1、2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）二调数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设全集U=1，3，5，6，8，A=1，6，B=5，6，8，则（UA）B=（）A6B5，8C6，8D3，5，6，82已知数列an中，a1=a2=1，且an+2an=1，则数列an的前100项和为（）A2550B2600C2651D26523设0x2，且=sinxcosx，则（）A0xBxCxDx4已知A，B是非空集合，命题甲：AB=B，命题乙：AB，那么（）A甲是乙的充分不必要条件B甲是乙的必要不充分条件C甲是乙的充要条件D甲
2、是乙的既不充分也不必要条件5下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（）Ay=lgxBy=cosxCy=|x|Dy=sinx6，是两个向量，|=1，|=2，且（+），则与的夹角为（）A30B60C120D1507已知tan=2，则sin2+sincos2cos2=（）ABCD8在等差数列an中，若a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则a3+a6+a9的值为（）A30B27C24D219已知M是ABC内的一点，且=2，BAC=30，若MBC，MCA和MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）A20B18C16D910若点P是曲线y=x2lnx上任意一点，则点P到直线y=x2的最小距离
3、为（）A1BCD11f（x）=x22x，g（x）=ax+2（a0），若对任意的x11，2，存在x01，2，使g（x1）=f（x0），则a的取值范围是（）ABC3，+）D（0，312已知点P为ABC所在平面内一点，且满足=（+）（R），则直线AP必经过ABC的（）A重心B内心C垂心D外心二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知函数f（x）=2015sinx+x2015+2015tanx+2015，且f（2015）=2016，则f（2015）的值为14不等式exkx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为15函数y=sinxcosxsinxcosx的最大值为16已知ABC的三边a，
4、b，c满足+=，则角B=三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）（2014河北区一模）已知A，B，C分别为ABC的三边a，b，c所对的角，向量，且（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求边c的长18（12分）（2011广东三模）已知向量=（cos，sin），=（cos，sin），|=（1）求cos（）的值；（2）若0，0，且sin=，求sin的值19（12分）（2015秋衡水校级月考）已知函数f（x）=ax2+bx（a0）的导函数f（x）=2x+7，数列an的前n项和为Sn，点Pn（n，Sn）（nN*）均在函数
5、y=f（x）的图象上（1）求数列an的通项公式；（2）求Sn的最大值20（12分）（2014泉州模拟）数列an的前n项和为Sn=2n+12，数列bn是首项为a1，公差为d（d0）的等差数列，且b1，b3，b9成等比数列（）求数列an与bn的通项公式；（）若cn=（nN*），求数列cn的前n项和Tn21（12分）（2013泗县模拟）已知在x=1与处都取得极值（） 求a，b的值；（）设函数g（x）=x22mx+m，若对任意的，总存在，使得g（x1）f（x2）lnx2，求实数m的取值范围22（12分）（2012宜春模拟）已知函数（）当0a1时，求函数f（x）的单调区间；（）是否存在实数a，使f（x）
6、x恒成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）二调数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设全集U=1，3，5，6，8，A=1，6，B=5，6，8，则（UA）B=（）A6B5，8C6，8D3，5，6，8【考点】交、并、补集的混合运算 【分析】根据补集和交集的意义直接求解即可【解答】解：由于U=1，3，5，6，8，A=1，6，CUA=3，5，8，B=5，6，8，（CUA）B=5，8，故选B【点评】本题考查集合的交集及补集运算，较简单2已知数
7、列an中，a1=a2=1，且an+2an=1，则数列an的前100项和为（）A2550B2600C2651D2652【考点】等差数列的前n项和 【专题】等差数列与等比数列【分析】a1=a2=1，且an+2an=1，可得数列an奇数项与偶数项分别成等差数列，公差与首项都为1利用等差数列的前n项和公式即可得出【解答】解：a1=a2=1，且an+2an=1，数列an奇数项与偶数项分别成等差数列，公差与首项都为1数列an的前100项和=（a1+a3+a99）+（a2+a4+a100）=2550故选：A【点评】本题考查了等差数列的定义通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3设0x
8、2，且=sinxcosx，则（）A0xBxCxDx【考点】二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用 【分析】先对进行化简，即=|sinxcosx|，再由=sinxcosx确定sinxcosx，从而确定x的范围，得到答案【解答】解：，sinxcosxx0，2），故选B【点评】本题主要考查三角函数的二倍角公式和同角三角函数的基本关系属基础题三角函数这一部分的公式比较多，一定要强化公式的记忆4已知A，B是非空集合，命题甲：AB=B，命题乙：AB，那么（）A甲是乙的充分不必要条件B甲是乙的必要不充分条件C甲是乙的充要条件D甲是乙的既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】
