1、2015年山东省潍坊一中高考数学适应性试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合A=x|x1|2，B=x|x24x0，xR，则A（RB）=（）A1，3B0，3C1，4D0，42函数f （x）=x+ln（x1）的零点所在的区间为（）A（1，）B（，2）C（2，e）D（e，+）3将函数y=sin2x的图象向左平移（0）个单位后得函数的图象，则的值为（）ABCD4已知直线l是抛物线y=x2的一条切线，且l与直线2xy+4=0平行，则直线l的方程是（）A2xy+3=0B2xy3=0C2xy+1=0D2xy1=05已知数列a
2、n的前n项和，则an=（）ABCD6给出下列命题：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直；若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，是真命题的个数有（）A1B2C3D47设不等式组所表示的平面区域是1，平面区域是2与1关于直线3x4y9=0对称，对于1中的任意一点A与2中的任意一点B，|AB|的最小值等于（）AB4CD28在正方体ABCDABCD中，过对角线BD的一个平面交AA于点E，交CC于点F则下列结论
3、正确的是（）四边形BFDE一定是平行四边形 四边形BFDE有可能是正方形四边形BFDE在底面ABCD的投影一定是正方形四边形BFDE有可能垂于于平面BBDABCD9已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=kx有两个不同的实根，则实数k的取值范围是（）ABCD10已知双曲线C：=1（a0，b0），F1，F2分别为其左、右焦点，若其右支上存在点P满足=e（e为双曲线C的离心率），则e的最大值为（）A4B3+C2+1D3+2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共20分）11若不等式|x1|a成立的充分条件是0x4，则实数a的取值范围是12设双曲线x2y2=1的两条渐近线与直线围成的三角形区域
4、（包含边界）为D，点P（x，y）为D内的一个动点，则目标函数z=x2y的最小值为13若某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为14已知向量，的夹角为120，且|=1，|=2，则向量在向量+方向上的投影是15已知直线l：y=ax+1a（aR）若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”下面给出四条曲线：y=2|x1|y=x2（x1）2+（y1）2x2+3y2=4其中，可以被称为直线l的“绝对曲线”的是（请将符合题意的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文
5、字说明、证明过程或演算步骤）16已知函数（0，其图象的最高点与相邻对称中心的距离为，且过点（）求函数f（x）的达式；（）在ABC中a、b、c分别是角A、B、C的对边，角C为锐角且满足2a=4asinCcsinA，求c的值17设函数f（x）=|2xm|+4x（I）当m=2时，解不等式：f（x）1；（）若不等式f（x）2的解集为x|x2，求m的值18如图所示，圆柱的高为2，PA是圆柱的母线，ABCD为矩形，AB=2，BC=4，E、F、G分别是线段PA，PD，CD的中点（1）求证：平面PDC平面PAD；（2）求证：PB面EFG；（3）在线段BC上是否存在一点M，使得D到平面PAM的距离为2？若存在，
6、求出BM；若不存在，请说明理由19已知数列an的首项a1=t0，n=1，2，（1）若，求证是等比数列并求出an的通项公式；（2）若an+1an对一切nN*都成立，求t的取值范围20已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，又椭圆上任一点到两焦点的距离和为，过点M（0，）与x轴不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点（1）求椭圆的方程；（2）在y轴上是否存在定点N，使以PQ为直径的圆恒过这个点？若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由21已知函数f（x）=x2，且函数g（x）在1，1上单调递减（1）若g（x）+3sin1在x1，1上恒成立，求的取值范围；（2）若关于x的方程lnf（1+x）=2
