1、2007届高考数学第二轮专题讲座专题十 圆锥曲线【考点聚焦】考点1：椭圆的概念与性质.考点2：双曲线的概念与性质.考点3：抛物线的概念与性质.考点4：直线与圆锥曲线的位置关系.考点5：轨迹问题.考点6：圆锥曲线的参数方程；极坐标；与代数、三角、平面向量的综合问题.【自我检测】完成下面表格中内容：椭圆双曲线抛物线定义标准方程图形范围顶点离心率准线方程参数方程极坐标方程【重点难点热点】问题1：求圆锥曲线的标准方程、离心率、准线方程等.利用待定系数法求出相应的a，b，p等.例1设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4，求此椭圆方程、离
2、心率、准线方程及准线间的距离.思路分析：设所求椭圆方程为或.根据题意列出关于a,b,c方程组，从而求出a,b,c的值，再求离心率、准线方程及准线间的距离.解：设椭圆的方程为或，则，解之得：，b=c4.则所求的椭圆的方程为或，离心率；准线方程，两准线的距离为16.点评：充分认识椭圆中参数a,b,c,e的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关.演变1：如图，已知P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程 点拨与提示 本题考查待定系数法求双曲线的方程，利用点P在曲线上和P1OP2的面积建立关于参数a、b的两个方程
3、，从而求出a、b的值 问题2：圆锥曲线的几何性质由方程来讨论其性质.例2：设F1、F2为椭圆 的两个焦点，P为上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且PF1PF2，求的值.思路分析：由已知，F1不是直角顶点，所以只要对P、F2中哪一个是直角顶点分两种情况即可.解法1：由已知，PF1PF2，PF1PF26，F1F2，若PF2F1为直角，则PF12PF22F1F22，可解得：PF1，PF2，这时.若F2PF1为直角，则PF12PF22F1F22，可解得：PF14，PF22，这时.解法2：由椭圆的对称性，不妨设P(x,y)（其中x0,y0），.若PF2F1为直角，则P（），这时PF1
4、，PF2，这时.若PF2F1为直角，则由，解得：.于是PF14，PF22，这时.点评：由椭圆的方程，熟练准确地写出其几何性质（如顶点，焦点，长、短轴长，焦距，离心率，焦半径等）是应对考试必备的基本功；在解法2中设出了P点坐标的前提下，还可利用PF1a+ex,PF2=a-ex来求解.演变2：已知双曲线的方程为, 直线通过其右焦点F2，且与双曲线的右支交于A、B两点，将A、B与双曲线的左焦点F1连结起来，求|F1A|F1B|的最小值点拨与提示：由双曲线的定义得：|AF1|=(x1+)=x1+2，|BF1|=x2+2,|F1A|F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4 ，将直
5、线方程和双曲线的方程联立消元，得x1+x2=, x1x2= .本题要注意斜率不存在的情况.问题3：有圆锥曲线的定义的问题利用圆锥曲线的第一、第二定义求解.例3：已知某椭圆的焦点F1（4,0），F2（4,0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个焦点为B，且10，椭圆上不同两点A（x1,y1）,C(x2,y2)满足条件F2A，F2B，F2C成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标.思路分析：因为已知条件中涉及到椭圆上的点到焦点的距离，所以可以从椭圆的定义入手.解：（1）由椭圆的定义及已知条件知：2aF1BF2B10，所以a=5,又c3，故b=4.故椭圆的方程为.由点B（4，
6、y0）在椭圆上，得F2By0|，因为椭圆的右准线方程为，离心率.所以根据椭圆的第二定义，有.因为F2A，F2B，F2C成等差数列，所以：x1+x2=8,从而弦AC的中点的横坐标为点评：涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者，需要注意的是右焦点与右准线对应，不能弄错.演变3：已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F1，其右焦点F2和右准线分别是抛物线的顶点和准线. 求椭圆C的方程； 若点P为椭圆上C的点，PF1F2的内切圆的半径为，求点P到x轴的距离； 若点P为椭圆C上的一个动点，当F1PF2为钝角时求点
7、P的取值范围.点拨与提示：本题主要复习圆锥曲线的基本知识，待定系数法和定义法等通性通法的运用.根据抛物线确定抛物线的顶点和准线方程，从而得到椭圆的标准方程.解题时注意椭圆的定义的运用.问题4：直线与圆锥曲线位置关系问题利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.例4：抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x 00)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足.（）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；（）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；（）当=1
