1、1函数与方程11利用函数性质判定方程解的存在1函数的零点(1)函数yf(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点(2)函数yf(x)的零点，就是方程f(x)0的解2函数零点的判定如果函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解此法亦称“零点存在定理”1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yx1的零点是(1，0)()(2)任何函数都有零点()(3)函数f(x)x22x的零点是0和2.()(4)有些函数的零点不能用
2、零点存在定理来判定()答案：(1)(2)(3)(4)2已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：x123f(x)4.52.93那么函数f(x)一定存在零点的区间是()A(，1)B(1，2)C(2，3) D(3，)解析：选B.因为f(x)的图像连续不断，且f(1)f(2)4.5(2.9)0，所以在(1，2)内必存在零点3下列各图像表示的函数中没有零点的是()答案：D4函数f(x)的图像与x轴有3个交点，则方程f(x)0的解的个数为_解析：因为函数f(x)的图像与x轴有3个交点，所以函数f(x)有3个零点，即方程f(x)0有3个实数解答案：3对函数零点判断的四点说明(1)存
3、在性：“若f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内方程f(x)0至少有一个实数根”指出方程f(x)0的实数根的存在性(2)唯一性：若f(a)f(b)0，且yf(x)在(a，b)内是单调函数，则方程f(x)0在(a，b)内有唯一实数解(3)两个条件：在a，b上函数图像连续不断；端点函数值异号即f(a)f(b)0，缺一不可(4)不可逆性：对函数零点的判断方法，反过来不成立，即f(x)在(a，b)内存在零点，不一定有图像连续不断，也不一定有f(a)f(b)0.求函数的零点学生用书P73判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)f(x)；(2)f(x)x22x4；(3)f(x)2x3；(4)f(
4、x)1log3x.【解】(1)令0，解得x3，所以函数f(x)的零点是3.(2)令x22x40，由于2244120，所以方程x22x40无解，所以函数f(x)x22x4不存在零点(3)令2x30，解得xlog23，所以函数f(x)2x3的零点是log23.(4)令1log3x0，解得x3，所以函数f(x)1log3x的零点是3.函数零点的求法求函数yf(x)的零点通常有两种方法：其一是令f(x)0，根据解方程f(x)0的根求得函数的零点；其二是画出函数yf(x)的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点 1.若函数f(x)x2xa的一个零点是3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点解：
5、由题意知f(3)0，即(3)23a0，a6.所以f(x)x2x6.解方程x2x60，得x3或2.所以函数f(x)其余的零点是2.函数零点个数的判定学生用书P73(1)函数f(x)的零点个数为()A3B2C1 D0(2)函数f(x)ln xx23的零点的个数是_【解析】(1)当x0时，由f(x)x22x30得x13，x21(舍去)；当x0时，由f(x)2ln x0得xe2.所以函数的零点个数为2.(2)法一：函数对应的方程为ln xx230，所以原函数零点的个数即为函数yln x与y3x2的图像交点个数在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图像(如图)由图像知，函数y3x2与yln x的图像只有一
6、个交点从而ln xx230有一个根，即函数f(x)ln xx23有一个零点法二：因为f(1)2，f(2)ln 210.所以f(1)f(2)0，又f(x)ln xx23的图像在(1，2)上是不间断的，所以f(x)在(1，2)上必有零点，又f(x)在(0，)上是递增的，所以零点只有一个【答案】(1)B(2)1判断函数零点个数的三种方法(1)方程法：若方程f(x)0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数(2)图像法：由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一平面直角坐标系内作出y1g(x)和y2h(x)的图像，根据两个图像交点的个数来判定函数零点
7、的个数(3)定理法：函数yf(x)的图像在区间a，b上是一条连续不断的曲线，由f(a)f(b)0即可判断函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点若函数yf(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点 2.(1)函数f(x)x3的零点个数是()A0个B1个C2个 D无数个(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，则函数g(x)f(x)x3的零点的集合为_解析：(1)因为f(0)10，f(1)10，所以f(x)在(0，1)上必定存在零点，又因为f(x)x3在R上是递增的，所以f(x)有且只有一个零点(2)当x0时，x0，f(x)(
