1、2007年高考模拟热点交汇试题汇编之数列与不等式（30题）（命题者的首选资料）1. 已知函数,数列满足, ; 数列满足, .求证:（）（）（）若则当n2时,.解: ()先用数学归纳法证明,.（1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0x1时,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在上连续,所以f(0)f()f(1),即0. 故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.4分又由, 得,从而.综上可知6分()构造函数g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0. 因为,所以,即0,从而10分() 因为 ,所以, , 所以 ,
2、12分由()知:, 所以= ,因为, n2, 所以 0时，h(x)=px22x+p图象为开口向上抛物线，称轴为x=（0，+）.h(x)min=p.只需p0，即p1时h(x)0，g(x) 0，g(x)在(0,+ )单调递增，p1适合题意.7分当p0时，h(x)=px22x+p图象为开口向下的抛物线，其对称轴为x=（0，+），只需h(0)0，即p0时h(0)（0,+ )恒成立.g(x)0 ，g(x)在（0,+ ）单调递减，p0)，设.当x（0，1）时，k(x)0，k(x)为单调递增函数；当x（1，）时，k(x)0，结论成立.14分5.已知数列的前n项和满足：（a为常数，且）（）求的通项公式；（）设
3、，若数列为等比数列，求a的值；（）在满足条件（）的情形下，设，数列的前n项和为Tn，求证：解：（）当时，即是等比数列 ； 4分（）由（）知，若为等比数列， 则有而故，解得，再将代入得成立， 所以（III）证明：由（）知，所以，由得所以，从而即 14分6.已知数列满足, ，（1）求证：是等比数列； （2）求数列的通项公式；（3）设，且对于恒成立，求的取值范解：（1）由an1an6an1，an12an3(an2an1) (n2)a15，a25a22a115故数列an12an是以15为首项，3为公比的等比数列 5分（2）由（1）得an12an53n 由待定系数法可得(an13n1)2(an3n)即a
4、n3n2(2)n1 故an3n2(2)n13n(2)n 9分（3）由3nbnn(3nan)n3n3n(2)nn(2)n，bnn()n 令Sn|b1|b2|bn|2()23()3n()n Sn()22()3(n1)()nn()n1 11分得Sn()2()3()nn()n+1n()n+121()nn()n+1 Sn61()n3n()n+16要使得|b1|b2|bn|m对于nN恒成立，只须m6 14分7.已知数列的首项（a是常数，且），（），数列的首项，（）。 （1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数a的值；（3）当a0时，求数列的最小项。解：（1
5、）(n2) 3分由得， ，4分即从第2项起是以2为公比的等比数列。5分（2） 8分当n2时，是等比数列, (n2)是常数，3a+4=0，即 。11分（3）由（1）知当时，所以，13分所以数列为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，显然最小项是前三项中的一项。15分当时，最小项为8a-1；当时，最小项为4a或8a-1；16分当时，最小项为4a；当时，最小项为4a或2a+1；17分当时，最小项为2a+1。18分 8.已知函数f(x)=，设正项数列满足=l， (I)写出，的值; ()试比较与的大小，并说明理由； ()设数列满足=，记Sn=证明：当n2时,Sn(2n1)解(1)，因为所以 2分
6、（2）因为所以3分,5分因为所以与同号，6分因为，即8分（3）当时，10分所以，12分所以14分9.已知，若数列an 成等差数列. （1）求an的通项an; （2）设 若bn的前n项和是Sn，且解：设2，f(a1), f(a2), f(a3),，f(an),2n+4的公差为d，则2n+4=2+(n+21)dd=2,（2分）（4分） （2）， 10.（1）数列an和bn满足 （n=1，2，3），求证bn为等差数列的充要条件是an为等差数列。（8分） （2）数列an和cn满足，探究为等差数列的充分必要条件，需说明理由。提示：设数列bn为证明：（1）必要性 若bn为等差数列，设首项b1，公差d则 a
