1、2017年山东省潍坊市高考数学一模预考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知z1=13i，z2=3+i，其中i是虚数单位，则的虚部为（）A1BCiD2已知全集为R，且集合A=x|log2（x+1）2，则A（RB）等于（）A（1，1）B（1，1C1，2）D1，23将函数f（x）=2sin（+）的图象向左平移个单位，再向上平移3个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）Ag（x）=2sin（）3Bg（x）=2sin（+）+3Cg（x）=2sin（）+3Dg（x）=2sin（）34若关于x的不等式|x
2、+1|+|x2|+m70的解集为R，则实数m的取值范围为（）A（4，+）B4，+）C（，4）D（，45在等比数列an中，a1+an=82，a3an2=81，且数列an的前n项和Sn=121，则此数列的项数n等于（）A4B5C6D76某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A2B4CD7已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=ymx取得最大值时有唯一的最优解（1，3），则实数m的取值范围是（）Am1B0m1Cm1Dm18已知函数f（x）=f（1）x2+x+1，则=（）ABCD9已知圆M过定点（0，1）且圆心M在抛物线x2=2y上运动，若x轴截圆M所得的弦为|PQ|，则弦长|PQ|等于（）
3、A2B3C4D与点位置有关的值10已知函数f（x）=，函数g（x）满足以下三点条件：定义域为R；对任意xR，有g（x）=g（x+2）；当x1，1时，g（x）=则函数y=f（x）g（x）在区间4，4上零点的个数为（）A7B6C5D4二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11已知向量满足，则与的夹角为12已知正整数m的3次幂有如下分解规律：13=1；23=3+5；33=7+9+11； 43=13+15+17+19；若m3（mN+）的分解中最小的数为91，则m的值为13阅读如图所示的程序框图，则输出结果S的值为14用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和
4、末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（注：结果请用数字作答）15函数f（x）（xR）满足f（1）=2且f（x）在R上的导数f（x）满足f（x）30，则不等式f（log3x）3log3x1的解集为三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16设向量，xR，记函数（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若，求ABC面积的最大值17已知数列an的前n项和为Sn，（nN+）（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足anbn=log3a4n+1，记Tn=b1+b2+b3+bn
5、，求证：（nN+）18在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，直线AF平面ABCD，EFAB，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上（1）求证：ADBF；（2）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；（3）若，求二面角DAPC的余弦值19有人在路边设局，宣传牌上写有“掷骰子，赢大奖”其游戏规则是这样的：你可以在1，2，3，4，5，6点中任选一个，并押上赌注m元，然后掷1颗骰子，连续掷3次，若你所押的点数在3次掷骰子过程中出现1次，2次，3次，那么原来的赌注仍还给你，并且庄家分别给予你所押赌注的1倍，2倍，3倍的奖励如果3次掷骰子过程中，你所押的点数没出现，那么你的赌
6、注就被庄家没收（1）求掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率；（2）如果你打算尝试一次，请计算一下你获利的期望值，并给大家一个正确的建议20已知圆C1的圆心在坐标原点O，且与直线l1：相切，设点A为圆上一动点，AMx轴于点M，且动点N满足，设动点N的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）若动直线l2：y=kx+m与曲线C有且仅有一个公共点，过F1（1，0），F2（1，0）两点分别作F1Pl2，F2Ql2，垂足分别为P，Q，且记d1为点F1到直线l2的距离，d2为点F2到直线l2的距离，d3为点P到点Q的距离，试探索（d1+d2）d3是否存在最值？若存在，请求出最值21已知函数f（x）=x2al
