1、章末复习提升课第二章 随机变量及其分布 口袋中有 2 个白球和 4 个红球，现从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取 1 个，则：(1)第一次取出的是红球的概率是多少？(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？条件概率【解】记事件 A：第一次取出的是红球；事件 B：第二次取出的是红球(1)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取 1 个，所有基本事件共 65 个；第一次取出的是红球，第二次是其余 5 个球中的任一个，符合条件的有 45 个，所以 P(A)456523.(2)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取 1 个，所有基
2、本事件共 65 个；第一次和第二次都取出的是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的有 43 个，所以 P(AB)436525.(3)利用条件概率的计算公式，可得 P(B|A)P（AB）P（A）252335.条件概率的两个求解策略(1)定义法：计算 P(A)，P(B)，P(AB)，利用 P(A|B)P（AB）P（B）或P（B|A）P（AB）P（A）求解(2)缩小样本空间法：利用 P(B|A)n（AB）n（A）求解其中(2)常用于古典概型的概率计算问题 某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的
3、条件下第二次闭合后出现红灯的概率为()A 110 B15C25D12解析：选 C设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件 A，“第二次闭合后出现红灯”为事件 B，则由题意可得 P(A)12，P(AB)15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是 P(B|A)P（AB）P（A）151225.故选 C 为了解某校今年高三毕业班报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的前三组的频率之比为 123，其中第 2 组的频数为 12.相互独立事件的概率与二项分布(1)求该校报考飞行员的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数
4、据，若从全省报考飞行员的同学中(人数很多)任选 3 人，设 X 表示体重超过 60 kg的学生人数，求 X 的分布列【解】(1)设该校报考飞行员的人数为 n，前三个小组的频率分别为 p1，p2，p3，则由条件可得p22p1，p33p1，p1p2p3（0.0370.013）51，解得 p10.125，p20.25，p30.375.又 p20.2512n，解得 n48，所以该校报考飞行员的总人数为48.(2)由(1)可得，估计抽到一个报考学生的体重超过 60 kg 的概率为 P1(0.1250.25)58，依题意有 XB3，58，故 P(Xk)Ck358k383k，k0，1，2，3.所以随机变量
5、X 的分布列为X0123P27512135512225512125512求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题(1)“P(AB)P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系(3)公式“P(AB)1P(A B)”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率 某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品 A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品 A 研发成功，预计企业
6、可获利润 120 万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润 100 万元求该企业可获利润的分布列和数学期望解：记 E甲组研发新产品成功，F乙组研发新产品成功，由题设知 P(E)23，P(E)13，P(F)35，P(F)25，且事件 E 与F，E 与 F，E与 F，E与 F都相互独立(1)记 H至少有一种新产品研发成功，则H E F，于是 P(H)P(E)P(F)1325 215，故所求的概率为 P(H)1P(H)1 2151315.(2)设企业可获利润为 X(万元)，则 X 的可能取值为 0，100，120，220，因为 P(X0)P(E F)1325 215，P(X100)P(EF)13
7、35 31515，P(X120)P(E F)2325 415，P(X220)P(EF)2335 61525.故所求 X 的分布列为X0100120220P2151541525数学期望为 E(X)0 21510015120 415220253004801 320152 10015 140.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖抽奖规则如下：1抽奖方案有以下两种：方案 a：从装有 2 个红球、3 个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出 2 个球，若都是红球，则获得奖金30 元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；方案 b：从装有 3 个红球、2 个白球(仅颜色不同)的乙袋中
8、随机摸出 2 个球，若都是红球，则获得奖金 15 元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中离散型随机变量的均值与方差2抽奖条件：顾客购买商品的金额满 100 元，可根据方案 a 抽奖一次；满 150 元，可根据方案 b 抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为 260 元，则该顾客可以根据方案 a 抽奖两次或方案 b 抽奖一次或方案 a、b 各抽奖一次)已知顾客 A 在该商场购买商品的金额为 350 元(1)若顾客 A 只选择方案 a 进行抽奖，求其所获奖金的期望；(2)要使所获奖金的期望值最大，顾客 A 应如何抽奖？解：(1)按方案 a 抽奖一次，获得奖金的概率 PC22C25 110.顾
9、客 A 只选择方案 a 进行抽奖，则其可以按方案 a 抽奖三次此时中奖次数服从二项分布 B3，110.设所得奖金为 w1 元，则 E(w1)3 110309.即顾客 A 所获奖金的期望为 9 元(2)按方案 b 抽奖一次，获得奖金的概率 P1C23C25 310.若顾客 A 按方案 a 抽奖两次，按方案 b 抽奖一次，则由方案 a 中奖的次数服从二项分布 B12，110，由方案 b 中奖的次数服从二项分布 B21，310，设所得奖金为 w2 元，则 E(w2)2 110301 3101510.5.若顾客 A 按方案 b 抽奖两次，则中奖的次数服从二项分布B32，310.设所得奖金为 w3 元，
10、则 E(w3)2 310159.结合(1)可知，E(w1)E(w3)E(w2)所以顾客 A 应该按方案 a 抽奖两次，按方案 b 抽奖一次，可使所获奖金的期望值最大求离散型随机变量的期望与方差的步骤 一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有 1，2，2，3，3，3 六个数字)(1)设随机变量 表示一次掷得的点数和，求 的分布列；(2)若连续投掷 10 次，设随机变量 表示一次掷得的点数和大于 5的次数，求 E()，D()解：(1)由已知，随机变量 的取值为 2，3，4，5，6.投掷一次正方体骰子所得点数为 X，则P(X1)16，P(X2)13，P(X3)12，即 P(2)
11、1616 136，P(3)2161319，P(4)216121313 518，P(5)2131213，P(6)121214.故 的分布列为P23456136195181314(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为 6，设其发生的概率为 p，由(1)知，p14，因为随机变量 B10，14，所以 E()np101452，D()np(1p)101434158.设 XN(10，1)(1)证明：P(1X2)P(18X19)；(2)设 P(X2)a，求 P(10X18)正态分布【解】(1)证明：因为 XN(10，1)，所以可得正态曲线，(x)关于直线 x10 对称，而区间(1，2)和(18，19)
12、关于直线 x10对称，所以12，(x)dx1819，(x)dx，即 P(1X2)P(18X19)(2)因为 P(X2)P(2X10)P(10X18)P(X18)1，P(X2)P(X18)a，P(2X10)P(10X18)，所以，2a2P(10X18)1，即 P(10X0)对目标概率进行转化求解 在如图所示的正方形中随机投掷 10 000 个点，则落入阴影部分(曲线 C为正态分布 N(1，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()(参考数据：若 XN(，2)，则 P(X)68.27%，P(2X2)95.45%，P(3E(3X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大按ESC键退出全屏播放本部分内容讲解结束