7、xm在区间 上有两个根（e为自然对数的底数），试求m的取值范围2015年山东省潍坊一中高考数学适应性试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合A=x|x1|2，B=x|x24x0，xR，则A（RB）=（）A1，3B0，3C1，4D0，4考点：来源:学*科*网Z*X*X*K 交、并、补集的混合运算专题： 不等式的解法及应用分析： 由题意，可先解绝对值不等式和一元二次不等式，化简集合A，B，再求出B的补集，再由交的运算规则解出A（RB）即可得出正确选项解答： 解：由题意B=x|x24x0=x|x0或x
8、4，故RB=x|0x4，又集合A=x|x1|2=x|1x3，A（RB）=0，3故选B点评： 本题考查交、并、补的混合运算，属于集合中的基本计算题，熟练掌握运算规则是解解题的关键2函数f （x）=x+ln（x1）的零点所在的区间为（）A（1，）B（，2）C（2，e）D（e，+）考点： 函数零点的判定定理专题： 函数的性质及应用分析： 先计算f（1.1）0，f（）0，根据函数的零点的判定定理可得函数f （x）=x+ln（x1）的零点所在的区间为（1.1，），从而得出结论解答： 解：函数f （x）=x+ln（x1），f（1.1）=1.1+ln1.1+ln=1.12=0.90，f（）=lnlne=0，
9、故有 f（1.1）f（）0，根据函数零点的判定定理可得，函数f （x）=x+ln（x1）的零点所在的区间为（1.1，），故函数f （x）=x+ln（x1）的零点所在的区间为（1，），故选A点评： 本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，不等式的性质，属于中档题3将函数y=sin2x的图象向左平移（0）个单位后得函数的图象，则的值为（）ABCD考点： 函数y=Asin（x+）的图象变换专题： 三角函数的求值分析： 根据y=Asin（x+）的图象变换规律，变换后得到的是函数y=sin（2x+2） 的图象，而已知得到的是函数的图象，可得2=，由此求得的值解答： 解：将函数y=sin2x的图象向左平移
10、（0）个单位后，得函数y=sin2（x+）=sin（2x+2） 的图象，而已知得到的是函数=sin（2x+）的图象结合0可得 2=，解得=，故选：B点评： 本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（x+）的图象变换规律，属于中档题4已知直线l是抛物线y=x2的一条切线，且l与直线2xy+4=0平行，则直线l的方程是（）A2xy+3=0B2xy3=0C2xy+1=0D2xy1=0考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 计算题；导数的概念及应用分析： 根据切线与直线2xy+4=0的平行，可利用待定系数法设出切线，然后与抛物线联立方程组，使方程只有一解即可解答： 解：由题意可设切线方程为
11、2xy+m=0得方程组得x22xm=0=4+4m=0解得m=1，切线方程为2xy1=0，故选D点评： 本题主要考查了两条直线平行的判定，以及直线的一般式方程，属于基础题5已知数列an的前n项和，则an=（）ABCD考点： 数列的求和专题： 计算题；等差数列与等比数列分析： 由已知，结合递推公式可得，an=SnSn1=n2an（n1）2an1（n1），即=，利用迭代法能求出an解答： 解：Sn=n2an当n1时，Sn1=（n1）2an1an=SnSn1=n2an（n1）2an1（n21）an=（n1）2an1即=，an=a1=1=故选B点评： 本题主要考查由数列的递推公式an=SnSn1求把和的
12、递推转化为项的递推，及由即=，利用迭代法求解数列的通项公式，求解中要注意抵消后剩余的项是：分子，分母各剩余两项6给出下列命题：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直；若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，是真命题的个数有（）A1B2C3D4考点： 命题的真假判断与应用专题： 综合题；空间位置关系与距离；简易逻辑分析： 根据面面垂直的判定定理，可判断；根据平面与平面平行的判定定理，可判断；根据空间直线夹角
13、的定义，可判断；根据面面垂直的性质定理及反证法，可判断解答： 解：由面面垂直的判定定理可得若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，故正确；如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，但两条直线平行时，得不到平面平行，故错误；根据空间直线夹角的定义，可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等，故若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直，即正确；根据面面垂直的性质定理，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面也垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故正确故真命题有三个故选：C点评：来源