7、n为是公差为的等差数列 4分充分性 若an为等差数列，设首项a1，公差d则当n=1时，b1=a1也适合bn+1bn=2d， bn是公差为2d的等差数列 4分 （2）结论是：an为等差数列的充要条件是cn为等差数列且bn=bn+1其中 （n=1，2，3） 4分11.设集合W是满足下列两个条件的无穷数列an的集合： M是与n无关的常数. （1）若an是等差数列，Sn是其前n项的和，a3=4，S3=18，证明：SnW （2）设数列bn的通项为，求M的取值范围；（3）设数列cn的各项均为正整数，且（1）解：设等差数列an的公差是d，则a1+2d=4，3a1+3d=18，解得a1=8，d=2，所以2分由
8、=10得适合条件；又所以当n=4或5时，Sn取得最大值20，即Sn20，适合条件综上，SnW4分（2）解：因为所以当n3时，此时数列bn单调递减；当n=1，2时，即b1b2b3，因此数列bn中的最大项是b3=7所以M78分（3）解：假设存在正整数k，使得成立由数列cn的各项均为正整数，可得因为由因为依次类推，可得设这显然与数列cn的各项均为正整数矛盾！所以假设不成立，即对于任意nN*,都有成立.( 16分)12.数列和数列（）由下列条件确定：（1），；（2）当时，与满足如下条件：当时，；当时，.解答下列问题：（）证明数列是等比数列；（）记数列的前项和为，若已知当时，求.（）是满足的最大整数时，
9、用，表示满足的条件.解：（）当时，当时，所以不论哪种情况，都有，又显然，故数列是等比数列.（4分）（）由（）知，故，所以所以，（7分）又当时，故.（8分）（）当时，由（2）知不成立，故，从而对于，有，于是，故，（10分）若，则，所以，这与是满足的最大整数矛盾.因此是满足的最小整数.（12分）而，因而，是满足的最小整数.（14分）13.已知数列中， （1）求； （2）求数列的通项； （3）设数列满足，求证：解：（1）（2） 得即：，所以所以（3）由（2）得：，所以是单调递增数列，故要证：只需证若，则显然成立若，则所以因此：所以所以14. 已知数列满足，（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和
10、；（）设，数列的前项和为求证：对任意的，解：（），3分又，数列是首项为，公比为的等比数列5分，即. 6分（） 9分（）， 10分当时，则， 对任意的， 14分15. 设数列满足 ，且数列是等差数列，数列是等比数列。（I）求数列和的通项公式；（II）是否存在，使，若存在，求出，若不存在，说明理由。解（1）由已知， 公差 1分 2分 4分由已知5分所以公比6分7分（2）设 8分所以当时，是增函数。10分又，所以当时，12分又，13分所以不存在，使。14分16. 数列的首项，前n项和Sn与an之间满足 （1）求证：数列的通项公式； （2）设存在正数k，使对一切都成立，求k的最大值.解：（1）证明：
11、（1分）， （3分）， （5分）数列为首项，以2为公差的等差数列。（6分）（2）由（1）知 （7分）设，则 （10分）上递增，要使恒成立，只需 （12分）17.数列，是否存在常数、，使得数列是等比数列，若存在，求出、的值，若不存在，说明理由。设，证明：当时，.解:设 ， 即 (2分) 故 (4分) (5分)又 (6分)故存在是等比数列 (7分)证明：由得 ，故 (8分) (9分) （11分）现证.当，故时不等式成立 （12分）当得，且由， （14分）18已知数列满足.(1)求数列的通项公式；（2）设a0,数列满足，若对成立，试求a的取值范围。解：（1），又，是公比为的等比数列，（2），现证：时
12、，对成立。 n=1时，成立; 假设n=k(k1)时，成立，则，即n=k+1时，也成立，时，a的取值范围是。19.已知数列满足.(1)求数列的通项公式；（2）若数列的前n项和，求证：。解：（1），又，是公比为的等比数列，（2），得：，20设A（x1,y1）,B(x2,y2)是函数f(x)=的图象上任意两点，且，已知点M的横坐标为.（1） 求证：M点的纵坐标为定值； （2） 若Sn=f(N*，且n2,求Sn;（3） 已知an=，其中nN*. Tn为数列an的前n项和，若Tn(Sn+1+1)对一切nN*都成立，试求的取值范围.（1）证明： M是AB的中点.设M点的坐标为（x,y）, 由（x1+x2）
13、=x=,得x1+x2=1，则x1=1-x2或x2=1-x1. 而y=(y1+y2)= f(x1)+f(x2) =(+log2 =(1+log2 =(1+log2 =(1+log2 M点的纵坐标为定值. （2）由（1）知x1+x2=1,f(x1)+f(x2)=y1+y2=1, Sn=f( Sn=f(, 两式相加得：2Sn=f()+f()+f() = Sn=(n2,nN*).(2)当n2时,an= Tn=a1+a2+a3+an=() =( 由Tn(Sn+1+1)得 n+4,当且仅当n=2时等号成立,因此，即的取值范围是（+）21已知等差数列的首项为a，公差为b；等比数列的首项为b，公比为a，其中a
