1、上海市普陀区2015届高考数学三模试卷(理科)一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14小题,要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分,填错或不填在正确的位置一律得零分.1复数z=i(i+1)(i为虚数单位)的共轭复数是_2已知幂函数y=f(x)图象过点(2,),则该幂函数的值域是_3设向量,则向量在向量方向上的投影为_4已知函数f(x)=,则不等式f(x)0的解集为_5若二元一次线性方程组无解,则实数a的值是_6若0x,则函数y=cos(x)sin(x+)的最大值是_7已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm,如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等,那么这个圆锥的侧面积是_cm2
2、8已知(xm)7=a0+a1x+a2x2+a7x7的展开式中x4的系数是35,则m=_;a1+a2+a3+a7=_9已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,过抛物线上一点P作PEl于E,若直线EF的一个方向向量为(1,),则|PF|=_10已知双曲线的左、右焦 点分别为F1、F2,P为C的右支上一点,且的面积等于_11函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,f(1)=1,且对任意实数x都有xf(x+1)=(x+1)f(x),则f(0)+f(1)+f(2)+f的值是_12若矩阵的元素为随机从1、2、4、8中选取的4个不同数值,则对应的行列式的值为正数的概率为_13在直角坐标系中,以原
3、点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:sin2=2acos(a0)过点P(2,4)的直线l的参数方程为(t为参数)设直线l与曲线C分别交于M,N两点若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,则a的值为_14已知集合An=(a1,a2,an)|aj=0或1,j=1,2,n(n2),对于U,VAn,d(U,V)表示U和V中相对应的元素不同的个数,若给定UAn,则所有的d(U,V)和为_二选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15“a+b0”是“任意的x0,1,ax+b0恒成
4、立”的( )A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件16若+|2=0,则ABC为( )A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形17函数y=ln|x1|的图象与函数y=cosx(2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A6B5C4D318已知x、y均为实数,记maxx,y=,minx,y=若i表示虚数单位,且a=x1+y1i,b=x2+y2i,x1,y1,x2,y2R,则( )Amin|a+b|,|ab|min|a|,|b|Bmax|a+b|,|ab|max|a|,|b|Cmin|a+b|2,|ab|2|a|2+|b|2Dmax|a+b|2,|
5、ab|2|a|2+|b|2三解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19已知函数f(x)=(1)求函数f(x)的零点,并求反函数f1(x);(2)设g(x)=2log2,若不等式f1(x)g(x)在区间,上恒成立,求实数k的范围20如图,已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面边长AB=2,侧棱BB1的长为4,过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E,交B1C于点F(1)求证:A1C平面BDE;(2)求BC与平面BDE所成角的正弦值21如图,某污水处理厂要在一个矩形ABCD的池底水平铺设污水净化管道(直角EFG,E是直角顶点)来处
6、理污水,管道越长,污水净化效果越好设计要求管道的接口E是AB的中点,F,G分别落在AD,BC上,且AB=20m,AD=10m,设GEB=(1)试将污水管道的长度l表示成的函数,并写出定义域;(2)当管道长度l为何值时,污水净化效果最好,并求此时管道的长度22(16分)对于给定数列cn,如果存在实常数p,q,使得cn+1=pcn+q(p0)对于任意的nN*都成立,我们称这个数列cn是“M类数列”(1)若an=2n,bn=3.2n,nN*,判断数列an,bn是否为“M类数列”,并说明理由;(2)若数列an是“M类数列”,则数列an+an+1、anan+1是否一定是“M类数列”,若是的,加以证明;若