8、x)23(x)x23x，因为f(x)是R上的奇函数，所以当x0时f(x)x23x，所以g(x)当x0时，令x24x30，得x1或x3，均符合题意；当x0时，令x24x30，得x2(舍)或x2，故g(x)的零点的集合为1，3，2答案：(1)B(2)1，3，2判定函数的零点所在的大致区间学生用书P74(1)函数f(x)exx2的零点所在的一个区间是()A(2，1)B(1，0)C(0，1) D(1，2)(2)函数f(x)ln(x1)(x0)的零点所在的大致区间是()A(3，4) B(2，e)C(1，2) D(0，1)【解析】(1)因为f(0)e00210，f(1)e112e10，所以f(0)f(1)
9、0.由零点存在定理，f(x)的零点所在的一个区间为(0，1)(2)由题意可得f(x)的定义域为(0，)，可知f(x)在(0，)上是递增的f(1)ln(11)2ln 220，f(2)ln(21)1ln 310，可得f(1)f(2)0，由零点存在定理，可知f(x)零点所在大致区间是(1，2)【答案】(1)C(2)C判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点 3.(1)根据表格中的数据，可以判定方程ex2x
10、50的一个根所在的区间是()x01234ex12.727.3920.0954.602x55791113A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)(2)设函数yx3与y的图像的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)解析：(1)选C.设f(x)ex2x5，此函数的图像是连续不断的，由表可知f(0)1540，f(1)2.7274.280，f(2)7.3991.610，所以f(2)f(3)0，所以函数f(x)的一个零点，即方程ex2x50的一个根所在的区间为(2，3)(2)选B.yx3与y的图像的交点的横坐标即为x3的根，即f(x)x
11、3的零点，可知f(x)只有一个零点，f(1)110，f(2)2370，所以f(x)的零点在(1，2)内思想方法函数思想、数形结合思想在求解有关函数零点(方程根)中的应用(1)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是()A(0，)B(，1)C(1，) D(0，1(2)若函数f(x)x22ax2在区间0，4上至少有一个零点，则实数a的取值范围是_【解析】(1) f(x)k有两个不等的实根等价于yf(x)和yk的图像有2个交点，由f(x)的图像可知，yf(x)和yk有两个交点，可知k(0，1(2)因为函数f(x)x22ax2在区间0，4上至少有一个零点，当函数在
12、该区间内只有一个零点时，f(0)f(4)0或4a280，即2(188a)或a.当函数在该区间内有两个不同零点时，有解得a.综上所述，实数a的取值范围是a|a【答案】(1)D(2)，)对于利用方程法很难求解的函数的零点问题，可利用函数的图像求解我们知道，函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程F(x)0即方程f(x)g(x)的实数根，也就是函数yf(x)的图像与yg(x)的图像的交点的横坐标这样，我们就将函数F(x)的零点问题转化为函数f(x)与g(x)图像的交点问题，作出两个函数的图像，就可以判断其零点个数1已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下的x、f(x)对应值表：x123456f(
13、x)123.5621.457.8211.5753.76126.49则函数f(x)在区间1，6上的零点有()A2个 B3个C至多2个 D至少3个解析：选D.由x，f(x)对应值表可知f(2)f(3)0，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0.由零点存在定理，可知f(x)在(2，3)、(3，4)、(4，5)区间内均存在零点，故f(x)在区间1，6上零点至少有3个2函数f(x)xlog2x的零点所在区间为()A. B.C. D.解析：选C.可知f(x)xlog2x在(0，)内是递增的，因为flog220，flog210，所以由零点存在定理得，f(x)零点所在区间为.3如果函数f(x)3ax2a1在区
14、间(1，1)上存在一个零点，则a的取值范围是_解析：当a0时，易知f(x)1不存在零点，当a0时，可知f(1)f(1)(5a1)(a1)0，解得a(，1).答案：(，1)4若函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则函数g(x)bx2ax1的零点是_解析：由得所以g(x)6x25x1的零点是，.答案：，,学生用书P147(单独成册)A基础达标1下列函数不存在零点的是()AyxByCy Dy解析：选D.令y0，得选项A和C中的函数的零点均为1和1；B中函数的零点为和1；只有D中函数无零点2二次函数f(x)ax2bxc中，ac0，则该函数的零点个数是()A1 B2C0 D无法确定解析：选B.因为