14、:学科网 本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关系，熟练掌握空间线面关系的判定定理，性质定理及几何特征是解答的关键7设不等式组所表示的平面区域是1，平面区域是2与1关于直线3x4y9=0对称，对于1中的任意一点A与2中的任意一点B，|AB|的最小值等于（）AB4CD2考点： 简单线性规划的应用分析： 本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域1，根据对称的性质，不难得到：当A点距对称轴的距离最近时，|AB|有最小值解答： 解：由题意知，所求的|AB|的最小值，即为区域1中的点到直线3x4y9=0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的
15、平面区域，如图所示，可看出点（1，1）到直线3x4y9=0的距离最小，故|AB|的最小值为，故选B点评： 利用线性规划解平面上任意两点的距离的最值，关键是要根据已知的约束条件，画出满足约束约束条件的可行域，再去分析图形，根据图形的性质、对称的性质等找出满足条件的点的坐标，代入计算，即可求解8在正方体ABCDABCD中，过对角线BD的一个平面交AA于点E，交CC于点F则下列结论正确的是（）四边形BFDE一定是平行四边形 四边形BFDE有可能是正方形四边形BFDE在底面ABCD的投影一定是正方形四边形BFDE有可能垂于于平面BBDABCD考点： 平面与平面垂直的判定；平面的基本性质及推论专题： 空
16、间位置关系与距离分析： 根据一个面与两个平行的面的交线一定平行的性质证明出四边形BFDE一定是平行四边形先看F与C重合，E与A点重合时不可能是正方形，在看不重合时BF和BE不可能垂直，进而推断结论不正确四边形BFDE在底面ABCD的投影是正方体的底面，进而可知，射影一定是正方形找到E，F分别为中点时，利用证明EF面BDDB，进而证明出两个面垂直解答： 解：四边形BFDE与面BCCB的交线为BF，与面ADDA的交线为DE，且面BCCB面ADDA的交线为DE，BFDE，同理可证明出BEDF，四边形BFDE一定是平行四边形，故结论正确当F与C重合，E与A点重合时，BF显然与EB不相等，不能是正方形，
17、当这不重合时，BF和BE不可能垂直，综合可知，四边形BFDE不可能是正方形结论错误四边形BFDE在底面ABCD的投影是四边形ABCD，故一定是正方形，结论正确当E，F分别是AA，CC的中点时，EFAC，ACBD，EFBD，BB面ABCD，AC面ABCD，BBAC，BBEF，BB面BDDB，BD面BDDB，BDBB=B，EF面BDDB，EF四边形BFDE，平面BBD面BDDB，面形BFDE面BDDB故结论正确故选：B点评： 本题主要考查了线面垂直的判定定理的应用有些地方，需要找一些特殊点来解决，比如第结论找到中点的情况9已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=kx有两个不同的实根，则实数k的
18、取值范围是（）ABCD考点： 函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用专题： 函数的性质及应用分析： 由题意可得函数f（x）的图象和直线y=kx有2个交点，数形结合可得当直线的斜率k的范围解答： 解：画出函数f（x）和y=kx的图象，如图所示，由题意可得函数f（x）的图象和直线y=kx有2个交点，数形结合可得当直线的斜率k满足0k时，函数f（x）的图象和直线y=kx有2个交点，故选：A点评： 本题主要考查函数零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题10已知双曲线C：=1（a0，b0），F1，F2分别为其左、右焦点，若其右支上存在点P满足=e（e为双曲线C的离心率），则e
19、的最大值为（）A4B3+C2+1D3+2考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设P点的横坐标为x，根据|PF1|=e|PF2|，P在双曲线右支（xa），利用双曲线的第二定义，可得x关于e的表达式，进而根据x的范围确定e的范围解答： 解：设P点的横坐标为x，准线方程为x=，|PF1|=e|PF2|，P在双曲线右支（xa），根据双曲线的第二定义，可得e2（x）=e（x+），（e1）x=+axa，+a（e1）a，e22e10e1，1e2+1，则双曲线的离心率的最大值为2+1故选：C点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于基础题
