1、第二节充分条件与必要条件,全称量词与存在量词学习要求:1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系;理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系;理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定;能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.1.充分条件、必要条件与充要条件(1)若pq,则p是q的 充分条件 ;(2)若qp,则p是q的必要条件;(3)若既有pq,又有qp,则p是q的 充要条件 ,记作pq.提醒(1)A是B的充分不必要条件是指AB且B/A;(2)A
2、的充分不必要条件是B是指BA且A/B,在解题中要弄清它们的区别,以免出现错误.知识拓展充要条件与集合之间的关系设A=x|p(x),B=x|q(x).(1)若AB,则p是q的充分条件,q是p的必要条件.(2)若AB,则p是q的充分不必要条件,q是p的必要不充分条件.(3)若A=B,则p是q的充要条件.2.全称量词与全称量词命题(1)全称量词:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词.(2)全称量词命题:含有 全称量词 的命题.(3)全称量词命题的符号表示:形如“对M中的任意一个x,有p(x)成立”的命题,用符号简记为 xM,p(x) .3.存在量词与存在量词命题(1)存在量词:短语“存
3、在一个 ”“至少有一个 ”在逻辑中通常叫做存在量词.提醒常见的全称量词有“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任何”等;常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某一个”“有的”等.(2)存在量词命题:含有 存在量词 的命题.(3)存在量词命题的符号表示:形如“存在M中的元素x,使p(x)成立”的命题,用符号简记为 xM,p(x) .知识拓展全称量词命题与存在量词命题的否定1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)若p:x1,q:x1,则p是q的充分不必要条件.()(2)“长方形的对角线相等”是存在量词命题.()(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.()
4、(4)若a,bR,则“a2+b20”是“a,b不全为0”的充要条件.()答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材人教B版必修第一册P40T9改编)设a,bR且ab0,则“ab1”是“a1b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案D3.(易错题)命题“xR,nN*,使得nx2”的否定是()A.xR,nN*,使得nx2B.xR,nN*,使得nx2C.xR,nN*,使得nx2D.xR,nN*,使得nx2答案D【易错点分析】因不清楚全称量词命题或存在量词命题的否定致误.4.(2020天津,2,5分)设aR,则“a1”是“a2a”的()A.充分不必要条件B.
5、必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A5.(新教材人教B版必修第一册P28例1改编)命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是.答案有些表面积相等的三棱锥体积不相等全称量词命题与存在量词命题1.(2020广东广州模拟)命题“x0,+),x3+x0”的否定是() A.x(-,0),x3+x0B.x(-,0),x3+x0C.x0,+),x3+x0D.x0,+),x3+x0答案C全称量词命题的否定是存在量词命题,所以,命题“x0,+),x3+x0”的否定是“x0,+),x3+x0”,故选C.2.(2020湖南长沙长郡中学模拟)已知命题p:xR,x2+2x+30B.xR,x2+2x
6、+30C.xR,x2+2x+30D.xR,x2+2x+30答案C命题p为存在量词命题,其否定为xR,x2+2x+30.3.2021年1月“八省(市)联考”关于x的方程x2+ax+b=0,有下列四个命题:甲:x=1是该方程的根;乙:x=3是该方程的根;丙:该方程两根之和为2;丁:该方程两根异号.如果只有一个假命题,则该命题是()A.甲B.乙C.丙D.丁答案A若甲是假命题,则乙、丙、丁是真命题,则x1=3,x2=-1,符合.若乙是假命题,则甲、丙、丁是真命题,则x1=1,x2=1,两根不异号,不符合.若丙是假命题,则甲、乙、丁是真命题,则x1=1,x2=3,两根不异号,不符合.若丁是假命题,则甲、
7、乙、丙是真命题,则x1=1,x2=3,两根和不为2,不符合.综上可知,选A.4.已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=12x-m,若x10,3,x21,2,使得f(x1)g(x2),则实数m的取值范围是.答案14,+解析当x0,3时,f(x)min=f(0)=0,当x1,2时,g(x)min=g(2)=14-m,由f(x)ming(x)min,得014-m,所以m14.名师点评1.判定全称量词命题“xM,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;判定存在量词命题是真命题,只要在限定集合内找到一个x=x0,使p(x0)成立即可.2.含量词的命题中参数的取值范围问题,
