1、河北省衡水中学2021届高三数学下学期第二次联合考试试题 理（II卷）本试卷4页总分150分考试时间120分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）A B C D2已知，则（ ）A B C D3已知复数，则的最小值为（ ）A B C D14直线被过点和
2、，且半径为的圆截得的弦长为（ ）A B C D或5，已知一四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（ ）A B C D6已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，且点在双曲线上，则双曲线的方程为（ ）A B C D7异或运算是一种逻辑运算，异或用符号“”表示，在二进制下，当输入的两个量的同一数位的两个数字不同时，输出1，反之输出0如十进制下的数10与9表示成二进制分别是1010，1001（即），那么，现有运算，则m的值为（ ）A7 B9 C11 D138已知奇函数的定义域为R，且满足，以下关于函数的说法：满足 8为的一个周期是满足条件的一个函数 有无数个零点其中正确说法的个数
3、为（ ）A1 B2 C3 D49已知三棱锥的高为1，底面为等边三角形，且P，A，B，C都在体积为的球O的表面上，则该三棱锥的底面的边长为（ ）A B C3 D10甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为，则的值为（ ）A B C D11若表示正整数n的个位数字，数列的前n项和为，则（ ）A B0 C1009 D101112已知函数，则a，b，c，d的大小顺序为（ ）A B C D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共
4、20分13若向量，满足，则的取值范围为_14在一次去敬老院献爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5名同学比带队老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到若他们说的都为真话，从上述回答分析，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为_15已知等差数列满足是与的等比中项，则的值为_16在长方体中，E为棱上任意一点，给出下列四个结论：与不垂直；长方体外接球的表面积最小为；E到平面的距离的最大值为；长方体的表面积的最大值为6其中所有正确结论的序号为_三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选
5、考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（12分)在四边形中，对角线与相交于点E，为等边三角形，（1）求的大小；（2）求的面积18（12分）为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“”模式，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学，生物，政治，地理四科中选择两科作为高考科目某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙
6、三位同学每人选课是相互独立的（1）求这三位同学恰好选择互不相同组合的概率；（2）记表示这三人中选择含地理的组合的人数，求的分布列及数学期望19（12分）如图，两个全等的梯形与所在的平面互相垂直，P为的中点（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值20（12分）已知曲线C的方程为（1）求曲线C的离心率；（2）设曲线C的右焦点为F，斜率为k的动直线l过点F与曲线C交于A，B两点，线段的垂直平分线交x轴于点P，证明：为定值21（12分）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）当时，方程有两个实根，求实数m的取值范围（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按
7、所做的第一题计分22【选修44：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）若曲线上存在点P到曲线的距离为1，求b的取值范围23【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，的最小值为1，证明：河北衡水中学2021届全国高三第二次联合考试理科数学一、选择题1A 【解析】由题意得，所以2C 【解析】由知，为第二象限角，所以为第一或第三象限角，所以3B 【解析】因为，所以，所以的最小值为4B 【解析】过点且半径为的圆的方程为或