14、，且 （）求a的值；（）若对于任意N*，总存在N*，使，求b的值；（)甲说：一定存在使得对N*恒成立；乙说：一定存在使得对N*恒成立你认为他们的说法是否正确？为什么？解：（），a，N*， a2或a3当a3时，由得，即，与矛盾，故a3不合题意 a3舍去， a2（），由可得 是5的约数，又，b5 ()若甲正确，则存在（）使，即对N*恒成立，当时，无解，所以甲所说不正确若乙正确，则存在（）使，即对N*恒成立，当时，只有在时成立，而当时不成立，所以乙所说也不成立22.正项数列 （1）求； （2）试确定一个正整数N，使当nN时，不等式成立； （3）求证：解：（1）4分（2）由 （3）将展开， 14分23
15、.,是首项为1,公比为2的等比数列.对于满足0k20的整数k,数列,由=确定.记C=.求：k=1时,C的值(保留幂的形式)；C最小时,k的值.（注：=+）简解：可求得=(1n20),k=1时,= C=+-.C=+=+=,当且仅当时,即=,k=10时,C最小.24. 在数列中，（）试比较与的大小；（）证明：当时，.解：（）由题设知，对任意，都有 ， 6分（）证法1：由已知得，又.当时， 10分设 则 -，得14分证法2：由已知得，（1） 当时，由，知不等式成立。8分（2） 假设当不等式成立，即，那么 要证 ，只需证即证 ，则只需证10分因为成立，所以成立.这就是说，当时，不等式仍然成立.根据（1
16、）和（2），对任意，且，都有14分25设无穷数列an具有以下性质：a1=1；当 （）请给出一个具有这种性质的无穷数列，使得不等式 对于任意的都成立，并对你给出的结果进行验证（或证明）； （）若，其中，且记数列bn的前n项和Bn，证明：解：（）令， 则无穷数列an可由a1 = 1，给出. 显然，该数列满足，且 6分 （） 8分 又 26. 在个不同数的排列（即前面某数大于后面某数）则称构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数，例如排列（2，40，3，1）中有逆序“2与1”，“40与3”，“40与1”，“3与1”其逆序数等于4. 已知n+2个不同数的排列的逆序数是2. （1）求（1
17、，3，40，2）的逆序数； （2）写出的逆序数an （3）令.解：（1）4分 （2）n+2个数中任取两个数比较大小，共有个大小关系8分 （3）14分27已知数列的前项和为，且对于任意的，恒有，设（）求证：数列是等比数列；（）求数列的通项公式和；（）若，证明：解（1）（6分）当时，得，当时，两式相减得：，是以为首项，2为公比的等比数列（2）（4分）由（1）得，（3）（6分），由为正项数列，所以也为正项数列，从而，所以数列递减所以另证：由，所以 28已知数列an满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an1（n2，nN*），若数列是等比数列. （）求数列an的通项公式； （）求证：当k为奇数时，
18、； （）求证：解（）为等比数列，应为常数， 得=2或=3 2分当=2时，可得为首项是 ，公比为3的等比数列，则 当=3时，为首项是，公比为2的等比数列， 得， 4分（注：也可由利用待定系数或同除2n+1得通项公式）（）当k为奇数时， 8分（）由（）知k为奇数时， 10分当n为偶数时， 当n为奇数时，= 12分29.已知, 数列满足以下条件:(1) 求数列的通项公式; (2) 数列是有限数列时, 当时, 求点存在的范围;(3) 数列是无限数列时, 当时, 将点存在的范围用图形表示出来.解: (1) , , 则, . , , 则, . (2) 数列是有限数列时, 设项数为. 当时, , , . 点
19、在线段上. (3) 当时, , 即, 由 得点存在的范围在如图阴影部分内. 30.设f1(x)=，定义fn+1 (x)= f1fn(x)，an =（nN*）.(1) 求数列an的通项公式；(2) 若，Qn=（nN*），试比较9T2n与Qn的大小，并说明理由.解：（1）f1(0)=2，a1=，fn+1(0)= f1fn(0)=, an+1= -= -an. 数列an是首项为,公比为-的等比数列，an=()n-1. （2）T2 n = a1+2a 2+3a 3+(2n-1)a 2 n-1+2na 2 n，T2 n= (-a1)+(-)2a 2+(-)3a 3+(-)(2n-1)a2 n1+2na2 n= a 2+2a 3+(2n1)a2 nna2 n.两式相减，得T2 n= a1+a2+a 3+a2 n+na2 n. T2n =+n(-)2n-1=-(-)2n+(-)2n-1.T2n =-(-)2n+(-)2n-1=(1-). 9T2n=1-.又Qn=1-， 当n=1时，22 n= 4,(2n+1)2=9,9T2 nQ n；当n=2时，22 n=16,(2n+1)2=25,9T2 nQn； 当n3时，9T2 nQ n.
