1、考点32 数学归纳法解答题1.(2014广东高考理科)(14分)设数列an的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,nN*,且S3=15.(1)求a1,a2,a3的值.(2)求数列an的通项公式.【解题提示】(1)取n=1,n=2,n=3,结合S3=15列方程组求a1,a2,a3.(2)利用an=Sn-Sn-1(n2),先猜出an,再用数学归纳法给出证明.【解析】(1)由已知得解得a1=3,a2=5,a3=7.(2)猜测an=2n+1.由Sn=2nan+1-3n2-4n得Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1)(n2),当n2时,an=Sn-Sn-1,所以两式相减
2、,整理得an=2nan+1-2(n-1)an-6n-1,an+1=an+,建立an与an+1的递推关系(nN*);因为当n=1时,a1=3,假设ak=2k+1成立,那么n=k+1时,ak+1=ak+= (2k+1)+=2k+3=2(k+1)+1,对于nN*,有an=2n+1,数列an的通项公式为an=2n+1.【技巧点拨】本题的设计有“数学归纳法”的暗示,第(2)问用数学归纳法较为简便,且容易想到.若直接变形转化为等差(比)数列求解,则比较困难,可变形为(2n+1)an+1-2(n+1)+1=(2n+2)an+2-2(n+2)+1,又a1-(21+1)=0an-(2n+1)=0,即an=2n+1.
