1、31两角和与差的正弦、余弦和正切公式31.1两角差的余弦公式 学习目标1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算知识链接1当，时，cos()cos cos 成立那么当、R时，cos()cos cos 恒成立吗(举例说明)?答不恒成立，如，时2请你计算下列式子的值，并根据这些式子的共同特征，写出一个猜想cos 45cos 45sin 45sin 451cos 0；cos 60cos 30sin 60sin 30cos 30；cos 30cos 120sin 30sin 1200cos(90)；co
2、s 150cos 210sin 150sin 210cos(60)猜想：cos cos sin sin cos()；即：cos()cos cos sin sin .预习导引两角差的余弦公式C()：cos()cos cos sin sin ，其中、为任意角.要点一运用公式求值例1计算：(1)cos(15)；(2)cos 15cos 105sin 15sin 105.解(1)方法一原式cos(3045)cos 30cos 45sin 30sin 45.方法二原式cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.(2)原式cos(15105)cos(90)cos 900
3、.规律方法利用两角差的余弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角转化为特殊角的和差，正用公式直接求解(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式右边形式，然后逆用公式求值跟踪演练1计算：(1)sin 75；(2)sin xsin(xy)cos xcos(xy)解(1)sin 75cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.(2)原式cosx(xy)cos(y)cos y.要点二给值求值例2设cos ()，sin ，其中，求cos .解，sin .cos .cos coscoscossinsin.规律方法三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换
4、、函数名称的变换、三角函数式结构的变换其中角的变换是最基本的变换常见的有：()，()，(2)()，等跟踪演练2已知cos ，cos()，且、，求cos 的值解、，(0，)又cos ，cos()，sin ，sin().又()，cos cos()cos()cos sin()sin .要点三已知三角函数值求角例3已知、均为锐角，且cos ，cos ，求 的值解、均为锐角，sin ，sin .cos ()cos cos sin sin .又sin sin ，0，0.故.规律方法 解答已知三角函数值求角这类题目，关键在于合理运用公式并结合角的范围，对所求的解进行取舍，其关键环节有两个：一是求出所求角的某
5、种三角函数值，二是确定角的范围，然后结合三角函数图象就易求出角的值跟踪演练3已知cos()，cos()，且，求角的值解由，且cos()，得sin().由，且cos()，得sin()，cos 2cos()()cos()cos()sin()sin()1.又，2，2，则.1cos 78cos 18sin 78sin 18的值为()A. B. C. D.答案A解析cos 78cos 18sin 78sin 18cos(7818)cos 60，故选A.2cos 165等于()A. B. C D答案C解析cos 165cos(18015)cos 15cos(4530)(cos 45cos 30sin45s
6、in 30).3计算：sin 60cos 60 .答案解析原式sin 30sin 60cos 30cos 60cos(6030)cos 30.4已知sin ，sin ，且180270，90180，求cos()解因为sin ，180270，所以cos .因为sin ，90180，所以cos .所以cos()cos cos sin sin .1.给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式(或某些角的三角函数值)，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧2“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值
7、”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：求角的某一三角函数值；确定角所在的范围(找区间)；确定角的值确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定一、基础达标1若sin sin 1，则cos()的值为()A0 B1 C1 D1答案B解析由sin sin 1，得cos cos 0，cos()cos cos sin sin 1.2化简cos(45)cos(15)sin(45)sin(15)的结果为()A. B C. D答案A解析原式cos(45)cos(15)sin(45)sin(15)cos(45)(15)cos(60).3若cos()，cos 2，并且、均为锐角且，则的值为()A. B. C
8、. D.答案C解析sin()(0)sin 2，cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin()，(0，)，.4在ABC中，若sin Asin Bcos Acos B，则ABC一定为()A等边三角形 B直角三角形C锐角三角形 D钝角三角形答案D解析sin Asin B0，cos(AB)0即cos(C)0，cos C0，cos C0，0CC，ABC为钝角三角形5已知点A(cos 80，sin 80)，B(cos 20，sin 20)，则|等于()A. B. C. D1答案D解析|1.6若cos()，则(sin sin )2(cos cos )2 .答案解析原式22(sin sin c
9、os cos )22cos().7已知、为锐角，cos ，sin()，求角的值解为锐角，cos ，sin .又为锐角，0.sin()sin ，cos()，cos cos()cos()cos sin()sin ，为锐角，.二、能力提升8将函数ycos xsin x(xR)的图象向左平移m(m0)个长度单位后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是()A. B. C. D.答案B解析ycos xsin x2cos，将函数y2cos的图象向左平移m(m0)个单位长度后，得到y2cos，此时关于y轴对称，则mk，kZ，所以mk，kZ，所以当k0时，m的最小值是，选B.9已知sin ，则cos()的值
10、为()A. BC. D.或答案D解析sin ，cos ，cos()cos cossin cos(cos sin )当cos 时，原式().当cos 时，原式().10若sin sin ，cos cos ，则cos() .答案11已知：cos(2)，sin(2)，且，0，求cos()解因为，0，所以2.因为cos(2)，所以2.所以sin(2).因为，0，所以2.因为sin(2)，所以020，xR)的最小正周期为10.(1)求的值(2)设，0，f(5)，f(5)，求cos cos sin sin 的值(3)求f(x)的单调递增区间解(1)T10，所以.(2)f(5)2cos(5)2cos()2sin ，所以sin ，f(5)2cos(5)2cos ，所以cos ，因为，0，所以cos ，sin ，所以cos cos sin sin .(3)f(x)2cos()，由2k2k，kZ，得10kx10k，kZ，所以单调递增区间为10k，10k(kZ)