9、常规题型【分析】已知A，B是非空集合，命题甲：AB=B，可以推出AB，从而进行判断；【解答】解：已知A，B是非空集合，AB=B，AB或A=B，命题乙：AB，甲是乙既不充分也不必要条件故选D【点评】此题以集合为载体，考查了必要条件和充分条件的定义及其判断，是一道基础题5下列函数中，图象关于坐标原点对称的是（）Ay=lgxBy=cosxCy=|x|Dy=sinx【考点】奇偶函数图象的对称性 【专题】计算题【分析】根据函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，要找图象关于原点对称，即在4个选项中找出奇函数即可，结合选项利用排除法【解答】解：根据函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函
10、数的图象关于y轴对称，A：y=lgx是非奇非偶函数，错误B：y=cosx为偶函数，图象关于y轴对称，错误C：y=|x|为偶函数，图象关于y轴对称，错误D：y=sinx为奇函数，图象关于原点对称，正确故选D【点评】本题主要考查了函数奇、偶函数的性质可得奇函数关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，奇偶函数的判断，注意：再判断函数的奇偶性时，不但要检验f（x）与f（x）的关系，更不能漏掉对函数的定义域要求对称的检验6，是两个向量，|=1，|=2，且（+），则与的夹角为（）A30B60C120D150【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算 【专题】平面向量及应用【分析】设，的夹角为，
11、0180，则由题意可得（）=0，解得cos=，可得 的值【解答】解：设，的夹角为，0180，则由题意可得（）=0，即 +=1+12cos=0，解得cos=，=120，故选C【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，根据三角函数的值求角，属于中档题7已知tan=2，则sin2+sincos2cos2=（）ABCD【考点】三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用 【专题】计算题【分析】利用sin2+cos2=1，令原式除以sin2+cos2，从而把原式转化成关于tan的式子，把tan=2代入即可【解答】解：sin2+sincos2cos2=故选D【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换应
12、用本题利用了sin2+cos2=1巧妙的完成弦切互化8在等差数列an中，若a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则a3+a6+a9的值为（）A30B27C24D21【考点】等差数列的性质 【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的定义，求出数列的公差，从而可求a3+a6+a9的值【解答】解：设等差数列的公差为d，则等差数列an中，a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，两式相减可得3d=6d=2a3+a6+a9=a2+a5+a8+3d=a2+a5+a86=336=27故选B【点评】本题考查等差数列的定义，考查学生的计算能力，属于基础题9已知M是ABC内的一点，且
13、=2，BAC=30，若MBC，MCA和MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（）A20B18C16D9【考点】基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用 【专题】计算题【分析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把+转化成2（+）（x+y），利用基本不等式求得+的最小值【解答】解：由已知得=bccosBAC=2bc=4，故SABC=x+y+=bcsinA=1x+y=，而+=2（+）（x+y）=2（5+）2（5+2）=18，故选B【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，向量的数量积的运算要注意灵活利用y=ax+的形式10若点P是曲线y
14、=x2lnx上任意一点，则点P到直线y=x2的最小距离为（）A1BCD【考点】点到直线的距离公式 【专题】计算题【分析】设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P到直线y=x2的最小距离【解答】解：过点P作y=x2的平行直线，且与曲线y=x2lnx相切，设P（x0，x02lnx0）则有k=y|x=x0=2x02x0=1，x0=1或x0=（舍去）P（1，1），d=故选B【点评】本题考查点到直线的距离，导数的应用，考查计算能力，是基础题11f（x）=x22x，g（x）=ax+2（a0），若对任意的x11，2，存在x01，2，使g（x1）=f（x0），则a的取值范
15、围是（）ABC3，+）D（0，3【考点】函数的值域；集合的包含关系判断及应用 【专题】计算题；压轴题【分析】先求出两个函数在1，2上的值域分别为A、B，再根据对任意的x11，2，存在x01，2，使g（x1）=f（x0），集合B是集合A的子集，并列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围，注意条件a0【解答】解：设f（x）=x22x，g（x）=ax+2（a0），在1，2上的值域分别为A、B，由题意可知：A=1，3，B=a+2，2a+2a又a0，0a故选：A【点评】此题是个中档题考查函数的值域，难点是题意的理解与转化，体现了转化的思想同时也考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题
