1、必备知识 整合关键能力 突破第二节 函数的单调性与最值必备知识 整合关键能力 突破学习要求:1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.必备知识 整合关键能力 突破1.函数的单调性(1)单调函数的定义:必备知识 整合增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数必备知识 整合关键能力 突破图象描述自左向右看图象是 上升的自左向右看图象是 下
2、降的必备知识 整合关键能力 突破(2)单调区间的定义:若函数f(x)在区间D上是 单调增函数或单调减函数,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.提醒 (1)求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域.(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“”连接.(3)“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念,显然NM.必备知识 整合关键能力 突破2.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意的xI,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M(1)对于任意的xI
3、,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M结论M为函数y=f(x)的最大值M为函数y=f(x)的最小值必备知识 整合关键能力 突破1.单调性定义的等价形式设任意x1,x2a,b,x1x2.(1)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0或0,则f(x)在闭区间a,b上是增函数.(2)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0或0,则kf(x)与f(x)的单调性相同;若k0)与y=-f(x),y=在公共定义域内的单调性相反.(4)函数y=f(x)(f(x)0)与y=在公共定义域内的单调性相同.必备知识 整合关键能力 突破1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)函数y=的单调
4、递减区间是(-,0)(0,+).()(2)函数f(x)在区间a,b上单调递增,则函数f(x)的单调递增区间为a,b.()(3)若f(x)是增函数,g(x)是增函数,则f(x)g(x)也是增函数.()(4)所有的单调函数都有最值.()(5)已知函数y=f(x)在R上是增函数,则函数y=f(-x)在R上是减函数.()必备知识 整合关键能力 突破2.(新教材人教A版必修第一册P79例3改编)下列函数中,在区间(0,+)内单调递减的是()A.y=-x B.y=x2-x C.y=ln x-x D.y=ex-xA解析选项A,y1=在(0,+)内是减函数,y2=x在(0,+)内是增函数,则y=-x在(0,+
5、)内是减函数;选项B,C中的函数在(0,+)上均不单调;选项D,y=ex-1,当x(0,+)时,y0,所以函数y=ex-x在(0,+)上是增函数.必备知识 整合关键能力 突破3.(新教材人教A版必修第一册P86 T7改编)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是()A.(-,-2)B.(-,1)C.(1,+)D.(4,+)D解析由x2-2x-80得x4或x0)在(0,+)上的单调性.必备知识 整合关键能力 突破解析(1)x,函数f(x)的定义域关于原点对称,又f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x-1|-ln|2x+1|=-f(x),f(x)是奇函数,排除A
6、、C;当x时,f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),则f(x)=-=0,f(x)在上单调递增,排除B;当x时,f(x)=ln(-2x-1)-ln(1-2x),则f(x)=-=0,f(x)在上单调递减,D正确.必备知识 整合关键能力 突破(2)设x1,x2是任意两个正数,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=-=(x1x2-a).当0 x1x2时,0 x1x2a,x1-x20,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)在(0,上是减函数;当x1a,x1-x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0)在(0,上是减函数,在,+)上是增函数.必备知识 整合关键能力 突破名师点评1.求函
7、数单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性:转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间.(2)定义法:先求定义域,再利用单调性的定义求解.(3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或f(x)的图象易作出,那么可由图象的直观性写出函数的单调区间.(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.必备知识 整合关键能力 突破2.求复合函数y=f(g(x)单调区间的步骤(1)确定函数的定义域.(2)将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x).(3)分别确定这两个函数的单调区间.(4)根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调区间.必备知识 整合关键能力 突破1.函数f(x)=在
