1、第1课时距离问题与高度问题课时过关能力提升1.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40方向上,则灯塔A与灯塔B的距离为()A.a kmB.3a kmC.2a kmD.2a km解析:如图所示,由题意可知ACB=120,AC=BC=a km.在ABC中,由余弦定理,得AB=AC2+CB2-2ACCBcosACB=3a(km).答案:B2.一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过3 h,该船实际航程为()A.215 km B.6 kmC.221 km D.8 km解析:如
2、图所示, 由题意知|OA|=23,|OB|=43,AOB=120,A=60,|OC|=|OB|cos 30=6(km).故经过3 h,该船的航程为6 km.答案:B3.在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30,60,则塔高是()A.4003 m B.40033 mC.2003 m D.200 m解析:如图所示,设塔AB的高为h,在RtCDB中,CD=200 m,BCD=90-60=30,BC=200cos30=40033(m).在ABC中, ABC=BCD=30,ACB=60-30=30,BAC=120.在ABC中,由正弦定理,得BCsin120=ABsin30,AB=BC
3、sin30sin120=4003 (m).即塔高h=4003 m.答案:A4.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,吊索AB=519 m,起吊的货物与岸的距离AD为()A.30 mB.1523 mC.153 mD.45 m解析:在ABC中,由余弦定理,得cosACB=AC2+BC2-AB22ACBC=152+102-(519)221510=-12,ACB=120,ACD=180-120=60.AD=ACsin 60=1532(m).答案:B5.如图,从气球A上测得其正前下方的河流两岸B,C的俯角分别为75,30,此时气球的高度AD是60 m,则河流的宽度BC是()
4、A.2403-1m B.180(2-1)mC.1203-1m D.30(3+1)m解析:由题意知,在RtADC中,C=30,AD=60 m,AC=120 m.在ABC中,BAC=75-30=45,ABC=180-45-30=105,由正弦定理,得BC=ACsinBACsinABC=120226+24=120(3-1)(m).答案:C6.已知A船在灯塔C北偏东80方向,且A到C的距离为2 km,B船在灯塔C北偏西40方向,A,B两船的距离为3 km,则B到C的距离为km.答案:(6-1)7.如图所示,在观礼台上某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面,BAD=15,在该列的第一个座位A和最后
5、一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60和30,且座位A,B的距离为106 m,则旗杆的高度为_m.解析:由题意知BAN=105,BNA=30.由正弦定理,得ANsin45=106sin30,解得AN=203(m),在RtAMN中,MN=203sin 60=30(m).故旗杆的高度为30 m.答案:308.湖中有一小岛,沿湖有一条南北方向的公路,在这条公路上的一辆汽车上测得小岛在南偏西15方向,汽车向南行驶1 km后,又测得小岛在南偏西75方向,则小岛到公路的距离是 km.解析:如图,CAB=15,CBA=180-75=105,ACB=180-105-15=60,AB=1 km.由正弦定理BC
6、sinCAB=ABsinACB,得BC=sin15sin60=6-223(km).设点C到直线AB的距离为d,则d=BCsin 75=6-2236+24=36(km).答案:369.在海岛A(可视岛A为一点)上有一座海拔1 km的山,山顶设有一个观察站P,上午11时,测得一轮船在岛的北偏东30、俯角为30的B处匀速直线行驶,到11时10分又测得该船在岛北偏西60、俯角为60的C处.(1)求该船的航行速度;(2)又经过一段时间后,船到达海岛正西方向的D处,此时船距岛A有多远?解(1)由题意得,在RtPAB中,APB=60,PAB=90,PA=1 km,AB=3 km.在RtPAC中,APC=30
7、,PAC=90,AC=33 km.在ACB中,CAB=30+60=90,BC=AC2+AB2=332+(3)2=303(km).故船的航行速度是30316=230(km/h).(2)DAC=90-60=30,sinDCA=sin(180-ACB)=sinACB=ABBC=3330=31010,sinCDA=sin(ACB-30)=sinACBcos 30-cosACBsin 30=3101032-121-310102=(33-1)1020. 在ACD中,由正弦定理,得ADsinDCA=ACsinCDA,AD=ACsinDCAsinCDA=3331010(33-1)1020=9+313(km),即此时船距岛A有9+313 km.
