1、45 函数的应用(二)45.1 函数的零点与方程的解明确目标发展素养1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系2.会求函数的零点3.掌握函数零点存在定理并会判断函数零点的个数.1.借助零点的求法，培养数学运算和逻辑推理素养2.借助函数的零点同方程根的关系，培养直观想象素养.(一)教材梳理填空1函数的零点：对于一般函数yf(x)，我们把使的实数x叫做函数yf(x)的零点微思考(1)函数的“零点”是一个点吗？(2)函数yx2有零点吗？提示：(1)不是；(2)有零点，零点为0.f(x)02方程、函数、图象之间的关系：方程f(x)0有实数解函数yf(x)有函数yf(x)的图象与x轴有3函数零点存
2、在定理：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条的曲线，且有 _，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c(a，b)，使得，这个c也就是方程f(x)0的解零点公共点连续不断f(a)f(b)0f(c)0微思考(1)在函数零点存在定理中，若f(a)f(b)0，则函数f(x)在(a，b)内存在零点则满足什么条件时f(x)在(a，b)上有唯一零点？(2)函数零点存在定理的逆命题是否成立？提示：(1)当f(x)在(a，b)内连续且单调，且f(a)f(b)0时，f(x)在(a，b)上有唯一零点(2)函数零点存在定理是不可逆的因为由f(a)f(b)0可以推出函数yf(x)在区间(a
3、，b)内存在零点，但是，已知函数yf(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定能推出f(a)f(b)0.(二)基本知能小试1判断正误：(1)函数的零点是一个点()(2)任何函数都有零点()(3)函数yx的零点是O(0,0)()(4)若函数f(x)满足f(a)f(b)0，则函数在区间a，b上至少有一个零点()(5)函数的零点不是点，它是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标，是方程f(x)0的根()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2函数f(x)log2x的零点是()A1B2C3D4答案：A答案：B4函数f(x)(x1)(x23x10)的零点有_个解析：f(x)(x1)(x23x10)(x1)(
4、x5)(x2)，由f(x)0得x5或x1或x2.答案：3方法技巧函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)0的实数根(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)0，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点题型二判断零点所在的区间 探究发现(1)什么是函数的零点？提示：函数的零点是函数yf(x)与x轴交点的横坐标(2)f(a)f(b)0是连续函数f(x)在区间(a，b)上存在零点的什么条件？f(a)f(b)0时函数在区间上一定没有零点吗？提示：f(a)f(b)0是连续函数f(x)在(a，b)上存在零点的充分不必要条件f(a)f(b)0时函数在区间(a，b)上
5、不一定没有零点【学透用活】典例2(1)二次函数f(x)ax2bxc的部分对应值如下表：不求a，b，c的值，判断方程ax2bxc0的两根所在区间是()A(3，1)和(2,4)B(3，1)和(1,1)C(1,1)和(1,2)D(，3)和(4，)(2)f(x)exx2的零点所在的区间是()A(2，1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)x32101234y6m4664n6解析(1)易知f(x)ax2bxc的图象是一条连续不断的曲线，又f(3)f(1)6(4)240，所以f(x)在(3，1)内有零点，即方程ax2bxc0在(3，1)内有根，同理方程ax2bxc0在(2,4)内有根故选A.(2)法一：f
6、(0)10，f(x)在(0,1)内有零点法二：exx20，即ex2x，原函数的零点所在区间即为函数yex和y2x的图象交点的横坐标所在的区间如图，由图象可得函数yex和y2x的图象交点所在的区间为(0,1)答案(1)A(2)C方法技巧 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法解方程法当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上函数零点存在定理首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点数形结合法通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断【对点练清】1函数f(x)2xlog2x3的零
7、点所在区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析：由题意，可得函数在定义域上为增函数，f(1)2log21310，f(2)22log2235320，所以f(1)f(2)0，根据零点存在定理，f(x)的零点所在区间为(1,2)故选B.答案：B2设x0是方程ln xx4的解，且x0(k，k1)，kZ，则k_.解析：令f(x)ln xx4，且f(x)在(0，)上单调递增，f(2)ln 220，f(3)ln 310，f(x)仅在(2,3)内有零点，k2.答案：2方法技巧判断函数存在零点的三种方法(1)方程法：若方程f(x)0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在
8、零点或判断零点的个数(2)图象法：由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐标系内作出y1g(x)和y2h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数(3)定理法：函数yf(x)的图象在区间a，b上是一条连续不断的曲线，由f(a)f(b)0即可判断函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点若函数yf(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点【对点练清】1已知函数f(x)|x24x|a的零点个数为3，则a_.解析：令函数f(x)|x24x|a0，可得|x24x|a，由于函数f(x)|x24x|a的零点个数为3，故函数y|x24
9、x|的图象和直线ya有3个交点，如图所示由图可知a4.答案：42求函数f(x)2xlg(x1)2零点的个数解：法一：f(0)10210，又f(x)2xlg(x1)2在(1，)上为单调增函数，f(x)在(0,1)上必定存在零点故函数f(x)有且只有一个零点法二：在同一坐标系下作出h(x)22x和g(x)lg(x1)的草图由图象知g(x)lg(x1)的图象和h(x)22x的图象有且只有一个交点，即f(x)2xlg(x1)2有且只有一个零点典例4已知二次函数f(x)x22ax4，分别求出下列条件成立的情况下，实数a的取值范围：(1)两个零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零
10、点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内方法技巧解决根的分布问题的注意事项及方法(1)解决有关根的分布问题应注意以下几点：首先画出符合题意的草图，转化为函数问题结合草图考虑四个方面：a.与0的大小；b.对称轴与所给端点值的关系；c.端点的函数值与零的关系；d.开口方向写出由题意得到的不等式(组)并检验条件的完备性(2)解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论2求证：方程5x27x10的一个根在区间(1,0)内，另一个根在区间(1,2)内证明：由690，得方程共有两个不等实根，设f(x)5
11、x27x1，则f(1)57111，f(0)1，f(1)5713，f(2)201415.f(1)f(0)110，f(1)f(2)150，且f(x)5x27x1的图象在R上是连续不断的，f(x)在(1,0)和(1,2)上分别有零点，即方程5x27x10的一个根在区间(1,0)上，另一个根在区间(1,2)上【课堂思维激活】一、综合性强调融会贯通1有一道题“若函数f(x)24ax24x1在区间(1,1)内恰有一个零点，求实数a的取值范围”某同学给出了如下解答：提示：上述解法不正确因为该同学只考虑了在区间(1,1)内存在零点，而没有考虑只有一个零点三、创新性强调创新意识和创新思维3设f(x)与g(x)是定义在同一区间a，b上的两个函数，若函数yf(x)g(x)在xa，b上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在a，b上是“关联函数”，区间a，b称为“关联区间”若f(x)x23x1与g(x)xm在0,3上是“关联函数”，则m的取值范围为_
