1、天津市南开中学滨海生态城学校2019-2020学年高二数学下学期月考试题（含解析）一、单选题（每题5分，共15个小题）1.已知a为函数的极小值点，则a=（ ）A. 3B. 2C. 4D. 2【答案】A【解析】【分析】对函数进行求导，让导函数等于零，解方程，然后利用极小值点的定义进行验证即可.【详解】.当时，因此函数单调递增，当时，因此函数单调递减，当时，因此函数单调递增，所以是函数的极小值点，故.故选：A【点睛】本题考查了求函数的极小值点，属于基础题.2.下列导数运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据导数的运算法则和常见函数的导数进行判断即可.【详解】A：，故
2、本选项运算不正确；B：，故本选项运算不正确；C：，故本选项运算正确；D：，故本选项运算不正确.故选：C【点睛】本题考查了导数的运算法则和常见函数的导数，属于基础题.3.函数的图像如图所示，则函数的图像可能是A. B. C. D. 【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间4.对任意的，函数存在极值点的充要条件是（ ）A. B. 或C. 或D. 或【答案】C【解析】【
3、分析】对函数进行求导，让导函数等于零，方程一定有两个不等实根即可.【详解】有两个不等实根，因此有或.故选：C【点睛】本题考查了函数有极值的充要条件的判断，属于基础题.5.若函数有唯一一个极值点，则实数a的取值范围是（ ）A. B. 或C. D. 或【答案】C【解析】分析】函数有唯一一个极值点，则导函数有唯一大于0的变号零点，画出的图像，使得两个函数图像有唯一一个交点，并且交点的横坐标大于0，故，可求解.【详解】函数有唯一一个极值点，则导函数有唯一的大于0的变号零点，变形为 画出的图像使得两个函数图像有唯一一个交点，并且交点的横坐标大于0，故，化简为 故答案为C.【点睛】这个题目考查了函数极值点
4、的概念，以及已知函数零点个数求参数范围的问题，已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题6.设，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据导数的定义，结合导数的运算法则进行求解即可.【详解】因
5、为，所以.故选：D【点睛】本题考查了导数的定义，考查导数的运算法则，属于基础题.7.在曲线上切线倾斜角为的点是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设出曲线上的点，对函数进行求导，利用导数的几何意义，结合直线斜率与倾斜角之间的关系求解即可.【详解】设曲线上一点的坐标为：，由.由题意可知：，所以点的坐标为：.故选：C【点睛】本题考查导数的几何意义，考查了直线倾斜角与斜率之间的关系，考查了数学运算能力.8.函数的导数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】故选A9.设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且，则当时有（ ）A. B. C. D. 【答案】D
6、【解析】【分析】根据选项中不等式的结构特征，结合已知的不等式特征，构造新函数，求导，最后利用新构造函数的单调性进行求解即可.【详解】构造函数：，所以函数定义在R上减函数，当时，有，f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的函数，所以有.故选：D【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，考查了利用函数单调性判断函数值之间的大小关系，考查了构造法，属于中档题.10.已知函数，若有三个极值点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对函数进行求导，然后让导函数等于零，根据题意该方程有三个不等正实根，这样通过构造函数，利用单调性进行求解即可.【详解】函数的定义域为：
7、.，显然方程必有一个根为，由题意可知：方程必有两个不等于1的正实根，令，当时，单调递增，当时，单调递减，故，因此有.故选：A【点睛】本题考查了已知函数的极值点的个数求参数取值范围，考查了导数的应用，考查了常变量分离法，考查了数学运算能力.11.若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】把方程进行常变量分离，构造新函数，求导，判断出函数单调性，再根据函数的正负性，画出函数图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】，当时，无实数解，不符合题意，故.于是有，令，显然当时，；当时，.，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，因此当时，函数的图象一致如