7、nx（1）若f（x）在3，5上是单调递减函数，求实数a的取值范围；（2）记g（x）=f（x）+（2+a）lnx2（b1）x，并设x1，x2（x1x2）是函数g（x）的两个极值点，若，求g（x1）g（x2）的最小值2017年山东省潍坊市高考数学一模预考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知z1=13i，z2=3+i，其中i是虚数单位，则的虚部为（）A1BCiD【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【解答】解： =的虚部为故选：B2已知全集为R，且集合A=x
8、|log2（x+1）2，则A（RB）等于（）A（1，1）B（1，1C1，2）D1，2【考点】交、并、补集的混合运算【分析】解log2（x+1）2即可求出集合A，而解不等式即可求出集合B，然后进行交集和补集的运算即可求出A（RB）【解答】解：由log2（x+1）2得，log2（x+1）log24；0x+14；解得1x3；A=（1，3）；解得，x1，或x2；B=（，1）2，+）；RB=1，2）；A（RB）=1，2）故选C3将函数f（x）=2sin（+）的图象向左平移个单位，再向上平移3个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）Ag（x）=2sin（）3Bg（x）=2sin（+）+3C
9、g（x）=2sin（）+3Dg（x）=2sin（）3【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】由条件利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：将函数f（x）=2sin（+）的图象向左平移个单位，再向上平移3个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）=2sin（x+）+3=2sin（+）+3，故选：B4若关于x的不等式|x+1|+|x2|+m70的解集为R，则实数m的取值范围为（）A（4，+）B4，+）C（，4）D（，4【考点】绝对值不等式的解法【分析】不等式变形移项处理：|x+1|+|x2|7m，利用绝对值不等式的几何意义即可得到答案【解答】解：不等式|x+1|+
10、|x2|+m70，移项：|x+1|+|x2|7m，根据绝对值不等式的几何意义，可知：|x+1|+|x2|的最小值是3，解集为R，只需要37m恒成立即可，解得m4，故选：A5在等比数列an中，a1+an=82，a3an2=81，且数列an的前n项和Sn=121，则此数列的项数n等于（）A4B5C6D7【考点】等比数列的通项公式【分析】由题意易得a1和an是方程x282x+81=0的两根，求解方程得到两根，分数列递增和递减可得a1，an，再由Sn=121得q，进一步可得n值【解答】解：由等比数列的性质可得a1an=a3an2=81，又a1+an=82，a1和an是方程x282x+81=0的两根，解
11、方程可得x=1或x=81，若等比数列an递增，则a1=1，an=81，Sn=121，=121，解得q=3，81=13n1，解得n=5；若等比数列an递减，则a1=81，an=1，Sn=121，=121，解得q=，1=81（）n1，解得n=5综上，数列的项数n等于5故选：B6某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A2B4CD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其底面面积S=（3+1）3=6，高h=2，故体积V=4，故选：B7已知实
12、数x，y满足不等式组，若目标函数z=ymx取得最大值时有唯一的最优解（1，3），则实数m的取值范围是（）Am1B0m1Cm1Dm1【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=mx+z斜率的变化，从而求出m的取值范围【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，由z=ymx，得y=mx+z，即直线的截距最大，z也最大若m=0，此时y=z，不满足条件；若m0，目标函数y=mx+z的斜率k=m0，要使目标函数z=ymx取得最大值时有唯一的最优解（1，3），则直线y=mx+z的斜率m1若m0，目标函数y=mx+z的斜率k=m0，不满足题意综上，m1故选：C