8、时，若点P的坐标为（1，-1），求PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.思路分析：将直线方程和抛物线方程组成的方程组转化为一元二次方程，用韦达定理来求解.解：（）由抛物线的方程（）得，焦点坐标为，准线方程为（）证明：设直线的方程为，直线的方程为点和点的坐标是方程组的解将式代入式得，于是，故又点和点的坐标是方程组的解将式代入式得于是，故由已知得，则设点的坐标为，由，则将式和式代入上式得，即线段的中点在轴上（）因为点在抛物线上，所以，抛物线方程为由式知，代入得将代入式得，代入得因此，直线、分别与抛物线的交点、的坐标为，于是，因为钝角且、三点互不相同，故必有求得的取值范围是或又点的纵坐标满足，故当时
9、，；当时，即点评：解析几何解题思维方法比较简单，但对运算能力的要求比较高，平时练习要注意提高自己的运算能力.演变4. (05年重庆)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为. (1) 求双曲线C的方程； (2) 若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围.问题5：轨迹问题根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.例5. （05年江西）如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB. （1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值； （2）若M为动点，且EMF=90，求EMF的重心
10、G的轨迹思路分析：（1）由直线MF（或ME）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F和点E的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M点的坐标将E、F点的坐标表示出来，进而表示出G点坐标，消去y0即得到G的轨迹方程（参数法）.OABEFM解：（1）设M（y,y0），直线ME的斜率为k(l0)则直线MF的斜率为k，方程为由，消解得(定值)所以直线EF的斜率为定值.（2）直线ME的方程为由得同理可得设重心G（x, y），则有消去参数得点评：这是一道重要的数学问题,几乎是高考数学每年的必考内容之一,此类问题一定要“大胆假设,细心求解”,根据题目要求先将题目所涉及的未知量都可以设出来,然后根据题目把所有的条件都
11、变成等式,一定可以求出来,当然求的过程中,采取适当的小技巧,例如化简或适当分类讨论,可以大为简化过程,而且会尽量多多得分,同时这一类题目也需要很强的计算能力.演变5：已知椭圆的左、右焦点分别是F1（c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 （）设为点P的横坐标，证明； （）求点T的轨迹C的方程； （）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使F1MF2的面积S=若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.点拨与提示：本题在求点T的轨迹用的是代入法：即用T点的坐标将Q点的坐标表示出来，再代入Q所满足的曲线方程即可.问题6：
12、与圆锥曲线有关的定值、最值问题建立目标函数，转化为函数的定值、最值问题.例6：点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，.（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值.思路分析：设椭圆上动点坐标为(x,y)，用该点的横坐标将距离d表示出来，利用求函数最值的方法求d的最小值. 解（1）由已知可得点A(6,0),F(0,4) 设点P(,),则=+6, ,=4, ,由已知可得 则2+918=0, =或=6. 由于0,只能=,于是=. 点P的坐标是(,) (2) 直线AP的方程是+6=0. 设点
13、M(,0),则M到直线AP的距离是. 于是=,又66,解得=2. 椭圆上的点(,)到点M的距离有 ,由于66, 当=时,d取得最小值点评：解决有关最值问题时，首先要恰当地引入变量（如点的坐标、角、斜率等），建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法求解.OF2F1A2A1PM演变6：（05年浙江）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|A1F1|21 ()求椭圆的方程； ()若直线l1：xm(|m|1)，P为l1上的动点，使F1PF2最大的点P记为Q，求点Q的坐标(用m表示)点拨与提示：（1）待定系数法；（2）利用夹角公
14、式将F1PF2的正切值用y0表示出来，利用基本不等式求其最值.演变7：（05年全国）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线. （1）求椭圆的离心率； （2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值. 点拨与提示：（1）将AB的方程与椭圆方程联立成方程组，然后求解；（2）将M点的坐标用A、B的坐标表示出来，代入到椭圆方程，结合韦达定理求解.问题7：与圆锥曲线有关的对称问题利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.例7：过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆
15、C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程 思路分析： 本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式，再利用对称点所连线段被对称轴垂直平分来列式求解；解法二，用韦达定理 解法一 由e=,得,从而a2=2b2,c=b 设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上 则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12x22)+2(y12y22)=0,设AB中点为(x0,y0)，则kAB=，又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,于是=1，kAB=1，设l的方程
16、为y=x+1. 右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x,y),由点(1,1b)在椭圆上，得1+2(1b)2=2b2,b2= 所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=x+1 解法二 由e=,从而a2=2b2,c=b 设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x1),将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k= 直线l y=x过AB的中点(),则,解得k=0，或k=1 若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从
17、而k=1，直线l的方程为y=(x1),即y=x+1,以下同解法一 点评：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强 待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题，成为解决本题的关键.注意在设直线方程时要对直线斜率是否存在进行讨论.演变8：（05年湖南）已知椭圆C：1（ab0）的左右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线l：yexa与x轴y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设. （）证明：1e2； （）确定的值，使得PF1F2是等腰三角形.点拨与提示：（1）由A、B的坐标求出M点的坐标（x0,y0），代入椭圆
18、的方程即可；（2）利用等腰三角形的性质|PF1|=|F1F2|来求的值.专题小结1、求曲线方程常利用待定系数法，求出相应的a，b，p等.要充分认识椭圆中参数a,b,c,e的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关. 2、涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者，需要注意的是右焦点与右准线对应，不能弄错.3、直线与圆锥曲线的位置关系问题，利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.4、对于轨迹问题，要根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说
19、明轨迹的位置、形状、大小等特征.求轨迹的常用方法有直接法、定义法、参数法、代入法、交轨法等.5、与圆锥曲线有关的对称问题，利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.【临阵磨枪】一 选择题1椭圆的焦距是它的两条准线间距离的，则它的离心率为（）AB.C.D.2动点M（x，y）到点F（4,0）的距离，比到直线x+5=0的距离不1，则点M的轨迹方程为（）A. x+4=0 B. x-4=0 C. y2=8x D. y2=16x3设定点M（3，）与抛物线y2=2x上的点P的距离为d1，P到抛物线准线l的距离为d2，则d1+d2取最小值时，P点的坐标为（）A.（0,0）B.（1，）C.（2,2）D.（
20、）4抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点P（m,3）到焦点的距离为5，则抛物线的准线方程是（）A.y=4B.y=4C.y=2D.y=25设F（c,0）为椭圆的右焦点，椭圆上的点与点F的距离的最大值为M，最小值为m，则椭圆上与F点的距离是的点是（）A.（）B.（0，）C.（）D.以上都不对6 中心在原点，焦点在坐标为(0，5)的椭圆被直线3xy2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为( )7 斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为( )A 2B C D 8 抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x1,x2,直
21、线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有( )A x3=x1+x2B x1x2=x1x3+x2x3C x1+x2+x3=0D x1x2+x2x3+x3x1=09 已知A、B、C三点在曲线y=上，其横坐标依次为1，m,4(1m4)，当ABC的面积最大时，m等于( )A 3 B C D 10 设u,vR，且|u|,v0,则(uv)2+()2的最小值为( )A 4B 2 C 8D 211 直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x24y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_ 12 在抛物线y2=16x内，通过点(2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_ 13