8、下图所示：因此要想有实数根，只需方程组：有交点，如上图，则有实数的取值范围是.故选：D【点睛】本题考查了方程有根求参数取值范围问题，考查了导数的应用，考查了数学运算能力和数形结合能力.12.若函数在区间内是增函数，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】，再分类讨论和两种情况，再对满足条件的取并集即可【详解】当时，恒成立，即在R上单调递增，满足条件当时， 解得，又在区间内是增函数，即 综上所述故选: B【点睛】此题考查定区间单调求参数取值范围题型，用到的方法为分类讨论，属于一般性题目13.函数上不单调的一个充分不必要条件是A. B. C. D. 【答案】A【
9、解析】【分析】先求出函数的导函数，再根据函数f（x）在（1，3）上不单调，得g（1）g（3）0且0，从而可求a的取值范围【详解】所以 令因为函数上不单调即在上由实数根a=0时，显然不成立，a0时，只需 ，解得或 即a它的充分不必要条件即为一个子集所以选A【点睛】本题考查了导数的应用，函数的单调性与充分必要条件的综合，属于中档题14.若函数在区间上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对函数进行求导，求出函数的单调区间，结合已知条件进行求解即可.【详解】，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减，因此函数的极小值为：或要想函数区间上有最小值，
10、则有：.故选：A【点睛】本题考查了函数在区间有最小值求参数取值范围，考查了导数的应用，考查了数学运算能力.15.直线与曲线相切也与曲线相切，则称直线为曲线和曲线的公切线，已知函数，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设切点求出两个函数的切线方程，根据这个两个方程表示同一直线，可得方程组，化简方程组，可以得到变量关于其中一个切点横坐标的函数形式，求导，求出函数的单调性，结合该函数的正负性，画出图象图形，最后利用数形结合求出的取值范围.【详解】设曲线的切点为：，所以过该切点的切线斜率为，因此过该切点的切线方程为：；设曲线的切点为：
11、，所以过该切点的切线斜率为，因此过该切点的切线方程为：，则两曲线的公切线应该满足：，构造函数,当时，单调递减，当时，单调递增，所以函数有最大值为：，当时，当，函数的图象大致如下图所示：要想有若曲线和曲线的公切线有两条，则的取值范围为.故选：C【点睛】本题考查了两个曲线的公切线的条数求参数问题，考查了导数的应用，考查了数学运算能力和数形结合思想.二、填空题（每小题5分共10小题）16.已知曲线的一条切线的斜率为1，则切点的横坐标为_【答案】1【解析】【分析】设出切点的横坐标，求函数的导数，根据导数的几何意义进行求解即可.【详解】设出切点的横坐标为，由.故答案为：1【点睛】本题考查了导数的几何意义
12、，考查了导数的运算法则，考查了数学运算能力.17.已知函数，则过点可以作出_条图象的切线.【答案】二【解析】【分析】设出曲线的切点坐标，对函数求导，利用导数的几何意义，求出切线方程，把点坐标代入切线方程中，求出方程的根进行判断即可.【详解】设切点的坐标为：，因此切线方程为：，把的坐标代入切线方程中，化简得：或，所以过点可以作出二条的切线.故答案为：二【点睛】本题考查了曲线切线的条数问题，考查了导数的几何意义，考查了数学运算能力.18.函数 的定义域为 ，导函数 在内的图象如图所示，则函数在内有极小值点的个数为_【答案】1【解析】试题分析：因为函数的极小值两侧导函数值需左负右正；而由图得：满足导
13、函数值左负右正的自变量只有一个；故原函数的极小值点只有一个考点：利用导数研究函数的极值19.函数，若对于区间2,2上的任意，都有，则实数的最小值是_.【答案】4【解析】【分析】对函数进行求导，求出函数的单调性，求出函数在区间2,2上的最值，结合绝对值的性质求出的最大值，最后求出实数的最小值.【详解】，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，因此函数的极小值为：，函数的极大值为，所以函数在区间2,2上的值域为：，因此对于区间2,2上的任意，因此实数的最小值是4.故答案为：4【点睛】本题考查了不等式恒成立求参数取值范围问题，考查了利用导数求闭区间上函数的最值，考查了绝对值的性质，考查了对任
14、意性的理解，考查了数学运算能力.20.设函数的导数为，且，则=_.【答案】【解析】【分析】对求导，可得，将代入上式即可求得：，即可求得，将代入即可得解【详解】因为，所以.所以，则，所以则，故.【点睛】本题主要考查了导数的运算及赋值法，考查方程思想及计算能力，属于中档题21.函数的单调递减区间是_【答案】 【解析】函数的定义域为 ，且： ，求解不等式 可得函数的单调递减区间是 .22.已知,若存在 , 使得成立,则实数的取值范围是_.【答案】【解析】试题分析：分两步求解，要使得成立，则有，利用导数研究其单调性求得最小值；要满足使得成立，应有，根据二次函数知识求出最大值，从而得到关于的不等式，求得