13、8已知函数f（x）=f（1）x2+x+1，则=（）ABCD【考点】定积分【分析】求出f（1）=1，再根据定积分法则计算即可【解答】解：f（x）=f（1）x2+x+1，f（x）=2f（1）x+1，f（1）=2f（1）+1，f（1）=1，f（x）=x2+x+1，=（x3+x2+x）=，故选B9已知圆M过定点（0，1）且圆心M在抛物线x2=2y上运动，若x轴截圆M所得的弦为|PQ|，则弦长|PQ|等于（）A2B3C4D与点位置有关的值【考点】抛物线的简单性质【分析】根据条件设M（a，），并可得出圆M的半径，从而得出圆M的方程，令y=0便可求出x，即求出P，Q点的坐标，根据P，Q点的坐标便可得出|PQ
14、|【解答】解：设M（a，），r=；圆M的方程为：（xa）2+（y）2=a2+（1）2，令y=0，x=a1；|PQ|=a+1（a1）=2故选：A10已知函数f（x）=，函数g（x）满足以下三点条件：定义域为R；对任意xR，有g（x）=g（x+2）；当x1，1时，g（x）=则函数y=f（x）g（x）在区间4，4上零点的个数为（）A7B6C5D4【考点】函数零点的判定定理【分析】当x3，1时，g（x）=2；当x1，3时，g（x）=，在同一坐标系中，作出f（x），g（x）的图象，两个图象有4个交点，可得结论【解答】解：对任意xR，有g（x）=g（x+2）；当x1，1时，g（x）=，当x3，1时，g（x
15、）=2；当x1，3时，g（x）=，在同一坐标系中，作出f（x），g（x）的图象，两个图象有4个交点，函数y=f（x）g（x）在区间4，4上零点的个数为4，故选D二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11已知向量满足，则与的夹角为【考点】平面向量数量积的运算【分析】将式子展开计算，代入向量的夹角公式计算即可【解答】解：，3+2=4，即124+2=4，=2cos=，的夹角为故答案为：12已知正整数m的3次幂有如下分解规律：13=1；23=3+5；33=7+9+11； 43=13+15+17+19；若m3（mN+）的分解中最小的数为91，则m的值为10【考点】归纳推理【分析】由题意知
16、，n的三次方就是n个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可建立m3（mN*）的分解方法，从而求出m的值【解答】解：由题意，从23到m3，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+m=个，91是从3开始的第45个奇数当m=9时，从23到93，用去从3开始的连续奇数共=44个当m=10时，从23到103，用去从3开始的连续奇数共=54个故m=10故答案为：1013阅读如图所示的程序框图，则输出结果S的值为【考点】程序框图【分析】由题意，程序的功能是求和S=+，利用裂项法，即可求和【解答】解：由题意，程序的功能是求和S=+=1+=，故答案为14用1，2，3，
17、4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是48（注：结果请用数字作答）【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】对数字2分类讨论，结合数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得出结论【解答】解：数字2出现在第2位时，数字1，3，5中相邻的数字出现在第3，4位或者4，5位，共有C32A22A22=12个，数字2出现在第4位时，同理也有12个；数字2出现在第3位时，数字1，3，5中相邻的数字出现在第1，2位或第4，5位，共有C21C32A22A22=24个，故满足条件的不同五位数的个数是48故
18、答案为：4815函数f（x）（xR）满足f（1）=2且f（x）在R上的导数f（x）满足f（x）30，则不等式f（log3x）3log3x1的解集为（0，3）【考点】导数的运算【分析】令g（x）=f（x）3x，求出g（1）=1，问题转化为g（log3x）g（1），根据函数的单调性得到关于x的不等式，解出即可【解答】解：令g（x）=f（x）3x，则g（x）=f（x）30，可得g（x）在R上递增，由f（1）=2，得g（1）=f（1）3=1，f（log3x）3log3x1，即g（log3x）g（1），故log3x1，解得：0x3，故不等式的解集是：（0，3）三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写