8、()A.(-,1)(1,+)上是增函数B.(-,1)(1,+)上是减函数C.(-,1)和(1,+)上是增函数D.(-,1)和(1,+)上是减函数C必备知识 整合关键能力 突破2.求函数f(x)=-x2+2|x|+1的单调区间.解析 易知f(x)=f(x)=画出函数f(x)的图象如图所示:由图可知f(x)的单调递增区间为(-,-1和0,1,单调递减区间为(-1,0)和(1,+).必备知识 整合关键能力 突破角度一 比较函数值的大小典例2 已知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,当x2x11时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)ab B.cbaC.acb D.bac考点二 函数单调性的应用D必
9、备知识 整合关键能力 突破解析 f(x)的图象关于直线x=1对称,f=f.由当x2x11时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)0恒成立,知f(x)在(1,+)上单调递减.12 ff(e),即f(2)ff(e),bac.必备知识 整合关键能力 突破角度二 解不等式典例3 已知函数f(x)为R上的增函数,若f(a2-a)f(a+3),则实数a的取值范围是.(-,-1)(3,+)解析 函数f(x)为R上的增函数,且f(a2-a)f(a+3),a2-aa+3,即a2-2a-30,解得a3或a-1,即a的取值范围是(-,-1)(3,+).必备知识 整合关键能力 突破角度三 求参数的值或取值范围典例4(
10、1)已知函数f(x)=满足对任意的实数x1x2都有0恒成立,则实数a的取值范围是()A.(0,1)B.C.D.(2)已知函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-,6)上单调递减,则a的取值范围是()A.3,+)B.(-,3C.(-,-3)D.(-,-3CD必备知识 整合关键能力 突破解析(1)由题意知函数f(x)在定义域R上为减函数,则解得 a0,即a1时,由题意知1a3;当a-10,即a0,即a0)在区间2,4上单调递减,则实数a的值是.8解析f(x)=x|2x-a|=|2x2-ax|(a0),由f(x)的图象(图略)得该函数的单调减区间是(-,0),所以解得a=8.必备知识 整合关键能力
11、突破4.若定义在-2,2上的函数f(x)满足(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,x1x2,且f(a2-a)f(2a-2),则实数a的取值范围为.0,1)解析 因为函数f(x)满足(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,x1x2,所以函数f(x)在-2,2上单调递增,所以解得所以0a1.必备知识 整合关键能力 突破典例5(1)函数f(x)=的最大值为2.(2)函数y=2x-1-的值域为.(3)当-3x-1时,函数y=的最小值为.(4)函数y=2x+的值域为.考点三 求函数的最值(值域)必备知识 整合关键能力 突破解析(1)当x1时,函数f(x)=为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为
12、f(1)=1;当x1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.(2)易知函数的定义域是,易证得函数y=2x-1-在其定义域上是一个单调增函数,所以当x=时,函数取得最大值,故原函数的值域是.(3)由y=,可得y=-.必备知识 整合关键能力 突破-3x-1,-,y3,所求函数的最小值为.(4)令t=(t0),则x=,y=-t2+t+1=-+.当t=,即x=时,y取得最大值,ymax=,且y无最小值,函数的值域为.必备知识 整合关键能力 突破方法技巧求函数最值的五种常用方法(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)图象法:先
13、作出函数的图象,再观察其最高点、最低点求最值.(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求最值.(4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值求最值.(5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.必备知识 整合关键能力 突破1.函数y=的值域为.y|yR且y3解析y=3+,因为0,所以3+3,所以函数y=的值域为y|yR且y3.必备知识 整合关键能力 突破2.已知函数f(x)的值域为,则函数g(x)=f(x)+的值域为.必备知识 整合关键能力 突破解析 f(x),.令t=,t,则f(x)=(1-t2),令y=g(x),则y=(1-t2)+t,即y=-(t-1)2+1.当t=时,y有最小值;必备知识 整合关键能力 突破当t=时,y有最大值.g(x)的值域为.必备知识 整合关键能力 突破3.函数y=|x+1|+|x-2|的值域为.3,+)解析 易知函数y=作出函数的图象如图所示.根据图象可知,函数y=|x+1|+|x-2|的值域为3,+).