22、 A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使OPA=,则椭圆离心率的范围是_ 14 已知抛物线y=x21上一定点B(1，0)和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BPPQ，则Q点的横坐标的取值范围是_ 15 已知抛物线y2=2px(p0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|2p (1)求a的取值范围 (2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值 16 已知直线y=kx1与双曲线x2y2=1的左支交于A、B两点，若另一条直线l经过点P(2，0)及线段AB的中点Q，求直线l在y轴上的截距b的取值范围17 如图，弧为
23、半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且ODAB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变 (1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设=，求的取值范围 18 已知圆C1的方程为(x2)2+(y1)2=,椭圆C2的方程为=1(ab0)，C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程 19、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点已知与共线，与共线，且求四边形的面积的最小值和最大值参考答案1B提示：
24、依题意有,.2D提示：依题意M到点F的距离与到直线x=-4的距离相等地，则M的轨迹方程为y2=16x.3C提示：连接PF，则d1+d2PMPFMF，知d1+d2的最小值为MF，当且仅当M、P、F三点共线时，等号成立，而直线MF的方程为，与y2=2x联立可得x=2,y=2.4C提示：依题意准线方程为y=,且（3）5，2，故选C.5B提示：Ma+c，m=ac，a，应选B.6C提示 由题意，可设椭圆方程为 =1,且a2=50+b2，即方程为=1 将直线3xy2=0代入，整理成关于x的二次方程 由x1+x2=1可求得b2=25,a2=75 7 C提示 弦长|AB|= 答案 C8 D提示 解方程组,得a
25、x2kxb=0,可知x1+x2=,x1x2=,x3=,代入验证即可 答案 B9 B提示 由题意知A(1，1)，B(m,),C(4,2) 直线AC所在方程为x3y+2=0,点B到该直线的距离为d= m(1,4),当时，SABC有最大值，此时m= 答案 B10 C提示 考虑式子的几何意义，转化为求圆x2+y2=2上的点与双曲线xy=9上的点的距离的最小值 选C11 =1提示 所求椭圆的焦点为F1(1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2| 欲使2a最小，只需在直线l上找一点P 使|PF1|+|PF2|最小，利用对称性可解 12 8xy15=0提示 设所求直线与y2=16x相交于点A、B
26、，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得y12=16x1,y22=16x2,两式相减得，(y1+y2）(y1y2)=16(x1x2) 即kAB=8 故所求直线方程为y=8x15 13 e1提示 设椭圆方程为=1(ab0)，以OA为直径的圆： x2ax+y2=0,两式联立消y得x2ax+b2=0 即e2x2ax+b2=0,该方程有一解x2,一解为a,由韦达定理x2=a,0x2a，即0aae1 14 (,31,+)提示 设P(t,t21)，Q(s,s21)，BPPQ，=1，即t2+(s1)ts+1=0，tR,必须有=(s1)2+4(s1)0 即s2+2s30，解得s3或s1 15
27、解 (1)设直线l的方程为 y=xa,代入抛物线方程得(xa)2=2px,即x22(a+p)x+a2=0|AB|=2p 4ap+2p2p2,即4app2，又p0,a (2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点 C(x,y),由(1)知，y1=x1a,y2=x2a,x1+x2=2a+2p,则有x=p 线段AB的垂直平分线的方程为yp=(xap),从而N点坐标为(a+2p,0），点N到AB的距离为从而SNAB=当a有最大值时，S有最大值为p2 16 解 设A(x1,y1）,B(x2,y2) 由,得(1k2）x2+2kx2=0,又直线AB与双曲线左支交于A、B两点，故有解得k117 解
28、(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系， |PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2|AB|=4 曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆 设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,a=,c=2,b=1 曲线C的方程为+y2=1 (2)设直线l的方程为y=kx+2，代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0 =(20k)2415(1+5k2)0,得k2 由图可知=由韦达定理得将x1=x2代入得，两式相除得M在D、N中间，1又当k不存在时，显然= (此时直线l与y轴重合) 18 解 由e=,可设椭圆方程为=1,又设A(x1,y1)、B(x
