1、44对数函数44.3不同函数增长的差异课程目标 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型，了解直线上升、指数爆炸、对数增长等含义；2.能够判断不同函数增长的差异 知识点三种常见函数模型的增长差异函数性质yax(a1)ylogax(a1)ykx(k0)在(0，)上的单调性_单调递增_单调递增_单调递增_图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定增长速度不变形象描述指数爆炸对数增长直线上升增长速度yax(a1)的增长速度最终都会大大超过_ykx(k0)_的增长速度；总存在一个x0，当xx0时，恒有_logaxx0时，有_axkxlogax_研读三种函数中，当a1时，函数yax
2、函数值的增长速度是最快的 判断正误(请在括号中打“”或“”).(1)当x增加一个单位时，y增加或减少的量是定值，则y是x的一次函数()(2)函数ylog3x的增长速度越来越慢()(3)存在一个实数m，使得xm时，1.01xx10.()(4)不存在实数m，使得xm时，kxln x(k0).()以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：x12345678y1248163264128256y21491625364964y3011.58522.3222.5852.8073其中关于x呈二次函数变化的变量是_y2_；呈指数增长的变量是_y1_；呈对数增长的变量是_y3_【解析】 从表格中可以看
3、出，y12x，y2x2，y3log2x.所以关于x呈二次函数变化的变量是y2；呈指数增长的变量是y1；呈对数增长的变量是y3.规律方法常见的函数模型及增长特点：(1)线性函数模型：线性函数模型ykxb(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变(2)指数函数模型：能用指数型函数f(x)abxc(a，b，c为常数，a0，b1)表达的函数模型的增长特点是随着自变量x的增大，函数值增长的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”(3)对数函数模型：能用对数型函数f(x)mlogaxn(m，n，a为常数，m0，x0，a1)表达的函数模型的增长特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢
4、，常称之为“蜗牛式增长”(4)幂函数模型：能用函数f(x)axb(a，b，为常数，a0，1)表达的函数模型的增长情况由a和的取值确定 活学活用已知函数y12x，y2x2，y3log2x，在区间(0，)上一定存在x0，当xx0时(A)A2xx2log2x Bx22xlog2xClog2x2xx2 Dlog2xx22x【解析】 由于指数函数增长最快，对数函数增长最慢，因此当x很大时，指数函数值最大，对数函数值最小即在区间(0，)上一定存在x0，当xx0时，2xx2log2x，故选A. 函数f(x)1.1x，g(x)ln x1，h(x)x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三者的增长差
5、异(以1，e，a，b，c，d为分界点).解：因为f(x)1.1x的图象沿y轴向上增长，h(x)x的图象经过原点，所以可得出曲线C1对应的函数是f(x)1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)x，曲线C3对应的函数是g(x)ln x1.由图象可得：当0xh(x)g(x)；当1xg(x)h(x)；当exf(x)h(x)；当axh(x)f(x)；当bxg(x)f(x)；当cxf(x)g(x)；当xd时，f(x)h(x)g(x). 活学活用函数f(x)lg x，g(x)0.3x1的图象如图所示(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)比较两个函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(
6、x)的大小进行比较).解：(1)C1对应的函数为g(x)0.3x1，C2对应的函数为f(x)lg x.(2)当x(0，x1)时，g(x)f(x)；当x(x1，x2)时，f(x)g(x)；当x(x2，)时，g(x)f(x).规律方法由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法：根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数 某化工厂开发研制了一种新产品，前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产
7、量y(单位：t)与月序数x之间的关系对此模拟函数可选用二次函数yf(x)ax2bxc(a，b，c均为待定系数，a0，xN*)或函数yg(x)pqxr(p，q，r均为待定系数，p0，xN*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？解：根据题意列方程组，解得所以yf(x)5x235x70.同理yg(x)800.5x140.再将x4分别代入式与式得，f(4)54235470130，g(4)800.54140135.与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以式作为模拟函数比式更好，故选用函数yg(x)pqxr作为模拟函
8、数较好 活学活用某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？解：A种债券的收益是100元一年到期收益3元；B种债券的半年利率为，所以100元一年到期的本息和为100105.68(元)，收益约为5.68元；C种债券的利率为，100元一年到期的本息和为100103.09(元)，收益约为3.09元通过以上分析，应购买B种债券规律方法建立函数模型应遵循的三个原则：(1)简化原则：建立函数模型，原型
9、一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题1下列函数中，当x不断增大时，增长速度最快的是(A)Ay2 021x Byx2 021Cylog2 021x Dy2 021x【解析】 比较幂函数、指数函数与对数函数的图象可知，指数函数增长速度最快，故选A.2某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数yf(x)的图象大致为(D)【解析】 设
10、该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得axa(10.104)y，故ylog1.104x(x1)，所以函数yf(x)的图象大致为D中图象，故选D.3某化工厂2020年12月的产量是2020年1月份产量的n倍，则该化工厂这一年的月平均增长率是(D)A BC1 D1【解析】 设月平均增长率为x，第一个月的产量为a，则有a(1x)11na，所以1x，所以x1.4有一组实验数据如下表所示：x12345y413284976下列所给函数模型较适合的是(C)Aylogax(a1) Byaxb(a1)Cyax2b(a0) Dylogaxb(a1)【解析】 通过所给数据可知y随x的增大而增大，其增长速度越来越快，而选项A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变，故选C.5某细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(由1个分裂为2个)，则这种细菌由1个分裂成2 048个需要经过_3_小时【解析】 设共分裂了n次，则有2n2 048，即2n211，所以n11，所用时间为1120220(分钟)3(小时).