8、，则圆心到直线的距离为或，则弦长5C 【解析】设该四棱锥为，则由题意可知四棱锥满足底面为矩形，平面平面，且如图，过点P作，则平面，连接，可知为直线与平面所成的角，则，所以6D 【解析】双曲线的焦点到渐近线的距离为，解得，所以又，所以因为点在双曲线上，所以，所以，所以双曲线的方程为7D 【解析】由，可得，表示成十进制为13，所以8D 【解析】因为，所以因为是奇函数，所以，所以，所以，所以8为的一个周期，故正确；由可得，所以，故正确；为奇函数满足，且一条对称轴为直线，故正确；由为奇函数且定义域为R知，又为周期函数，所以有无数个零点，故正确9C 【解析】设球O的半径为R，由球的体积为可得，解得因为三
9、棱锥的高h为1，所以球心O在三棱锥外如图，设点为的外心，则平面在中，由，且，得因为为等边三角形，所以，所以10A 【解析】抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5有4种情况，得点数之和为5的概率为，第n次由甲掷有两种情况：一是第由甲掷，第n次由甲掷，概率为；二是第次由乙掷，第n次由甲掷，概率为这两种情况是互斥的，所以，即，所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以11C 【解析】由题意得，所以数列为周期数列，且周期为10因为，所以12B 【解析】因为，所以因为函数在区间上单调递增，所以b，c，d中b最小构造函数，则，当时，所以在区间上单调递增，所以，所以所以，所以，所以二填空题1
10、3 【解析】设与的夹角为，则因为，所以，所以1448 【解析】按乙到达的名次顺序进行分类：乙第二个到达有种，乙第三个到达有种，乙第四个到达有种，乙最后到达有种，所以不同的情况种数为5或 【解析】设等差数列的公差为d，因为是与的等比中项，所以，解得或当时，；当时，16 【解析】对于，当长方体为正方体时，故错误；对于，如图，设，则，所以，当时，的最小值为，即长方体外接球的直径为，所以外接球表面积的最小值为，故正确；对于，设点E到平面的距离为h，如图，由可得，所以由可知，其中，当且仅当，即时等号成立，当且仅当，即时等号成立，所以，当且仅当，即时，等号成立，故正确；对于，该长方体的表面积为，当时，S的
11、最大值为6，故正确三、解答题17解：（1）在中，由余弦定理得 （3分）因为，所以，所以 （5分）（2）由知，所以， （7分）所以，所以因为，所以 （9分）所以 （12分）18解：用表示第i位同学选择A组合，用表示第i位同学选择B组合，用表示第i位同学选择C组合，由题意可知，互相独立，且（1）三位同学恰好选择不同组合共有种情况，每种情况的概率相同，故三位同学恰好选择不同组合的概率 （4分）（2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，且， （6分）所以， （10分）所以的分布列为0123P （11分）所以 （12分）19（1）证明：如图，取的中点Q，连接因为P，Q为的中点，所以，且又因为，所以，
12、且， （2分）所以四边形为平行四边形，所以又平面，平面，所以平面 （5分）（2）解：因为平面平面，平面平面平面，所以平面又平面，所以又，所以以B为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系设，则 （8分）设平面的一个法向量为，则即令，得 （9分）易知平面的一个法向量为， （10分）所以所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为 （12分）20（1）解：由可知，点到点的距离之和为4，且，根据椭圆的定义可知，曲线C为焦点在x轴上的椭圆设椭圆的长轴长为，焦距为，则，所以曲线C的离心率为 （4分）（2）证明：设椭圆的短轴长为，由（1）可得，所以曲线C的方程为，则由题意可知，动直线l的
13、方程为，设，由得，所以 （6分）设的中点为，则，当时，线段的垂直平分线的方程为，令，得，所以，所以 （9分）当时，l的方程为，此时，综上，为定值 （12分）21解：（1）由题意知函数的定义域为，因为，所以 （1分）当时，在区间上恒成立，所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间 （3分）当时，令，得，令，得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （5分）（2）方程有两个实根，即关于x的方程有两个实根，即函数有两个零点又， （7分）令，由（1）得t是关于x的单调递增函数，且，所以只需函数有两个零点 （8分）令，得，令，则， （9分）易知当时，单调递增，当时，单调递减，所以当时，取得最大值 （1
14、0分）又因为当时，当时，则函数的图象如图所示，所以当，即时，函数有两个零点所以实数m的取值范围为 （12分）22解：（1）由（为参数），消去参数，得曲线的普通方程为 （2分）由，得， （4分）令，得，所以曲线的直角坐标方程为 （5分）（2）设，因为点P到直线的距离为1，所以，化简得 （7分）若关于的方程有解，则曲线上存在点P到曲线的距离为1，所以 ，或 由得，由得， （9分）所以b的取值范围为 （10分）23（1）解：由题意得，当时，原不等式可化为，解得，故； （1分）当时，原不等式可化为，解得，故； （2分）当时，原不等式可化为，解得，故 （3分）综上，不等式的解集为 （5分）（2）证明：因为，且， （7分）所以，当且仅当或时等号成立，故原不等式得证 （10分）