29、2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2,又=1,两式相减，得=0,即(x1+x2)(x1x2)+2(y1+y2)(y1y2)=0 化简得=1,故直线AB的方程为y=x+3,代入椭圆方程得3x212x+182b2=0 有=24b2720,又|AB|=,得，解得b2=8 故所求椭圆方程为=1 19解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQMN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为K，又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为=+1将此式代入椭圆方程得(2+)+21=0设P、Q两点的坐标分别为(，)，(，)，则 QPNMFO从而亦即(1) 当0时，
30、MN的斜率为，同上可推得 故四边形面积令=得=2当=1时=2，S=且S是以为自变量的增函数，当=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=2，|PQ|=.S=|PQ|MN|=2综合知四边形PMQN的最大值为2，最小值为.【挑战自我】已知椭圆（a1），直线l过点A（-a,0）和点B（a,ta）交椭圆于M，直线MO交椭圆于点N.（1）用a,t表示AMN的面积S；（2）若t1,2，a为定值，求S的最大值.解：（1）由于直线AB的方程为tx-2y+at=0,由得M，由椭圆的对称性知N，S.（2）t1,2，S记，由得，a1，当即1a2时，f(t)在1,2上有唯一的极值点，这时当即a2时，这说明f(t)在1,2上是
31、增函数，所以因此，.【答案及点拨】演变1：以O为原点，P1OP2的角平分线为x轴建立如图的直角坐标系 设双曲线方程为=1(a0,b0)由e2=，得 两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=x设点P1(x1, x1),P2(x2,x2)(x10,x20),则由点P分所成的比=2,得P点坐标为(),又点P在双曲线=1上，所以=1,即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 即x1x2= 由、得a2=4,b2=9，故双曲线方程为=1 演变2：设A(x1,y1),B(x2,y2)，A到双曲线的左准线x= = 的距离d=|x1+|=x1+，由双曲线的定义，=e=,|AF1
32、|=(x1+)=x1+2,同理，|BF1|=x2+2,|F1A|F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4 (1)双曲线的右焦点为F2(,0), (1)当直线的斜率存在时设直线AB的方程为：y=k(x)，由消去y得 (14k2)x2+8k2x20k24=0,x1+x2=, x1x2= , 代入(1)整理得|F1A|F1B|=+4=+4=+4=+|F1A|F1B|;(2)当直线AB垂直于x轴时，容易算出|AF2|=|BF2|=,|AF1|=|BF1|=2a+=(双曲线的第一定义), |F1A|F1B|=由(1), (2)得：当直线AB垂直于x轴时|F1A|F1B|取最大值演
33、变3：抛物线的顶点为(4,0)，准线方程为, 设椭圆的方程为,则有c=4，又， 椭圆的方程为设椭圆内切圆的圆心为Q，则 设点P到x轴的距离为h，则 .设点P的坐标为(x0,y0)，由椭圆的第二定义得： 由F1PF2为钝角知： 即为所求.演变4：（）设双曲线方程为 由已知得故双曲线C的方程为（）将 由直线l与双曲线交于不同的两点得即 设，则而于是 由、得 故k的取值范围为演变5：（）证法一：设点P的坐标为由P在椭圆上，得由，所以 证法二：设点P的坐标为记则由（）解法一：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在QF1F2中，所以有综上所
34、述，点T的轨迹C的方程是 解法二：设点T的坐标为 当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为（），则，因此 由得 将代入，可得综上所述，点T的轨迹C的方程是 （）解法 C上存在点M（）使S=的充要条件是：由得 上式代入得于是，当时，存在点M，使S=；当时，不存在满足条件的点M. 当时，记，由知，所以 演变6：（）设椭圆方程为（），半焦距为c, 则,由题意，得 , 解得，故椭圆方程为（II）设P(当时，当时, ，只需求的最大值即可.直线的斜率，直线的斜率当且仅当=时，最大，演变7：设椭圆方程为则直线AB的方程为化简得.令则 共线，得又，即，故离心率为（II）证明：由（I）知，所以椭圆可化为.设，由已知得在椭圆上，即 由（I）知又又，代入得 故为定值1.演变8：（）因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是所以 因为点M在椭圆上，所以 即 解得 （）解：因为PF1l，所以PF1F2=90+BAF1为钝角，要使PF1F2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|.设点P的坐标是，则由|PF1|=|F1F2|得两边同时除以4a2，化简得 从而于是. 即当时，PF1F2为等腰三角形.