8、可根据命题的含义,利用函数的最值求解.充分条件与必要条件的判断典例1(1)(2020浙江金华兰溪第三中学模拟)若a0,b0,则“lg(ab)0”是“lg(a+b)0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2020河南开封二模)“a2=1”是“函数f(x)=lg21-x+a为奇函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案(1)A(2)B解析(1)因为lg(ab)0,所以ab1,又a0,b0,所以a,b中至少有一个大于1,则a+b1,所以lg(a+b)0.当a=b=23时,符合a+b1,即lg(a+b)
9、0,但是不符合ab1,即lg(ab)0,因此“lg(ab)0”是“lg(a+b)0”的充分不必要条件,故选A.(2)a2=1时,a=1,当a=-1时,f(x)=lg1+x1-x,定义域为(-1,1),关于原点对称,且f(x)=-f(-x),所以函数f(x)=lg21-x+a为奇函数;当a=1时,f(x)=lg3-x1-x,f(x)-f(-x),所以函数f(x)=lg21-x+a不是奇函数.所以a2=1时,f(x)不一定为奇函数.当f(x)是奇函数时,由f(0)=0可得a=-1,则a2=1,所以“a2=1”是“函数f(x)=lg21-x+a为奇函数”的必要不充分条件,故选B.名师点评判断充分、必
10、要条件的两种方法(1)定义法:根据pq,qp进行判断,适用于定义、定理的判断性问题.(2)集合法:根据p,q成立时,对应的集合之间的包含关系进行判断,多适用于命题中涉及字母范围的推断问题.提醒判断条件之间的关系要注意条件之间关系的语句描述,要注意“A是B的充分不必要条件”与“A的充分不必要条件是B”的区别,要正确理解“A的一个充分不必要条件是B”的含义.1.(2019浙江,5,4分)设a0,b0,则“a+b4”是“ab4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案A由a0,b0,得4a+b2ab,即ab4,充分性成立;当a=4,b=1时,满足ab4
11、,但a+b=54,不满足a+b4,必要性不成立,故“a+b4”是“ab4”的充分不必要条件,故选A.2.(2020海南质检)设函数f(x)=2mx+1,x0,-x-1x,x1”是“f f(-1)4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案A当m1时,ff(-1)=f -(-1)-1-1=f(2)=22m+14,当f f(-1)4时,f f(-1)=f-(-1)-1-1=f(2)=22m+14=22,2m+12,解得m12.故“m1”是“ff(-1)4”的充分不必要条件.充分、必要条件的应用典例2(1)命题“x1,3,x2-a0”为真命题的一个充分不必要
12、条件是()A.a9B.a9C.a10D.a10(2)已知P=x|x2-8x-200,非空集合S=x|1-mx1+m.若xP是xS的必要条件,则m的取值范围为.答案(1)C(2)0,3解析(1)命题“x1,3,x2-a0”“x1,3,x2a”a9.则a10是命题“x1,3,x2-a0”为真命题的一个充分不必要条件.故选C.(2)由x2-8x-200,得-2x10,P=x|-2x10.xP是xS的必要条件,则SP,1-m-2,1+m10,1-m1+m,解得0m3,故0m3时,xP是xS的必要条件.变式1若将本例(2)中的条件“xP是xS的必要条件”变为“xP是xS的充分不必要条件”,其他条件不变,
13、求实数m的取值范围.解析由典例2(2)知P=x|-2x10.xP是xS的充分不必要条件,xPxS且xS/xP.-2,101-m,1+m.1-m-2,1+m10或1-m-2,1+m10,m9,则m的取值范围是9,+).变式2本例(2)条件不变,问:是否存在实数m,使xP是xS的充要条件?并说明理由.解析不存在.理由:由典例2(2)知P=x|-2x10.若xP是xS的充要条件,则P=S,1-m=-2,1+m=10,无解,不存在实数m,使xP是xS的充要条件.名师点评充分条件、必要条件的应用一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意:(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集
14、合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解;(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.逻辑推理与数学抽象突破双变量“存在性或任意性”问题已知函数f(x)=3x2+2x-a2-2a,g(x)=196x-13,若对任意x1-1,1,存在x20,2,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数a的取值范围.解析f(x)=3x2+2x-a(a+2),则f(x)=6x+2,由f(x)=0得x=-13.当x-1,-13时,f(x)0,f(x)单调递增,所以f(x)min=f-13=-a2-2a-
15、13.又由题意可知,f(x)的值域是-13,6的子集,所以f(-1)6,-a2-2a-13-13,f(1)6,解得-2a0,所以实数a的取值范围是-2,0.理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键,此类问题求解的策略是“等价转化”,找到函数f(x)的值域和g(x)的值域的关系,从而构建关于参数的不等式组,求得参数的取值范围.已知函数f(x)=2x,x0,12,函数g(x)=kx-2k+2(k0),x0,12,若存在x10,12及x20,12,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数k的取值范围.解析由题意得函数f(x)的值域为0,1,g(x)的值域为2-2k,2-32k,并且两个值域有公共部