7、不是,说明理由;(3)若数列an满足:a1=1,an+an+1=3.2n(nN*),设数列an的前n项和为Sn,求Sn的表达式,并判断an是否是“M类数列”23(18分)如图,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为2m,2n(mn),过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D记=,BDM和ABN的面积分别为S1和S2(1)设直线l:y=kx(k0),若S1=3S2,证明:B,C是线段AD的四等分点;(2)当直线l与y轴重合时,若S1=S2,求的值;(3)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=S2?并说
8、明理由上海市普陀区2015届高考数学三模试卷(理科)一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14小题,要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分,填错或不填在正确的位置一律得零分.1复数z=i(i+1)(i为虚数单位)的共轭复数是1i考点:复数的基本概念 专题:数系的扩充和复数分析:利用复数的运算法则和共轭复数的定义即可得出解答:解:z=i(i+1)=1+i的共轭复数是1i故答案为:1i点评:本题考查了复数的运算法则和共轭复数的定义,属于基础题2已知幂函数y=f(x)图象过点(2,),则该幂函数的值域是0,+)考点:幂函数的概念、解析式、定义域、值域 专题:函数的性质及应用分析
9、:设f(x)=x,把点(2,)代入解出即可解答:解:设f(x)=x,幂函数y=f(x)图象过点(2,),解得=f(x)=,x0,y0该幂函数的值域是0,+)故答案为:0,+)点评:本题考查了幂函数的定义及其性质,属于基础题3设向量,则向量在向量方向上的投影为1考点:向量的投影 专题:平面向量及应用分析:根据投影的定义,应用公式向量在向量方向上的投影为|cos,=求解解答:解:向量,根据投影的定义可得:向量在向量方向上的投影为|cos,=1故答案为:1点评:本题主要考查向量投影的定义及求解的方法,公式与定义两者要灵活运用解答关键在于要求熟练应用公式4已知函数f(x)=,则不等式f(x)0的解集为
10、x|1x1考点:函数的图象与图象变化 分析:要求函数f(x)0的解集,我们可以先求出x0时,log2x0的解集,再求出x0时,1x20的解集,然后求出它们的交集即可得到结论解答:解:f(x)0,且f(x)=,当x0时,log2x0,即log2x0,0x1,当x0时,1x20,即x210,1x0,因此1x1故答案为x|1x1点评:分段函数分段处理,这是研究分段函数图象和性质最核心的理念,具体做法是:分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集,分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证;分段函数的最大值,是各段上最大值中的最大者5若二元一次线性方程组无解,则实数a的值是2考点:线性方程组解
11、的存在性,唯一性 专题:矩阵和变换分析:通过题意可知,只需系数行列式=0即可,计算即得结论解答:解:由题可知,只需系数行列式=0即可,即=4a2=0,a=2,而当a=2时,二元一次方程组有无数组解,a=2,故答案为:2点评:本题考查系数行列式的应用,注意解题方法的积累,属于基础题6若0x,则函数y=cos(x)sin(x+)的最大值是考点:三角函数中的恒等变换应用 专题:三角函数的求值分析:利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理,利用x的范围和正弦函数的图象和性质求得函数的最大值解答:解:y=sinx(sinx+cosx)=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin(2x)+,
12、0x,2x,ymax=+=,故答案为:点评:本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,三角函数图形与性质解题过程中注意运算的细心和公式的熟练运用7已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm,如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等,那么这个圆锥的侧面积是cm2考点:旋转体(圆柱、圆锥、圆台) 专题:空间位置关系与距离分析:由已知求出圆锥的母线长,代入圆锥的侧面积公式,可得答案解答:解:由题意可知球的体积为:13=cm3,圆锥的体积为:12h=hcm3,因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等,所以 =h,所以h=4cm,圆锥的母线:l=cm故圆锥的侧面积S=rl=cm2,故答案为:点评:本题考查球的体积与圆锥的体积