15、其范围.试题解析：，当时，函数递增；当时，函数递减，所以当时，取得极小值即最小值. 函数的最大值为,若，使得成立,则有的最大值大于或等于的最小值,即.考点：存在性量词与不等式的有解问题【方法点睛】本题主要考查了存在性量词与不等式的有解问题，属于中档题.含有存在性量词的命题通常转化为有解问题，进一步转化为函数的最值来解答.本题解答的难点是含有两个量词，解答时，先把其中一个函数看成参数，研究另一个的最值，再来解决另一个的最值，从而得到要求参数的不等式，求得其范围.23.已知函数，则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】先判断函数奇偶性，再利用导数判断函数在（0，+）上的单调性，再利用函数的奇偶
16、性和单调性解不等式.【详解】由题得f(-x)=,所以函数f(x)是奇函数.设x0，则，所以上恒成立，所以函数f(x)在（0，+）上单调递增，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以函数f(x)是R上的增函数，所以,所以.故答案为【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判定，考查函数的单调性的判定，考查函数的奇偶性和单调性的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.24.已知函数 在区间1，2上是单调函数，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】对函数进行求导，导函数在区间1，2上恒非正或恒非负进行求解即可.【详解】，由题意可知：或在区间1，2上恒成立.当在区间1，2上恒成立时，当时
17、，因此有；当在区间1，2上恒成立时，当时，因此有，综上所述：实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查了已知函数在区间上的单调性求参数取值范围，考查了导数的应用，考查了数学运算能力.25.设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总有过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】求出的导函数的取值范围，然后根据题意，结合互相垂直的两直线的斜率关系，利用集合之间的关系，求出实数的取值范围.【详解】，设切线的斜率为，则有，因此由，设切线的斜率为，则有，因为，所以，因为曲线上任意一点处的切线为，总有过曲线上一点处的切线，使得，所以有：.故答案为：【点睛】本题考查
18、了利用导数的几何意义求切线的斜率问题，考查了存在性的理解，考查了两直线互相垂直斜率之间的关系，考查了数学运算能力.三、解答题（共25分）26.已知函数为自然对数的底数（1）若曲线在点处的切线与轴平行，求的值；（2）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（），由题设知，求得的值；（）若函数在内存在两个极值点，则方程在内由两个不等实根,可列不等式组,即可求a的范围【详解】解：（），由题设知，故（）由题知，在内由两个不等实根， .【点睛】本题考查了函数在一点处导数的几何意义，导数在极值中的应用,利用极值求参数的范围.27.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2
19、）当时，函数在上的最小值为，若不等式有解，求实数的取值范围【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】【分析】（1）求出导函数，然后根据的符号进行分类讨论，并借助解不等式组的方法得到单调区间；（2）根据（1）中的结论求出当时，函数在上的最小值，因此问题转化为有解，即有解，构造函数，求出函数的最小值即可得到所求【详解】（1）由，得，当时，令，得，所以，或，即或，解得或令，得，所以或，即或，解得或所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为当时，令，得，由可知；令，得，由可知或所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为，综上可得，当时，的单调递增区间为，；单调递减区间为当时，的单调递增区间为；单调递减区间为，（2）由（1）可知若，则当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以不等式有解等价于有解，即有解，设，则，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以的极小值也是最小值，且最小值为，从而，所以实数的取值范围为【点睛】（1）求函数的单调区间时，若函数解析式中含有字母、并且字母对结果产生影响时，需要对字母进行分类讨论，讨论时要选择合适的标准，同时分类时要做到不重不漏（2）解答不等式有解的问题时，常用的方法是分离参数后转化为求函数的最值的问题，解题时要用到以下结论：在上有解；在上有解若函数的最值不存在，则可利用函数值域的端点值来代替