16、分.先求没有公共部分的情况,即2-2k1或2-32k0,解得k43,所以,要使两个值域有公共部分,k的取值范围是12,43.A组基础达标1.(2020浙江杭州第二中学模拟)在ABC中,“cos Atan B”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件答案C2.(2020安徽淮北二模)已知f(x)是R上的偶函数,则“x1+x2=0”是“f(x1)-f(x2)=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A3.(2020天津北辰二模)“sin x=0”是“cos x=-1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C
17、.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B4.(2020山东青岛检测)若直线l1:a2x-3y+2=0,l2:2ax+5y-a=0.p:a=0,q:l1与l2平行,则下列结论中正确的是()A.p是q的必要不充分条件B.q是p的充分不必要条件C.p是q的充分不必要条件D.q是p的既不充分也不必要条件答案C5.(多选题)下列命题中是真命题的是()A.xR,2x-10B.xN+,(x-1)20C.xR,lg xb2”是“ab”的充分条件B.“a2b2”是“ab”的必要条件C.“ac2bc2”是“ab”的充分条件D.“|a|b|”是“ab”的既不充分也不必要条件答案CD对于A,当a=-5,b=1时,满足
18、a2b2,但是ab,但是a2bc2得c0,则有ab成立,即充分性成立,故正确;对于D,当a=-5,b=1时,|a|b|成立,但是ab,但是|a|b|”是“ab”的既不充分也不必要条件.故选CD.8.(多选题)下列命题错误的是()A.xR,ex0B.xR,2xx2C.a+b=0的充要条件是ab=-1D.若x,yR,且x+y2,则x,y中至少有一个大于1答案ABC根据指数函数的性质可得ex0,故A错误;当x=2时,2xx2不成立,故B错误;当a=b=0时,ab没有意义,故C错误;因为“若x,yR,且x+y2,则x,y中至少有一个大于1”的逆否命题为“若x,yR,且x,y都小于等于1,则x+y2”,
19、是真命题,所以原命题为真命题,故选ABC.9.(2020湖南永州联考)命题“x(1,+),x2+x2”的否定为.答案x(1,+),x2+x210.(2020西南名校联盟诊断性联考)若a,b为实数,则“ab0”是“ab”的条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).答案充分不必要解析因为函数f(x)=x为单调递增函数,所以当ab0时,f(a)f(b),即ab成立;当ab,即f(a)f(b)时,可得ab,但是ab0不一定成立,所以“ab0”是“ab”的充分不必要条件.B组能力拔高11.(2020北京,9,4分)已知,R,则“存在kZ使得=k+(-1)k”是“sin =si
20、n ”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案C(1)充分性:已知存在kZ使得=k+(-1)k,(i)若k为奇数,则k=2n+1,nZ,此时=(2n+1)-,nZ,sin =sin(2n+-)=sin(-)=sin ;(ii)若k为偶数,则k=2n,nZ,此时=2n+,nZ,sin =sin(2n+)=sin .由(i)(ii)知,充分性成立.(2)必要性:若sin =sin 成立,则角与的终边重合或角与的终边关于y轴对称,即=+2m或+=2m+,mZ,即存在kZ使得=k+(-1)k,必要性也成立,故选C.12.(2020浙江杭州学军中学6月模
21、拟)已知数列an的前n项和为Sn,则“anan+1(nN*)”是“SnnSn+1n+1(nN*)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案A充分性:若anan+1,则有a1+a2+annan+1,即Snn(Sn+1-Sn),得(n+1)SnnSn+1,于是有SnnSn+1n+1(nN*),故充分性成立.必要性:取数列an为0,1,1,1,此时SnnSn+1n+1(nN*)成立,但anan+1(nN*)不成立,故必要性不成立.13.(2020宁夏固原一中模拟)已知命题“xR,mx2-x+10”是假命题,则实数m的取值范围是.答案14,+解析若命题“x
22、R,mx2-x+10,=1-4m0,解得m14.14.已知p:|x|m(m0),q:-1x4,若p是q的充分条件,则m的最大值为;若p是q的必要条件,则m的最小值为.答案1;4解析由|x|m(m0),得-mxm.p是q的充分条件-m-1,m400),若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.答案(0,2解析|x-1|2,-1x3,即p:-1x3.x2-2x+1-a20(a0),x1-a或x1+a,q:1-ax0,1-a-1,1+a3,解得01,x2).(1)若x2,+),使f(x)=m成立,则实数m的取值范围为;(2)若x12,+),x22,+),使得f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围为.答案(1)3,+)(2)(1,3解析(1)f(x)=x2-x+1x-1=x+1x-1=x-1+1x-1+12+1=3,当且仅当x=2时等号成立.若x2,+),使f(x)=m成立,则实数m的取值范围为3,+).(2)当x2时,f(x)3,g(x)a2,若x12,+),x22,+),使得f(x1)=g(x2),则a23,a1,解得1a3.