19、出文字说明、证明过程或演算步骤）16设向量，xR，记函数（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若，求ABC面积的最大值【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用【分析】（1）利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用化简可求f（x）=sin（2x），令2k2x2k+，kZ，即可解得f（x）的单调递增区间（2）由已知可求sin（2A）=，结合ABC为锐角三角形，可得A，利用余弦定理，基本不等式可求bc2+，进而利用三角形面积公式即可计算得解【解答】（本题满分为12分）解：（1）=sinxcosx+（sinxcosx
20、）（sinx+cosx）=sin2xcos2x=sin（2x），3分令2k2x2k+，kZ，解得：kxk+，kZ，函数f（x）的单调递增区间为：k，k+，kZ5分（2），sin（2A）=，结合ABC为锐角三角形，可得：2A=，A=，7分在ABC中，由余弦定理a2=b2+c22bccosA，可得：2=b2+c2bc（2）bc，（当且仅当b=c时等号成立）bc=2+，又sinA=sin=，10分SABC=bcsinA=bc（2+）=，（当且仅当b=c时等号成立）ABC面积的最大值为12分17已知数列an的前n项和为Sn，（nN+）（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足anbn=log3a
21、4n+1，记Tn=b1+b2+b3+bn，求证：（nN+）【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）利用递推关系：当n=1时，a1=S1，当n2时，an=SnSn1，及其等比数列的通项公式即可得出；（2）求出bn=（4n+1）（）n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】（1）解：由（nN+）当n=1时，a1=S1，2S1+3=3a1，得a1=3n=2时，2S2+3=3a2，即有2（a1+a2）+3=3a2，解得a2=9当n2时，an=SnSn1，2Sn+3=3an（nN*），2Sn1+3=3an1，两式相减可得2an=3an3an1，an=3an1，数列an是以9为首项
22、，3为公比的等比数列an=3n对n=1也成立故数列an的通项公式为an=3n（2）证明：由anbn=log3a4n+1=log334n+1=4n+1，得bn=（4n+1）（）n，Tn=Tn=b1+b2+b3+bn=5+9（）2+（4n+1）（）n，Tn=5（）2+9（）3+（4n+1）（）n+1，两式相减得， Tn=+4（）2+（）3+（）n（4n+1）（）n+1=+4（4n+1）（）n+1，化简可得Tn=（4n+7）（）n18在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，直线AF平面ABCD，EFAB，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上（1）求证：ADBF；（2）若P是DF的中点
23、，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；（3）若，求二面角DAPC的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角【分析】（1）推导出AFAD，ADAB，从而AD平面ABEF，由此能证明ADBF（2）以A为原点，AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角DAPC的余弦值【解答】证明：（1）AF平面ABCD，AFAD，又ADAB，ABAF=A，AD平面ABEF，又BF平面ABEF，ADBF解：（2）直线AF平面ABCD，AB平面ABCD，AFAB，由（1）得ADAF，ADAB，以A为原点，AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
24、则B（1，0，0），E（，0，1），P（0，1，），C（1，2，0），=（），=（1，1，），设异面直线BE与CP所成角为，则cos=，异面直线BE与CP所成角的余弦值为（3）AB平面ADF，平面ADF的一个法向量由知P为FD的三等分点，且此时在平面APC中，平面APC的一个法向量，又二面角DAPC的大小为锐角，该二面角的余弦值为19有人在路边设局，宣传牌上写有“掷骰子，赢大奖”其游戏规则是这样的：你可以在1，2，3，4，5，6点中任选一个，并押上赌注m元，然后掷1颗骰子，连续掷3次，若你所押的点数在3次掷骰子过程中出现1次，2次，3次，那么原来的赌注仍还给你，并且庄家分别给予你所押赌注的1倍
