1、【知识重温】一、必记 2 个知识点1周期函数(1)周期函数的定义对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有_，那么函数 f(x)就叫做周期函数_叫做这个函数的周期(2)最小正周期，如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个_，那么这个_就叫做 f(x)的最小正周期f(xT)f(x)T最小正数最小正数2正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数ysin xycos xytan x图象定义域xRxRx|xR 且 x2k，kZ值域_ y|1y1y|1y1R单调性_ 上递增，kZ；_ 上递减，kZ_ 上递增，kZ；_ 上递减，kZ_ 上递增，kZ最值x
2、_时，ymax1(kZ)；x_时，ymin1(kZ)x_时，ymax1(kZ)；x_时，ymin1(kZ)无最值22k，22k22k，32 2k(2k1)，2k2k，(2k1)(2k，2k)22k22k2k2k奇偶性_对称中心：_对称中心：21 _对称中心：22 _对称性对称轴 l：23 _对称轴 l：24 _无 周期性25_26_27_奇函数偶函数奇函数(k，0)，kZk2，0，kZk2，0，kZxk2，kZxk，kZ22二、必明 2 个易误点1三角函数存在多个单调区间时易错用“”联结2研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易受基本函数影响，遗漏问题的多解，同时也可能忽视“kZ”这一
3、条件【小题热身】1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysin x 在第一、第四象限是增函数()(2)余弦函数 ycos x 的对称轴是 y 轴()(3)正切函数 ytan x 在定义域内是增函数()(4)已知 yksin x1，xR，则 y 的最大值为 k1.()(5)ysin|x|是偶函数()(6)若 sin x 22，则 x4.()2函数 ytan 3x 的定义域为()A.xx32 3k，kZ B.xx6k，kZC.xx6k，kZD.xx6k3，kZ解析：由 3x2k，得 x6k3，kZ.答案：D32017全国卷函数 f(x)sin2x3 的最小正周期为()A4 B2C
4、D.2解析：函数 f(x)sin2x3 的最小正周期 T22.故选 C.答案：C4函数 ysin2x 的图象()A关于 x 轴对称 B关于 y 轴对称C关于原点对称 D关于直线 x2对称解析：因为 ysin2x cos x，又因为 cos(x)cos x，为偶函数，所以其图象关于 y 轴对称答案：B5函数 y32cos(x4)的最大值为_，此时 x_.解析：函数 y32cos(x4)的最大值为 325，此时 x42k，即 x34 2k(kZ)答案：5 34 2k(kZ)考点一 三角函数的定义域自主练透型1函数 y sin xcos x的定义域为_解析：要使函数有意义，必须有 sin xcos
5、x0，即 sin xcos x，同一坐标系中作出 ysin x，ycos x，x0,2的图象如图所示结合图象及正、余弦函数的周期是 2 知，函数的定义域为x2k4x2k54，kZ.答案：x2k4x2k54，kZ2函数 ylg(sin 2x)9x2的定义域为_解析：由sin 2x0，9x20，得kxk2，kZ，3x3.3x2或 0 x0)的最小正周期为，则函数 f(x)的图象()A关于直线 x4对称B关于直线 x8对称C关于点(4，0)对称D关于点(8，0)对称解析：f(x)sin(x4)的最小正周期为，2，2，f(x)sin(2x4).当 x4时，2x434，A、C 两项错误；当 x8时，2x
6、42，B 项正确，D 项错误答案：B考向三：三角函数的单调性例 4 已知 f(x)2sin(x4)，x0，则 f(x)的单调递增区间为_解析：由22kx422k，kZ，得34 2kx42k，kZ.又 x0，所以 f(x)的单调递增区间为0，4.答案：0，4 悟技法1.奇偶性与周期性的判断方法(1)奇偶性：由正、余弦函数的奇偶性可判断 yAsin x 和 yAcos x 分别为奇函数和偶函数(2)周期性：利用函数 yAsin(x)，yAcos(x)(0)的周期为2，函数 yAtan(x)(0)的周期为求解2求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作
7、一个角 u(或 t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求它的单调区间.变式练(着眼于举一反三)32017全国卷设函数 f(x)cosx3，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图象关于直线 x83 对称Cf(x)的一个零点为 x6Df(x)在2，单调递减解析：A 项，因为 f(x)cosx3 的周期为 2k(kZ)，所以 f(x)的一个周期为2，A 项正确B 项，因为 f(x)cosx3 图象的对称轴为直线 xk3(kZ)，所以 yf(x)的图象关于直线 x83 对称，B 项正确C项，f(x)cosx43.令 x43 k2(k
8、Z)，得 xk56，当 k1时，x6，所以 f(x)的一个零点为 x6，C 项正确D 项，因为 f(x)cosx3 的递减区间为2k3，2k23(kZ)，递增区间为2k23，2k53(kZ)，所以2，23 是减区间，23，是增区间，D 项错误答案：D42019全国卷下列函数中，以2为周期且在区间4，2 单调递增的是()Af(x)|cos 2x|Bf(x)|sin 2x|Cf(x)cos|x|Df(x)sin|x|解析：A 中，函数 f(x)|cos 2x|的周期为2，当 x4，2 时，2x2，函数 f(x)单调递增，故 A 正确；B 中，函数 f(x)|sin 2x|的周期为2，当 x4，2
9、时，2x2，函数 f(x)单调递减，故 B不正确；C 中，函数 f(x)cos|x|cos x 的周期为 2，故 C 不正确；D 中，f(x)sin|x|sin x，x0，sin x，x0，由图象知，在整个定义域上 f(x)不是周期函数，故 D 不正确故选 A.答案：A微专题(九)巧用对称性妙解奇偶性问题例 2020保定模拟若函数 f(x)2sin(2x6)(0)是偶函数，则 _.解题视点：(1)解法一直接利用偶函数的定义构造等式，然后利用恒成立求，是已知奇偶性求参数的常规思路(2)解法二体现了定义的双向性，但计算量大，运算过程极易出错解析：解法一 因为 f(x)为偶函数，所以对 xR，f(x
10、)f(x)恒成立，因此 sin2x6 sin2x6，即sin 2xcos6 cos 2xsin6 sin 2xcos6 cos 2xsin6，整理得 sin 2xcos6 0.因为 xR，所以 cos6 0.又因为 0，故 62.所以 23.解法二 因为 f(x)为偶函数，所以函数 yf(x)的图象关于直线 x0 对称，故当 x0 时函数取得最值，即 f(0)2，所以 2sin6 2，从而 62k，23 k，kZ.又因为 00)个单位后的图象关于 y 轴对称，则 a 的最小值是()A.6 B.3 C.2 D.23解析：依题意得 f(x)2sinx6，函数 f(xa)2sinxa6的图象关于 y 轴对称，因此 sina6 1，a6k2，kZ，即 ak3，kZ，因此正数 a 的最小值是3，选 B.答案：B