15、ac0，所以该函数有两个零点，故选B.3函数f(x)ln xx24x5的零点个数为()A0 B1C2 D3解析：选C.由数形结合可知函数yln x的图像与函数yx24x5的图像有2个交点所以函数f(x)有2个零点故C正确4若x0是方程exx2的解，则x0属于区间()A(2，1) B(1，0)C(0，1) D(1，2)解析：选C.构造函数f(x)exx2，由f(0)1，f(1)e10，显然函数f(x)是单调函数，有且只有一个零点，则函数f(x)的零点在区间(0，1)上，所以exx2的解在区间(0，1)上5函数f(x)ax2bxc，若f(1)0，f(2)0，则f(x)在(1，2)上零点的个数为()
16、A至多有一个 B有一个或两个C有且仅有一个 D一个也没有解析：选C.若a0，则f(x)bxc是一次函数，由f(1)f(2)0得零点只有一个；若a0，则f(x)ax2bxc为二次函数，若f(x)在(1，2)上有两个零点，则必有f(1)f(2)0，与已知矛盾故f(x)在(1，2)上有且仅有一个零点6已知函数f(x)lg xx10的零点在区间(k，k1)上，kZ，则k_解析：由题意知函数f(x)为(0，)上的增函数且f(9)lg 9910lg 910，即f(9)f(10)0，所以函数f(x)在(9，10)内存在唯一的零点，因为函数f(x)lg xx10的零点在区间(k，k1)上，kZ，所以k9.答案
17、：97已知函数f(x)3mx4，若在区间2，0上存在x0，使f(x0)0，则实数m的取值范围是_解析：因为函数f(x)在2，0上存在零点x0使f(x0)0，且f(x)单调，所以f(2)f(0)0，所以(6m4)(4)0，解得m.所以，实数m的取值范围是.答案：8已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，2是它的一个零点，且在(0，)上是增函数，则该函数有_个零点，这几个零点的和等于_解析：因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)0，又因为f(x)在(0，)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(，0)上也是递增的，由f(2)f(2)0.因此在(0，)，(，0)上都只有一个零点，综上，函数f(
18、x)在R上共有3个零点，其和为2020.答案：309已知函数f(x)log2(x3)2x34x的图像在2，5内是连续不断的，对应值表如下：x21012345f(x)a11.58b5.6839.42109.19227(1)计算上述表格中的对应值a和b；(2)从上述对应值表中，可以发现函数f(x)在哪几个区间内有零点？说明理由解：(1)由题意可知af(2)log2(23)2(2)34(2)01688，bf(1)log24244.(2)因为f(2)f(1)0，f(1)f(0)0，f(1)f(2)0，所以函数f(x)分别在区间(2，1)，(1，0)，(1，2)内有零点10(1)求函数y4x32x4的零
19、点(2)已知函数f(x)x2|x|3a有4个零点，求实数a的取值范围解：(1)令y0，得4x32x40，即(2x)232x40，所以(2x1)(2x4)02x1或2x4，因为2x0，所以2x1x0，即函数y4x32x4的零点是0.(2)设g(x)x2|x|3，则g(x)画出其图像如图：f(x)有4个零点，即方程g(x)a0有4个实根，即yg(x)与ya有4个交点，由图知a3，解得3a0，且a1)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是_解析：分a1与0a1时，两个函数的图像有两个交点，所以实数a的取值范围是(1，)答案：(1，)13已知函数f(x)log4(4x1)kx(kR)为偶函数(1)求k
20、的值；(2)若方程f(x)log4(a2xa)有且仅有一个根，求实数a的取值范围解：(1)因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(x)即log4(4x1)kxlog4(4x1)kx，所以log4log4(4x1)2kx，所以(2k1)x0，所以k.(2)依题意知：log4(4x1)xlog4(a2xa)整理得log4(4x1)log4(a2xa)2x，所以4x1(a2xa)2x，(*)令t2x，则(*)变为(1a)t2at10(*)只需其仅有一正根当a1时，t1不合题意；当(*)式有一正一负根时，所以得a1.当(*)式有两相等的正根时，0，所以a22，且0，所以a22，综上所述可知a的取值范围为
21、a|a1或a2214(选做题)已知函数f(x)x22exm1，g(x)x(x0)(1)若g(x)m有零点，求m的取值范围；(2)试确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根解：(1)作出g(x)x(x0)的图像如图：可知若g(x)m有零点，则有m2e.故m的取值范围为m|m2e(2)g(x)f(x)0有两个相异实根，即g(x)与f(x)的图像有两个不同的交点在同一平面直角坐标系中，作出g(x)x(x0)和f(x)的图像，如图因为f(x)x22exm1(xe)2m1e2，其图像的对称轴为直线xe，开口向下，最大值为m1e2，故当m1e22e，即me22e1时，g(x)与f(x)有两个不同的交点，即g(x)f(x)0有两个相异实根，所以m的取值范围是m|me22e1