20、二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共20分）11若不等式|x1|a成立的充分条件是0x4，则实数a的取值范围是3，+）考点： 绝对值不等式的解法专题： 计算题分析： 先求出不等式|x1|a的解集为集合B，再根据条件可知x|0x4B，建立关于a的不等式组，解之从而确定 a的取值范围解答： 解：|x1|a1axa+1由题意可知x0 0x4是1axa+1成立的充分不必要条件解得a3实数a的取值范围是3，+）故答案为：3，+）点评： 本题考查充分不必要条件的应用，解题时要注意含绝对值不等式的解法和应用，属于基础题12设双曲线x2y2=1的两条渐近线与直线围成的三角形区域（包含边界）为D，点P（x
21、，y）为D内的一个动点，则目标函数z=x2y的最小值为考点： 双曲线的简单性质专题： 计算题来源:Zxxk.Com分析：来源:Z,xx,k.Com 求出双曲线x2y2=1的两条渐近线方程，然后把这两个方程和直线构成三个方程组，解这三个方程组的解，得到三角形三个顶点的坐标，把这三个顶点坐标分别代入目标函数z=x2y得到三个值，其中最小的就是目标函数z=x2y的最小值解答： 解：双曲线x2y2=1的两条渐近线是y=x，解方程组，得到三角形区域的顶点坐标是A，B，C（0，0），zC=0目标函数z=x2y的最小值为答案：点评： 把三角形区域三个顶点坐标分别代入目标函数z=x2y得到三个值，其中最小的就
22、是目标函数z=x2y的最小值13若某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为50考点： 球的体积和表面积；球内接多面体专题： 空间位置关系与距离分析： 几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积解答： 解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展为长方体，其外接与球，它的对角线的长为球的直径，得长方体的体对角线的长为=5，长方体的外接球的半径为，球的表面积为4=50，故答案为：50点评： 本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查
23、空间想象能力，计算能力，是基础题14已知向量，的夹角为120，且|=1，|=2，则向量在向量+方向上的投影是考点： 平面向量数量积的含义与物理意义专题： 计算题；平面向量及应用分析： 利用求模运算得到，进而得到向量与向量+的夹角余弦，根据投影定义可得答案解答： 解：=1+2cos120+4=3，所以，来源:学科网ZXXK=1212cos120+4=7，所以，则cos，=，所以向量在向量+方向上的投影是=，故答案为：点评： 本题考查平面向量数量积的含义及其物理意义，考查向量模的求解投影等概念，属基础题15已知直线l：y=ax+1a（aR）若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点，且以这两
24、个交点为端点的线段长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”下面给出四条曲线：y=2|x1|y=x2（x1）2+（y1）2x2+3y2=4其中，可以被称为直线l的“绝对曲线”的是（请将符合题意的序号都填上）考点： 函数与方程的综合运用菁优网版权所有专题： 函数的性质及应用分析： 若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线l的“绝对曲线”，分别进行判定是否垂直a即可解答： 解：由直线y=ax+1a，可知此直线过点A（1，1），y=2|x1|=，如图所示，直线l与函数y=2|x1|的图象只能由一个交点，故不是“绝对曲线
25、”；y=x2与l：y=ax+1a联立，解得 或，此两个交点的距离 =|a|，化为（a2）2（1+a2）a2=0，令f（a）=（a2）2（1+a2）a2，则f（1）=21=10，f（2）=040，因此函数f（a）在区间（1，2）内存在零点，即方程（a2）2（1+a2）a2=0，有解故此函数的图象是“绝对曲线”；（x1）2+（y1）2=1是以（1，1）为圆心，1为半径的圆，此时直线l总会与此圆由两个交点，且两个交点的距离是圆的直径2，存在a=2满足条件，故此函数的图象是“绝对曲线”；把直线y=ax+1a代入x2+3y2=4得（3a2+1）x2+6a（1a）x+3（1a）24=0，x1+x2=，x1