13、公式的应用,考查计算能力8已知(xm)7=a0+a1x+a2x2+a7x7的展开式中x4的系数是35,则m=1;a1+a2+a3+a7=1考点:二项式定理 专题:计算题;点列、递归数列与数学归纳法分析:在二项展开式的通项公式中,令x的指数等于4,求出r的值,根据x4的系数是35,即可求得m的值求出a0的值,再把x=1和m=1代入二项式及其展开式,可得a1+a2+a3+a7的值解答:解:二项展开式的通项为Tr+1= x7r (m)r,令7r=4,可得r=3故 (m)3=35,解得m=1故常数项为(1)7=1=a0,(11)7=a0+a1+a2+a7=0,a1+a2+a3+a7=a0=1,故答案为
14、 1; 1点评:本题主要考查二项式定理,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题9已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,过抛物线上一点P作PEl于E,若直线EF的一个方向向量为(1,),则|PF|=4考点:抛物线的简单性质 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程分析:由抛物线y2=4x方程,可得焦点F(1,0),准线l的方程为:x=1由直线EF的一个方向向量为(1,),可得kl,进而得到直线EF的方程为:y=(x1),与抛物线方程联立,可得解得yE由于PEl于E,可得yP=yE,代入抛物线的方程可解得xP再利用|PF|=|PE|=xP+1即可得出解答:解:由抛物线y2=4x
15、方程,可得焦点F(1,0),准线l的方程为:x=1直线EF的一个方向向量为(1,),kl=直线EF的方程为:y=(x1),联立,解得y=2E(1,2)PEl于E,yP=2,代入抛物线的方程可得12=4xp,解得xP=3|PF|=|PE|=xP+1=4故答案为:4点评:本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立,属于中档题10已知双曲线的左、右焦 点分别为F1、F2,P为C的右支上一点,且的面积等于48考点:双曲线的应用 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程分析:先根据双曲线方程求出焦点坐标,再利用双曲线的性质求得|PF1|,作PF1边上的高AF2则可知AF1
16、的长度,进而利用勾股定理求得AF2,则PF1F2的面积可得解答:解:双曲线 中a=3,b=4,c=5,F1(5,0),F2(5,0)|PF2|=|F1F2|,|PF1|=2a+|PF2|=6+10=16作PF1边上的高AF2,则AF1=8,PF1F2的面积为S=故答案为:48点评:此题重点考查双曲线的第一定义,双曲线中与焦点,准线有关三角形问题;由题意准确画出图象,利用数形结合,注意到三角形的特殊性11函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,f(1)=1,且对任意实数x都有xf(x+1)=(x+1)f(x),则f(0)+f(1)+f(2)+f的值是2031120考点:函数奇偶性的性质
17、;抽象函数及其应用 专题:函数的性质及应用分析:从xf(x+1)=(1+x)f(x)结构来看,要用递推的方法,先用赋值法求得解答:解:xf(x+1)=(x+1)f(x),当x=0时f(0)=0,f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数且f(1)=1,f(1)=f(1)=1xf(x+1)=(x+1)f(x),当x=1时f(2)=2,当x=2时f(3)=3,当x=3时f(4)=4,当x=2014时f=2015则f(0)+f(1)+f(2)+f=0+1+2+3+4+5+2015=2031120故答案为:2031120点评:本题主要考查利用函数的主条件用递推的方法求函数值,这类问题关键是将条件和结
18、论有机地结合起来,作适当变形,把握递推的规律12若矩阵的元素为随机从1、2、4、8中选取的4个不同数值,则对应的行列式的值为正数的概率为考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;二阶矩阵 专题:概率与统计分析:先求出总得事件个数,即把4个数全排列即可,再根据对应的行列式的值为正数得到即adbc,由4821,8241,即可求出满足的种数,根据概率公式计算即可解答:解:矩阵的元素为随机从1、2、4、8中选取的4个不同数值,共有A44=24种,=adbc,即adbc,由4821,8241,对应的行列式有2A22A22=8种,故对应的行列式的值为正数的概率为P=,故答案为:点评:本题考查行列式运算法