25、，2倍，3倍的奖励如果3次掷骰子过程中，你所押的点数没出现，那么你的赌注就被庄家没收（1）求掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率；（2）如果你打算尝试一次，请计算一下你获利的期望值，并给大家一个正确的建议【考点】离散型随机变量的期望与方差【分析】（1）掷3次骰子，至少出现1次为5点的对立事件是3次都没有出现5点，根据对立事件的性质，能求出掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率（2）试玩游戏，设获利元，则的可能取值为m，2m，3m，m，分别求出相应的概率，由此能求出E=0，建议大家不要尝试【解答】解：（1）掷3次骰子，至少出现1次为5点的对立事件是3次都没有出现5点，根据对立事件的性质，掷3次骰子
26、，至少出现1次为5点的概率：p=1=（2）试玩游戏，设获利元，则的可能取值为m，2m，3m，m，P（=m）=，P（=2m）=C（）2=，P（=3m）=，P（=m）=，E=m，E0，建议大家不要尝试20已知圆C1的圆心在坐标原点O，且与直线l1：相切，设点A为圆上一动点，AMx轴于点M，且动点N满足，设动点N的轨迹为曲线C（1）求曲线C的方程；（2）若动直线l2：y=kx+m与曲线C有且仅有一个公共点，过F1（1，0），F2（1，0）两点分别作F1Pl2，F2Ql2，垂足分别为P，Q，且记d1为点F1到直线l2的距离，d2为点F2到直线l2的距离，d3为点P到点Q的距离，试探索（d1+d2）d3
27、是否存在最值？若存在，请求出最值【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）设圆C1：x2+y2=R2，根据圆C1与直线l1相切，求出圆的方程为x2+y2=12，由此利用相关点法能求出曲线C的方程（2）将直线l2：y=kx+m代入曲线C的方程3x2+4y2=12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m212=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程、椭圆性质、弦长公式，结合已知条件能求出（d1+d2）d3存在最大值，并能求出最大值【解答】解：（1）设圆C1：x2+y2=R2，根据圆C1与直线l1相切，得R，即R=2，圆的方程为x2+y2=12，设A（x0，y0），N（x，y），AMx轴于M，M（
28、x0，0），（x，y）=（x0，y0）+（）（x00）=（），即，点A（x0，y0）为圆C1上的动点，=12，（）2+（2y）2=12，=1（2）由（1）中知曲线C是椭圆，将直线l2：y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m212=0由直线l2与椭圆C有且仅有一个公共点知，=64k2m24（4k2+3）（4m212）=0，整理得m2=4k2+3，且，1当k0时，设直线l2的倾斜角为，则d3|tan|=|d1d2|，即=m2=4k2+3当k0时，2当k=0时，四边形F1F2PQ为矩形，此时，d3=2综上1、2可知，（d1+d2）d3存在最大值，最大
29、值为21已知函数f（x）=x2alnx（1）若f（x）在3，5上是单调递减函数，求实数a的取值范围；（2）记g（x）=f（x）+（2+a）lnx2（b1）x，并设x1，x2（x1x2）是函数g（x）的两个极值点，若，求g（x1）g（x2）的最小值【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）令f（x）0在3，5上恒成立，分离参数得a2x2，利用二次函数的单调性求出最值即可得出a的范围；（2）令g（x）=0，根据根与系数的关系可得x1+x2=b1，x1x2=1，化简得g（x1）g（x2）=2ln+（），令=t，根据b的范围得出t的范围，利用函数单调性可求得h（t）=2ln
30、t+（t）的范围，得出结论【解答】解：（1）f（x）=x2alnx在3，5上是单调减函数，f（x）=2x0在3，5上恒成立，a2x2恒成立，x3，5y=2x2在3，5上单调递增，y=2x2在3，5上的最大值为252=50，a50（2）g（x）=x2alnx+（2+a）lnx2（b1）x=x2+2lnx2（b1）x，g（x）=2x+2（b1）=，令g（x）=0得x2（b1）x+1=0，x1+x2=b1，x1x2=1，g（x1）g（x2）=x12+2lnx12（b1）x1x22+2lnx22（b1）x2=2ln+（x12x22）+2（b1）（x2x1）=2ln+（x12x22）+2（x1+x2）（x2x1）=2ln+x22x12=2ln+=2ln+（），设=t，则0t1，g（x1）g（x2）=2lnt+（t），令h（t）=2lnt+（t），则h（t）=1=0，h（t）在（0，1）上单调递减，b，（b1）2，即（x1+x2）2=t+2，4t217t+40，解得t或t4又0t1，0hmin（t）=h（）=2ln+（4）=4ln2g（x1）g（x2）的最小值为4ln22017年4月5日