16、的能力，12已知点P为ABC所在平面内一点，且满足=（+）（R），则直线AP必经过ABC的（）A重心B内心C垂心D外心【考点】向量的线性运算性质及几何意义 【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】两边同乘以向量，利用向量的数量积运算可求得=0，从而得到结论【解答】解：=（+），两边同乘以向量，得=（+）=（+）=（+）=（|+|）=0，即点P在在BC边的高线上，P的轨迹过ABC的垂心故选：C【点评】本题考查平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及其几何意义，属中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知函数f（x）=2015sinx+x2015+2015tanx+
17、2015，且f（2015）=2016，则f（2015）的值为2014【考点】函数奇偶性的性质 【专题】函数的性质及应用【分析】根据f（x）解析式可以看出函数f（x）2015为奇函数，从而便有f（2015）2015=f（2015）2015，这样即可根据f（2015）的值解出f（2015）【解答】解：f（x）2015=2015sinx+x2015+2015tanx，f（x）2015为奇函数；f（2015）2015=f（2015）2015，f（2015）=2016；f（2015）=2014故答案为：2014【点评】考查奇函数的概念，将函数变成奇函数解决问题的方法，不要直接按f（x）为奇函数求14不等
18、式exkx对任意实数x恒成立，则实数k的最大值为e【考点】函数恒成立问题 【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】由题意可得f（x）=exkx0恒成立，即有f（x）min0，求出f（x）的导数，求得单调区间，讨论k，可得最小值，解不等式可得k的最大值【解答】解：不等式exkx对任意实数x恒成立，即为f（x）=exkx0恒成立，即有f（x）min0，由f（x）的导数为f（x）=exk，当k0，ex0，可得f（x）0恒成立，f（x）递增，无最大值；当k0时，xlnk时f（x）0，f（x）递增；xlnk时f（x）0，f（x）递减即有x=lnk处取得最小值，且为kklnk，由kklnk0，
19、解得ke，即k的最大值为e，故答案为：e【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用构造函数求最值，考查运算能力，属于中档题15函数y=sinxcosxsinxcosx的最大值为+【考点】三角函数的最值 【专题】三角函数的求值【分析】令sinxcosx=t，可得y=（t+1）21，再利用二次函数的性质求得它的最大值【解答】解：令sinxcosx=t，则t2=12sinxcosx，函数y=sinxcosxsinxcosx=t=t2+t=（t+1）21，故当t=时，函数y取得最大值为 t=+，故答案为：+【点评】本题主要考查二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题16已知ABC的三边a
20、，b，c满足+=，则角B=【考点】余弦定理 【专题】解三角形【分析】化简所给的条件求得b2=a2+c2ac，利用余弦定理求得cosB= 的值，可得B的值【解答】解：ABC的三边a，b，c满足+=，+=3，+=1，c（b+c）+a（a+b）=（a+b）（b+c），即 b2=a2+c2ac，cosB=，B=，故答案为：【点评】本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，式子的变形是解题的难点，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）（2014河北区一模）已知A，B，C分别为ABC的三边a，b，c所对的角，向量，且（1）求角C的大小；
21、（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求边c的长【考点】余弦定理；正弦定理 【专题】解三角形【分析】（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）由sinA，sinC，sinB成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式2sinC=sinA+sinB，利用正弦定理化简得到2c=a+b，已知等式利用平面向量的数量积运算化简，将cosC的值代入求出ab的值，利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b与ab的值代入即可求出c的值【解答】解：（1）=（sinA，sinB），=（cosB，cosA），=sin2C，即si
22、nAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC=sin2C=2sinCcosC，sinC0，cosC=，C为三角形内角，C=；（2）sinA，sinC，sinB成等差数列，2sinC=sinA+sinB，利用正弦定理化简得：2c=a+b，=18，abcosC=ab=18，即ab=36，由余弦定理得c2=a2+b22abcosC=a2+b2ab=（a+b）23ab，将a+b=2c，ab=36代入得：c2=4c2108，即c2=36，解得：c=6【点评】此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及等差数列的性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键18（12分）（2011广东三模）
23、已知向量=（cos，sin），=（cos，sin），|=（1）求cos（）的值；（2）若0，0，且sin=，求sin的值【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；平面向量数量积的运算 【专题】计算题【分析】（1）通过|=求出向量的模，化简即可求出cos（）的值；（2）通过0，0，且sin=，求出cos的值，sin（）的值，利用sin=sin（+），然后求sin的值【解答】解：（1）因为向量=（cos，sin），=（cos，sin），|=，所以22cos（）=，所以cos（）=；（2）若0，0，所以0，因为cos（）=，所以sin（）=且sin=，cos=，所以，sin=sin（+）=sin（）co
