1、一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1.设复数，为虚数单位，则的共轭复数_.【答案】考点：复数的运算及共轭复数的概念.2.已知幂函数图像过点，则该幂函数的值域是_.【答案】【解析】试题分析：设幂函数的解析式为因为幂函数图像过点，所以，所以该幂函数的解析式为.考点：幂函数的定义及值域.3.设向量，则向量在向量上的投影为 .【答案】-1考点：向量的投影.4.已知函数，则不等式的解集为_.【答案】【解析】试题分析：当时，解得当时，解得，所以不等式的解集为.考点：解不等式.5.若二元一次线性方程
2、组无解，则实数的值是_.【答案】-2考点：二元一次方程组.6.若，则函数的最大值是_.【答案】【解析】试题分析：由题意因为，所以,所以函数的最大值是.考点：求最大值.7.已知圆锥底面半径与球的半径都是，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是 【答案】考点：求圆锥的侧面积.8.已知，其中，则= 【答案】0【解析】试题分析：由题意，解得，令，则，所以.考点：二项式定理的应用.9.已知抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作于，若直线的一个方向向量为，则_【答案】4考点：求线段的长度.10.已知双曲线的左、右焦点分别为，为的右支上一点，且，则的面积等于_.【答案】48【解析】试题
3、分析：由题意得,所以,根据双曲线的定义得，是等腰三角形，边上的高为，所以的面积等于.考点：求三角形的面积.11.函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是_ _.【答案】2031120考点：抽象函数12.若矩阵的元素为随机从1、2、4、8中选取的4个不同数值，则对应的行列式 的值为正数的概率为_.【答案】【解析】试题分析：矩阵的元素为随机从1、2、4、8中选取的4个不同数值，则对应的行列式有种，其中值为正数行列式有：，共8种，所以所求的概率为.考点：行列式与概率.13.在直角坐标系中，以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线.过点的直线的参数方程为（为参数）
4、.设直线与曲线分别交于两点.若成等比数列，则的值为_【答案】1考点：化极坐标和参数方程化为普通方程解决问题.14.已知集合或，对于，表示和中相对应的元素不同的个数，若给定，则所有的和为_.【答案】【解析】试题分析：由题意可得集合或，中，共有个元素，记为，的共有个，的共有个，故答案为.考点：推理与证明.二选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.“”是“任意的，恒成立”的（ ）A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：对于
5、任意x的一切值，使ax+b0恒成立,因为函数y=ax+b在x上是单调的，所以b0且a+b0；a=5，b=-1满足“a+b0”但“b0且a+b0”不成立； “b0且a+b0”“a+b0”，对于x的一切值，a+b0是使ax+b0恒成立的必要不充分条件，故选C考点：充分必要条件的判断.16.若，则为（ ）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】B考点：三角形形状的判断.17.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）A.6 B.5 C.4 D.3【答案】A【解析】试题分析：函数的图像关于直线x=1对称，函数的图像也关于直线x=1对称，画出图像，两
6、图像共有6个交点，关于直线x=1对称，所以它们的交点的横坐标之和等于6.考点：对数函数与余弦函数的图象与性质.18.已知、均为实数，记，.若表示虚数单位，且，则（ ） A. B. C. D.【答案】D考点：复数的几何意义.三解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知函数.（1）求函数的零点，并求反函数；（2）设，若不等式在区间上恒成立，求实数的范围. 【答案】（1）0，,（2）【解析】试题分析：(1)函数的零点即求当y=0时，x的值；反函数的实质是x与
7、y的互换；(2)对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1），（2）试题解析：（1）函数的零点是，（2分）反函数，,（6分），（2）因为,（7分）所以，得到，（9）分）当时，右边最小值为，（11分）所以.（12分）.考点：零点，反函数恒成立问题.20.（本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，已知正四棱柱中，底面边长，侧棱的长为4，过点作的垂线交侧棱于点，交于点.（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）答案见解析（2）（2），设到平面的距离为，则因为，（13分）所以所求线面角的正弦值为.（14分）考点：线线垂直及线面角.21.（本题满分
8、14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，某污水处理厂要在一个矩形的池底水平铺设污水净化管道（直角，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口是的中点，分别落在上，且,设.（1）试将污水管道的长度表示成的函数，并写出定义域；（2）当管道长度为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度.【答案】（1）；（2）试题解析：（1）因为，（3分） （6分）（2），令，（8分）所以在上减，（10分）所以当或时， （13分）答：当或时，.（14分）考点：利用三角函数解应用题.22.（本题满分16分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第
9、3小题满分6分.对于给定数列，如果存在实常数，使得对于任意的都成立，我们称这个数列是“类数列”.（1）若，判断数列是否为“类数列”,并说明理由；（2）若数列是“类数列”，则数列、是否一定是“类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；（3）若数列满足：，设数列的前项和为，求的表达式，并判断是否是“类数列”.【答案】（1）是；（2），不是.（2）因为是“类数列”，所以，所以，因此，是“类数列”.（7分）因为是“类数列”，所以，所以，当时，是“类数列”；（9分）当时，不是“类数列”；（10分）（3）当为偶数时， 当为奇数时， 所以.（12分）当为偶数时， 当为奇数时，（14分） 所以 假设是“类
10、数列”，当为偶数时，当为奇数时，得出矛盾，所以不是“类数列”.（16分）考点：数列的新定义.23.（本题满分18分） 本大题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分 ，第3小题满分8分.如图,已知椭圆与的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别为,过原点且不与轴重合的直线与,的四个交点按纵坐标从大到小依次为、.记,和的面积分别为和.（1）当直线与轴重合时,若,求的值；（2）设直线，若，证明：是线段的四等分点（3）当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线,使得?并说明理由.【答案】(1);(2)证明见解析；（3） 当时,存在这样的直线;当时,不存在这样的直线.试题解析：（1）因为,所以 解得，(小于1的根舍去).（4分）（2）因为，又因为到直线的距离相等，（5分）所以,（7分）由椭圆的对称性，得到,（8分）所以,即是中点，（9分）同理，是中点,是的四分点，得证.（10分）（3）设椭圆,直线: 即 （12分）同理可得,又和的高相等 若存在非零实数使得,则有, 即,解得 （16分）当时,存在这样的直线;当时,不存在这样的直线. （18分）考点：椭圆的综合问题.