26、x2=若直线l被椭圆截得的弦长是|a|，则a2=（1+a2）（x1+x2）24x1x2=（1+a2） 4，化为 =0，令f（a）=，而f（1）=40，f（3）=0函数f（a）在区间（1，3）内有零点，即方程f（a）=0有实数根，而直线l过椭圆上的定点（1，1），当a（1，3）时，直线满足条件，即此函数的图象是“绝对曲线”综上可知：能满足题意的曲线有故答案为：点评： 本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的运用，属于难题三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16已知函数（0，其图象的最高点与相邻对称中心的距离为，且过点（）求函数f（x）的达式；（）在A
27、BC中a、b、c分别是角A、B、C的对边，角C为锐角且满足2a=4asinCcsinA，求c的值考点： 由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数；正弦定理来源:学,科,网专题： 三角函数的图像与性质；解三角形分析： （）利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，根据函数的周期求，把所给的点的坐标代入求出的值，从而确定出函数的解析式（）根据条件2a=4asinCcsinA，由正弦定理求得sinC的值，可得cosC的值，再由余弦定理求得c的值解答： 解：（）由于（2分）最高点与相邻对称中心的距离为 =，则，即T=，（3分），0，=2（4分）又f（x）过点，即，（5分），（6
28、分）（）2a=4asinCcsinA，由正弦定理可得 2sinA=4sinAsinCsinCsinA，解得 （8分）又，（9分）又，b=6，（11分）由余弦定理得c2=a2+b22abcosC=21，（12分）点评： 本题主要考查由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式、正弦定理和余弦定理的应用，两个向量的数量积的定义，属于中档题17设函数f（x）=|2xm|+4x（I）当m=2时，解不等式：f（x）1；（）若不等式f（x）2的解集为x|x2，求m的值考点： 带绝对值的函数；绝对值不等式的解法专题： 计算题；不等式的解法及应用分析： （I）当m=2时，函数f（x）=|2
29、x2|+4x，由不等式f（x）1 可得 ，或 ，分别求出的解集，再取并集，即得所求（）由f（x）=，可得连续函数f（x） 在R上是增函数，故有f（2）=2，分当2和当2两种情况，分别求出m的值，即为所求解答： 解：（I）当m=2时，函数f（x）=|2x2|+4x，由不等式f（x）1 可得 ，或 解可得x，解可得x，故不等式的解集为 x|x （）f（x）=，连续函数f（x） 在R上是增函数，由于f（x）2的解集为x|x2，故f（2）=2，当2时，有2（2）+m=2，解得 m=6当2时，则有6（2）m=2，解得 m=14综上可得，当 m=6或 m=14 时，f（x）2的解集为x|x2点评： 本题主
30、要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题18如图所示，圆柱的高为2，PA是圆柱的母线，ABCD为矩形，AB=2，BC=4，E、F、G分别是线段PA，PD，CD的中点（1）求证：平面PDC平面PAD；（2）求证：PB面EFG；（3）在线段BC上是否存在一点M，使得D到平面PAM的距离为2？若存在，求出BM；若不存在，请说明理由考点： 点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定专题： 综合题来源:学。科。网分析： （1）证明平面PDC平面PAD，只需证明CD平面PAD即可；（2）取AB中点H，连接GH，HE，证明E，F，G，H四点共面
31、，再证明EHPB，利用线面平行的判定，即可证明PB面EFG；（3）假设在BC上存在一点M，使得点D到平面PAM的距离为2，则以PAM为底D为顶点的三棱锥的高为2，连接AM，则AM=，利用等体积VDPAM=VPAMD，即可求得结论解答： （1）证明：PA是圆柱的母线，PA圆柱的底面（1分）CD圆柱的底面，PACD又ABCD为矩形，CDAD而ADPA=A，CD平面PAD （3分）又CD平面PDC，平面PDC平面PAD （4分）（2）证明：取AB中点H，连接GH，HE，E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，GHADEF，E，F，G，H四点共面 （6分）又H为AB中点，EHPB （7分）又EH面
32、EFG，PB平面EFG，PB面EFG （9分）（3）解：假设在BC上存在一点M，使得点D到平面PAM的距离为2，则以PAM为底D为顶点的三棱锥的高为2，连接AM，则AM=，由（2）知PAAM，SPAM=VDPAM=2=（11分）SAMD=VPAMD=SAMDPA= （12分）VDPAM=VPAMD=解得：BM=2在BC上存在一点M，当BM=2使得点D到平面PAM的距离为2（14分）点评： 本题考查面面垂直，考查线面垂直，考查三棱锥体积的计算，解题的关键是掌握面面、线面垂直的判定定理，正确计算三棱锥的体积，属于中档题19已知数列an的首项a1=t0，n=1，2，（1）若，求证是等比数列并求出an
