轴的线段；(2)平行于x
5、轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的.2用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的倍3在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.课时作业一、选择题1人在灯光下走动，当人逐渐远离灯光时，其影子的长度将()A逐渐变短 B逐渐变长C不变 D以上都不对2已知正三角形ABC的边长为a，那么ABC的直观图ABC的面积为()A.a2 B.a2 C.a2 D.a23.如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是()4如图建立坐标系，得
6、到的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是()5如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的()题号12345答案二、填空题6水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示，已知AC3，BC2，则AB边上的中线的实际长度为_7.如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B到x轴的距离为_三、解答题8如图所示，梯形ABCD中，ABCD，AB4 cm，CD2 cm，DAB30，AD3 cm，试画出它的直观图9.如图所示，四边形ABCD是一个直角梯形，CDAB，CDAO1，AOD为等腰直角三角形
7、，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积. 【答案解析】自学导引1(1)直线线段(2)平行重合(3)平行等长 (4)全等(5)等于2(1)平面图形(2)平行不变一半(3)平行线平行线3点光源对点讲练例1A命题错误，当直线或线段与投射线平行时，其平行投影是点；命题错误，当投射线不与矩形所在平面垂直时，平行投影可以是平行四边形或者线段；命题错误，两条相交直线的投影可能是相交直线或重合的直线，不可能平行；命题正确，重心的平行投影仍是重心变式训练1例2解(1)如图所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴(2)画对应的x轴、y轴，使xOy45.在x轴上截取OBOC2 cm，在
8、y轴上截取OAOA，连接AB，AC，则三角形ABC即为正三角形ABC的直观图，如图所示变式训练2解(1)如图所示，以BC边所在的直线为y轴，以BC边上的高AO所在的直线为x轴(2)画对应的x轴、y轴，使xOy45.在x轴上截取OAOA，在y轴上截取OBOCOC1 cm，连接AB，AC，则三角形ABC即为正三角形ABC的直观图，如图所示显然与例2中既不全等也不相似例3解画法：(1)以点C为原点，画直角坐标系xOy，在x轴上取OAOA，即CACA；(2)在图1中，过B作BDy轴，交x轴于D，在x轴上取ODOD，过D作DBy轴，并使DB2DB.(3)连接AB、BC，则ABC即为ABC原来的图形，如图
9、2.变式训练3C画ABC直观图如图(1)所示：则ADa，又xOy45，AOa.画ABC的实际图形，如图(2)所示，AO2AOa，BCBCa，SABCBCAOa2.课时作业1B中心投影的性质2D先画出正三角形ABC，然后再画出它的水平放置的直观图，如图所示由斜二测画法规则知BCa，OAa.过A作AMx轴，垂足为M，则AMOAsin 45aa.SABCBCAMaaa2.3A4.C5.C6.2.57.解析画出直观图，则B到x轴的距离为OAOA.8解(1)如图a所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图b所示，画出对应的x轴，y轴，使xOy45.(2)在图a中，过D点作DEx轴，垂足为E.在x轴上取ABAB4 cm，AEAE2.598 cm；过点E作EDy轴，使EDED，再过点D作DCx轴，且使DCDC2 cm.(3)连接AD、BC，并擦去x轴与y轴及其他一些辅助线，如图c所示，则四边形ABCD就是所求作的直观图9解在梯形ABCD中，AB2，高OD1.由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，如图所示在直观图中，ODOD，梯形的高DE，于是，梯形ABCD的面积S(12).