24、s+cos（）sin=【点评】本题是中档题，考查三角函数的恒等变换以及化简求值，平面向量的数量积的应用，注意角的变换的技巧=+，是简化解题过程的依据，注意角的范围的确定，是解题的关键，同时注意：3，4，5；5，12，13这些特殊数字组成的直角三角形的三角函数值的应用19（12分）（2015秋衡水校级月考）已知函数f（x）=ax2+bx（a0）的导函数f（x）=2x+7，数列an的前n项和为Sn，点Pn（n，Sn）（nN*）均在函数y=f（x）的图象上（1）求数列an的通项公式；（2）求Sn的最大值【考点】数列的求和；利用导数研究函数的单调性 【专题】计算题；函数思想；综合法；等差数列与等比数列
25、【分析】（1）由导数性质求出f（x）=x2+7x，由点Pn（n，Sn）（nN*）均在函数y=f（x）的图象上，求出，由此能求出数列an的通项公式（2）令an=2n+80，得n4，由此能求出Sn的最大值【解答】解：（1）f（x）=ax2+bx（a0），f（x）=2ax+b，函数f（x）=ax2+bx（a0）的导函数f（x）=2x+7，a=1，b=7，f（x）=x2+7x，又点Pn（n，Sn）（nN*）均在函数y=f（x）的图象上，当n=1时，a1=S1=6，当n2时，an=SnSn1=2n+8，an=2n+8，nN*（2）令an=2n+80，得n4，当n=3或n=4时，Sn取得最大值=12【点评
26、】本题考查数列的通项公式和数列前n项和的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用20（12分）（2014泉州模拟）数列an的前n项和为Sn=2n+12，数列bn是首项为a1，公差为d（d0）的等差数列，且b1，b3，b9成等比数列（）求数列an与bn的通项公式；（）若cn=（nN*），求数列cn的前n项和Tn【考点】数列的求和 【专题】等差数列与等比数列【分析】（）利用公式，能求出数列an的通项公式；利用等差数列的通项公式和等比数列的性质能求出数列bn的通项公式（）由cn=，利用裂项求和法能求出数列cn的前n项和【解答】解：（）因为Sn=2n+12，所以，当n=1时，a
27、1=S1=21+12=2=21，当n2时，an=SnSn1=2n+12n=2n，（2分）又a1=S1=21+12=2=21，也满足上式，所以数列an的通项公式为（3分）b1=a1=2，设公差为d，则由b1，b3，b9成等比数列，得（2+2d）2=2（2+8d），（4分）解得d=0（舍去）或d=2，（5分）所以数列bn的通项公式为bn=2n（6分）（）cn=（8分）数列cn的前n项和：Tn=（10分）=1=1=（12分）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列前n项和的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用21（12分）（2013泗县模拟）已知在x=1与处都取得极值（） 求a，b
28、的值；（）设函数g（x）=x22mx+m，若对任意的，总存在，使得g（x1）f（x2）lnx2，求实数m的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件 【专题】综合题；导数的综合应用【分析】（）求导数f（x），由f（x）在x=1与处都取得极值，得f（1）=0，得关于a，b的方程组，解出a，b，然后检验；（）对任意的，总存在，使得g（x1）f（x2）lnx2，等价于g（x）minf（x）lnxmin，利用函数单调性易求f（x）lnxmin，按照对称轴在区间，2的左侧、内部、右侧三种情况进行讨论可求得g（x）min，然后解不等式g（x）minf（x）lnxmin可得答案；
29、【解答】解：（），在x=1与处都取得极值，f（1）=0，解得，当时，所以函数f（x）在x=1与处都取得极值；（）由（）知：函数在上递减，f（x）g（x）min=+=，又函数g（x）=x22mx+m图象的对称轴是x=m，（1）当时：，依题意有 成立，；（2）当时：，即6m26m70，解得：，又，；（3）当m2时，g（x）min=g（2）=43m，解得，又 m2，m；综上：，所以，实数m的取值范围为【点评】本题考查利用导数研究函数的极值、闭区间上函数的最值，考查恒成立问题的解决，考查分类讨论思想、转化思想22（12分）（2012宜春模拟）已知函数（）当0a1时，求函数f（x）的单调区间；（）是否存
30、在实数a，使f（x）x恒成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【专题】综合题；压轴题【分析】（）确定函数f（x）的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数的正负确定取得函数的单调区间；（）f（x）x恒成立可转化为a+（a+1）xlnx0恒成立，构造函数（x）=a+（a+1）xlnx，则只需（x）0在x（0，+）恒成立即可，求导函数，分类讨论，即可求出实数a的取值范围【解答】解：（）函数f（x）的定义域为（0，+），（2分）（1）当0a1时，由f（x）0得，0xa或1x+，由f（x）0得，ax1故函数f（x）的单调增区间
31、为（0，a）和（1，+），单调减区间为（a，1）（4分）（2）当a=1时，f（x）0，f（x）的单调增区间为（0，+）（5分）（）f（x）x恒成立可转化为a+（a+1）xlnx0恒成立，令（x）=a+（a+1）xlnx，则只需（x）0在x（0，+）恒成立即可，（6分）求导函数可得：（x）=（a+1）（1+lnx）当a+10时，在时，（x）0，在时，（x）0（x）的最小值为，由得，故当时f（x）x恒成立，（9分）当a+1=0时，（x）=1，（x）0在x（0，+）不能恒成立，（11分）当a+10时，取x=1，有（1）=a1，（x）0在x（0，+）不能恒成立，（13分）综上所述当时，使f（x）x恒成立（14分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，同时考查学生分析解决问题的能力，属于中档题