33、的通项公式；（2）若an+1an对一切nN*都成立，求t的取值范围考点： 数列递推式；数列的函数特性；等比关系的确定专题： 综合题分析： （1）根据条件取倒数，再作变形，即可证得数列是首项为，公比为的等比数列，从而可求数列的通项公式，即可求an的通项公式；（2）由知an0，故an+1an得，根据数列的通项公式，可得不等式，从而可求t的取值范围解答： （1）证明：由题意知an0，（4分）数列是首项为，公比为的等比数列；（5分），（8分）（2）解：由（1）知，（10分）来源:学科网由知an0，故an+1an得（11分）即，又t0，则0t1（14分）点评： 本题以数列的递推式为载体，考查构造法证明等
34、比数列，考查数列的通项，考查不等式知识，解题的关键是取倒数，构造新数列20已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，又椭圆上任一点到两焦点的距离和为，过点M（0，）与x轴不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点（1）求椭圆的方程；（2）在y轴上是否存在定点N，使以PQ为直径的圆恒过这个点？若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： （1）由椭圆定义可知2a=，由此可得a值，再由离心率可得c值，由a2=b2+c2可求b值；（2）设l的方程为y=kx，P（x1，y1），Q（x2，y2），假设在y轴上存在定点
35、N（0，m）满足题设，则对于任意的kR，=0恒成立，联立直线l与椭圆方程，消掉y得x的方程，由韦达定理及向量的数量积运算可把=0化为关于k的恒等式，从而可得m的方程组，解出即可解答： 解：（1）因为离心率为，又2a=，a=，c=1，故b=1，故椭圆的方程为；（2）设l的方程为y=kx，由得（2k2+1）x2kx=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，假设在y轴上存在定点N（0，m）满足题设，则，=x1x2+（y1m）（y2m）=x1x2+y1y2m（y1+y2）+m2=x1x2+（kx1）（ kx2）m（kx1+kx2）+m2=（k2+1）x1x2k（+m）（x
36、1+x2）+m2+m+=k（+m）+m2+m+=，由假设得对于任意的kR，=0恒成立，即，解得m=1，因此，在y轴上存在定点N，使得以PQ为直径的圆恒过这个点，点N的坐标为（0，1）点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，考查向量的有关运算，考查学生分析解决问题的能力21已知函数f（x）=x2，且函数g（x）在1，1上单调递减（1）若g（x）+3sin1在x1，1上恒成立，求的取值范围；（2）若关于x的方程lnf（1+x）=2xm在区间 上有两个根（e为自然对数的底数），试求m的取值范围考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用专题： 综合题；转化思想分析： （1）求出函数的导
37、数，推出g（x），通过g（x）+3sin1在x1，1上恒成立，转化为2sin1，求的取值范围；（2）若关于x的方程lnf（1+x）=2xm在区间 上有两个根（e为自然对数的底数），转化为函数h（x）的图象与x轴交点个数，通过导数判断函数的单调性，求出最大值，得到方程有两个根的条件，求出m的取值范围解答： 解：（1）由题意得g（x）=x+sinx，所以g（x）=+cosx，因g（x）在1，1上单调递减，所以g（x）0在1，1上恒成立，即cosx在1，1上恒成立，得1（3分）因g（x）在1，1上单调递减，所以g（x）max=g（1）=sin1，又g（x）+3sin1在x1，1上恒成立，故只需sin
38、1+3sin1恒成立所以2sin1，又sin30sin1，所以12sin1，故2sin11（2）由（1）知f（1+x）=（1+x）2，所以方程为ln（1+x）2=2xm，设h（x）=ln（1+x）22x+m，则方程根的个数即为函数h（x）的图象与x轴交点个数，因，当x（1，0）时，h（x）0，所以h（x）在（1，0）上为增函数，当x（，1）（0，+）时，h（x）0，所以h（x）在（，1）和（0，+）上为减函数，所以h（x）在上为增函数，在（0，e1上为减函数，故h（x）在的最大值为h（0）=m，又，方程有两根满足：，得，即当时，原方程有两解点评： 本题是中档题，考查函数导数在解决恒成立问题，以及方程的根的应用，注意转化思想的应用，恒成立的应用，是难度较大的题目，常考题型