19、则,古典概率的概率,排列组合等问题,属于中档题13在直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C:sin2=2acos(a0)过点P(2,4)的直线l的参数方程为(t为参数)设直线l与曲线C分别交于M,N两点若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,则a的值为1考点:参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程 专题:计算题;坐标系和参数方程分析:直接利用关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程利用参数方程和抛物线方程建立成关于t的一元二次方程组,利用根和系数的关系求出两根和与两根积,进一步利用等比数列进一步求出a的值解答:解:曲线C:sin2=2acos(a0),转化成直
20、角坐标方程为:y2=2axl的参数方程为(t为参数),代入y2=2ax得到:t2(8+2a)t+16+4a=0,所以:t1+t2=8+2a,t1t2=16+4a,则|PM|=t1,|PN|=t2,|MN|=|t1t2|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,所以:|t1t2|=|t1t2|,由得:a=1故答案为:1点评:本题考查的知识要点:极坐标方程与直角坐标方程的互化,参数方程与直角坐标方程的互化,利用根和系数的关系建立方程组求解,等比数列的应用14已知集合An=(a1,a2,an)|aj=0或1,j=1,2,n(n2),对于U,VAn,d(U,V)表示U和V中相对应的元素不同的个数,若给定U
21、An,则所有的d(U,V)和为n2n1考点:元素与集合关系的判断 专题:推理和证明分析:易知An中共有2n个元素,分别记为vk(k=1,2,3,2n,v=(b1,b2,b3,bn)bi=0的vk共有2n1个,bi=1的vk共有2n1个然后求和即可解答:解:易知An中共有2n个元素,分别记为vk(k=1,2,3,2n),V=(b1,b2,b3,bn)bi=0的vk共有2n1个,bi=1的vk共有2n1个d(U,V)=2n1(|a10|+|a11|+|a20|+a21|+|a30|+|a31|+|an0|+|an1|)=n2n1d(U,V)=n2n1故答案为:n2n1点评:此题是个难题本题是综合考
22、查集合推理综合的应用,这道题目的难点主要出现在读题上,需要仔细分析,以找出解题的突破点题目所给的条件其实包含两个定义,第一个是关于Sn的,其实Sn中的元素就是一个n维的坐标,其中每个坐标值都是0或者1,也可以这样理解,就是一个n位数字的数组,每个数字都只能是0和1,第二个定义d(U,V)二选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15“a+b0”是“任意的x0,1,ax+b0恒成立”的( )A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的
23、判断 专题:简易逻辑分析:根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答:解:若任意的x0,1,ax+b0恒成立”,则设f(x)=ax+b,则满足,即a+b0,b0,则“a+b0”是“任意的x0,1,ax+b0恒成立”的必要不充分条件,故选:C点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数关系是解决本题的关键16若+|2=0,则ABC为( )A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形考点:三角形的形状判断 专题:解三角形分析:依题意,可求得c=acosB,再利用正弦定理可得sinC=sinAcosB,即sin(A+B)=sinAcosB,利用两角和的正弦将等号左端展开
24、,可求得cosA=0,从而可得答案解答:解:+|2=0,accos(B)+c2=0,即c2=accosB,c=acosB,由正弦定理=2R得:sinC=sinAcosB,ABC中,C=(A+B),sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB,cosAsinB=0,又sinB0,cosA=0,A(0,),A=故选:B点评:本题考查三角形的形状判断,着重考查正弦定理与诱导公式及两角和的正弦的综合应用,属于中档题17函数y=ln|x1|的图象与函数y=cosx(2x4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A6B5C4D3考点:余弦函数的图象 专题:三角函数的图像与性质分析:
25、根据函数的性质对称函数y=ln|x1|的图象与函数y=cosx(2x4)的图象关于x=1对称,画出图象判断交点个数,利用对称性整体求解即可解答:解:y=ln|x|是偶函数,对称轴x=0,函数y=ln|x1|的图象的对称轴x=1,函数y=cosx,对称轴x=k,kz,函数y=ln|x1|的图象与函数y=cosx(2x4)的图象关于x=1对称,由图知,两个函数图象恰有6个交点,其横坐标分别为x1,x2,x3,与x1,x2,x3,可知:x1+x1=2,x2=2,x3=2,所有交点的横坐标之和等于6故选:A点评:本题他考查对数函数与余弦函数的图象与性质,着重考查作图与分析、解决问题的能力,作图是难点,
26、分析结论是关键,属于难题18已知x、y均为实数,记maxx,y=,minx,y=若i表示虚数单位,且a=x1+y1i,b=x2+y2i,x1,y1,x2,y2R,则( )Amin|a+b|,|ab|min|a|,|b|Bmax|a+b|,|ab|max|a|,|b|Cmin|a+b|2,|ab|2|a|2+|b|2Dmax|a+b|2,|ab|2|a|2+|b|2考点:复数求模;复数代数形式的混合运算 专题:数系的扩充和复数分析:通过转化为向量加法与减法的几何意义,结合题目中的取最大与最小值,对选项中的问题进行分析判断,对错误选项进行排除即可解答:解:a=x1+y1i,b=x2+y2i,x1,
27、y1,x2,y2R,可记=(x1,y1),=(x2,y2),则|=|a|,|=|b|,|2=|2+|22|,max|a+b|2,|ab|2|a|2+|b|2成立,D正确;对于A,当时,易知不等式不成立,C不正确;对于B,当=且均不为零向量时,易知不等式不成立,B不正确;对于C,当=且均不为零向量时,易知不等式不成立,C不正确;故选:D点评:本题考查复数的几何意义的应用问题,解题时应排除法,对错误选项进行举反例说明,注意解题方法的积累,属于中档题三解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19已知函数f(x)=(1)求函数f(x)的零点
28、,并求反函数f1(x);(2)设g(x)=2log2,若不等式f1(x)g(x)在区间,上恒成立,求实数k的范围考点:反函数;函数恒成立问题 专题:函数的性质及应用分析:(1)由函数f(x)=0,由,解得x即可得出由y=,解得x=,把x与y互换,即可得出反函数(2)k0,由不等式f1(x)g(x)得到k2(1x)(1+x)=1x2,再利用二次函数的单调性即可得出解答:解:(1)由函数f(x)=0,解得x=0函数f(x)的零点是x=0由y=,解得,x=,把x与y互换,可得f1(x)=,x(1,1)(2)k0,=,得到k2(1x)(1+x)=1x2,x,当时,右边最小值为,解得实数k的范围是点评:
29、本题考查了反函数的求法、二次函数的单调性、指数函数与对数函数的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题20如图,已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面边长AB=2,侧棱BB1的长为4,过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E,交B1C于点F(1)求证:A1C平面BDE;(2)求BC与平面BDE所成角的正弦值考点:直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定 专题:空间位置关系与距离;空间角;空间向量及应用分析:(1)首先分别以DA,DC,DD1三直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,并求出一些点的坐标,设E(0,2,z),由BEB1C即可求出z=1可设平面BDE的法向量为,根据即可求出法向
30、量,从而可说明,这样便得出A1C平面BDE;(2)求出向量的坐标,设BC与平面BDE所成角为,那么由sin=即可求出BC与平面BDE所成角的正弦值解答:解:(1)证明:分别以边DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则:D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(2,0,4),B1(2,2,4);E在棱CC1上,设E(0,2,z),BEB1C,;=44z=0;z=1;E(0,2,1);设平面BDE的法向量为,则:;取y=1,则;=;A1C平面BDE;(2),设直线BC和平面BDE所成角为,则:=;BC与平面BDE所成角的正弦值为点评:考查通过建立空
31、间直角坐标系,利用空间向量证明线面垂直,求线面角的方法,平面法向量的概念及求法,知道直线与平面垂直时,直线方向向量与平面法向量的关系,弄清直线和平面所成角与直线方向向量和平面法向量夹角的关系,以及向量夹角夹角的坐标公式21如图,某污水处理厂要在一个矩形ABCD的池底水平铺设污水净化管道(直角EFG,E是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好设计要求管道的接口E是AB的中点,F,G分别落在AD,BC上,且AB=20m,AD=10m,设GEB=(1)试将污水管道的长度l表示成的函数,并写出定义域;(2)当管道长度l为何值时,污水净化效果最好,并求此时管道的长度考点:三角函数的最值 专题:
32、解三角形分析:(1)根据题意分别表示出EG,EF,FG,进而表示出l的表达式(2)设sin+cos把l转化为关于t的方程,利用单调性确定最大值解答:(1)因为EG=,EF=,FG=,l=10(+),(2)l=10设t=sin+cos=sin(+),l=10=,为减函数,当=或时,有最大值20(+1),答:当=或时,污水净化效果最好,l最大值20(+1)m点评:本题主要考查了三角形问题的实际应用解题的重要的地方是建立数学模型,把实际问题转化为数学问题来解决22(16分)对于给定数列cn,如果存在实常数p,q,使得cn+1=pcn+q(p0)对于任意的nN*都成立,我们称这个数列cn是“M类数列”
33、(1)若an=2n,bn=3.2n,nN*,判断数列an,bn是否为“M类数列”,并说明理由;(2)若数列an是“M类数列”,则数列an+an+1、anan+1是否一定是“M类数列”,若是的,加以证明;若不是,说明理由;(3)若数列an满足:a1=1,an+an+1=3.2n(nN*),设数列an的前n项和为Sn,求Sn的表达式,并判断an是否是“M类数列”考点:数列的应用 专题:证明题;等差数列与等比数列分析:(1)运用 M类数列定义判断,(2)an是“M类数列”,得出an+1=pan+q,an+2=pan+1+q,求解an+1+an+2,an+1an+2的式子,结合定义判断即可(3)整体运
34、用an+an+1=3.2n(nN*),分类得出:当n为偶数时,Sn=3(2+23+2n1)=2n+12,n为奇数时,Sn=1+3(22+24+2n1)=2n+13,化简即可得出Sn,再运用反证法证明即可解答:解:(1)因为an+1=an+2,p=1,q=2是“M类数列”,bn+1=2bn,p=2,q=0是“M类数列”(2)因为an是“M类数列”,所以an+1=pan+q,an+2=pan+1+q,所以an+1+an+2=p(an+1+an+2)+2q,因此,an+an+1是“M类数列”因为an是“M类数列”,所以an+1=pan+q,an+2=pan+1+q,所以an+1an+2=p2(ana
35、n+1)+pq(an+an+1)+q2,当q=0时,是“M类数列”;当q0时,不是“M类数列”;(3)当n为偶数时,Sn=3(2+23+2n1)=2n+12,当n为奇数时,Sn=1+3(22+24+2n1)=2n+13,所以Sn=当n为偶数时an=SnSn1=2n+12(2n3)=2n+1,当n为奇数时,an=SnSn1=2n+13(2n2)=2n1(n3),所以an=假设an是“M类数列”,当n为偶数时,an+1=2n+11=pan+q=p(2n+1)+qp=2,q=3,当n为奇数时,an+1=2n+1+1=pan+q=p(2n1)+q,p=2,q=3,得出矛盾,所以an不是“M类数列”点评
36、:本题题意很新颖,解决问题紧扣定义即可,注意分类讨论,整体求解,属于难题,运算量较大23(18分)如图,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为2m,2n(mn),过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D记=,BDM和ABN的面积分别为S1和S2(1)设直线l:y=kx(k0),若S1=3S2,证明:B,C是线段AD的四等分点;(2)当直线l与y轴重合时,若S1=S2,求的值;(3)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=S2?并说明理由考点:直线与圆锥曲线的综合问题 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题分
37、析:(1)根据椭圆的对称性,结合S1=3S2,又因为M,N到直线l的距离相等,证出即可;(2)由n+m=(mn),得到221=0,解出即可;(3)分别设出椭圆C1,C2和l的方程,得到(1)xA=(+1)xB,通过讨论的范围,从而求出结论解答:(1)证明:因为S1=3S2,又因为M,N到直线l的距离相等,所以|BD|=3|BA|,由椭圆的对称性,得到|DC|=|BA|,|CO|=|OB|,所以|BC|=2|BA|BO|=|BA|,即B是OA中点,同理,C是OD中点,B,C是AD的四分点,得证(2)解:因为S1=S2,所以n+m=(mn),=,221=0,解得:=+1(小于1的根舍去)(3)解:设椭圆C1:+=1(am),C2:+=1,直线l:y=kx(k0),由x2=,即:=,同理可得:=,又BDM和ABN的高相等,=,若存在非零实数k使得S1=S2,则有(1)xA=(+1)xB,即:=,解得:k2=,当1+时,k20,存在这样的直线l;当11+时,20,不存在这样的直线点评:本题考察了含有参数的直线和椭圆的综合问题,第三问设出椭圆C1,C2和l的方程,得到(1)xA=(+1)xB是解答本题的关键