1、河北省秦皇岛市卢龙县中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一.选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1. 直线的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由直线方程求出直线的斜率，再利用倾斜角的正切值等于斜率即可求得【详解】设直线的倾斜角是，直线化为，故选C【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题2. 命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用全称命题的否定是特称命题，即可直接得解.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定为“，”.故选：D.【点睛】本题考查了全称命题的否定，
2、属于基础题.3. 已知的顶点坐标为，则边上的中线的长为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用中点坐标公式求得，再利用两点间距离公式求得结果.【详解】由，可得中点又 本题正确选项：【点睛】本题考查两点间距离公式的应用，关键是能够利用中点坐标公式求得中点坐标.4. 已知直线与圆相交于A，B两点(O为坐标原点)，则“”是“”的A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】设，联立，化为，由，可得，根据韦达定理解出，进而可得结果.【详解】设，联立，化为，直线与圆相交于两点，为坐标原点），解得，解得，则“”是“”的充分不必要
3、条件，故选A.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的定义、直线与圆的位置关系，以及平面向量数量积公式的应用，属于中档题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.5. 若直线和直线平行，则的值为（ ）A. B. C. 或D. 【答案】A【解析】【分析】由题知两直线平行，直接列出()即可求得【详解】直线和直线平行，可得，得.故选：A.【点睛】本题考查了已知两直线平行求参的问题，注意要排除两直线重合的情况，属于基础题.6. Q是椭圆上一点，为左、右焦点，过F1作外角平分线的垂线交的延长线于点，当点在椭圆上运动时，点的轨迹是
4、（ ）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 双曲线【答案】B【解析】设从引的外角平分线的垂线，垂足为，中，是的平分线，可得，根据椭圆的定义，可得，即动点到点的距离为定值，因此,点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，故选B.7. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，且其渐近线方程为，则该双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出抛物线的焦点，即可得双曲线的焦点，可得到的值，结合双曲线的渐近线方程可以设双曲线的方程为,由双曲线的几何性质可得 , 可解得,将代入所设双曲线的方程即可得结果.【详解】因为抛物线的焦点为，所以双曲线的右焦点也为,则有，因为双曲线的渐近线方程为,
5、所以可设其方程为,因,则 ,解得，则双曲线的方程为,故选B .【点睛】本题主要考查抛物线的方程与与性质，以及双曲线的方程与性质，属于中档题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.8. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点、距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点、的距离为3，动点满足，则点的轨迹围成区域的面积为（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，首先确定圆的方程，然后确定其面积即可.【详解】以A为原点，直线AB为x轴建立
6、平面直角坐标系，则设，依题意有，化简整理得，即，则圆的面积为故选D【点睛】本题考查轨迹方程求解、圆的面积的求解等知识，属于中等题9. 下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】对A,若 或，故错误；或或a与斜交 ，故错误由线面垂直的性质定理可知，若，则，正确或a与斜交 ，故错误本题选择C选项.10. 唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线
7、所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出点A关于直线的对称点，点到圆心的距离减去半径即为最短.【详解】解：设点A关于直线的对称点，的中点为，故解得，要使从点A到军营总路程最短，即为点到军营最短的距离，“将军饮马”的最短总路程为，故选A.【点睛】本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题.11. 已知三棱锥中，平面，且，.则该三棱锥外接球的体积为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【
8、详解】， 是以 为斜边的直角三角形，其外接圆半径 ，则三棱锥外接球即为以为底面，以 为高的三棱柱的外接球，三棱锥外接球的半径满足 故三棱锥外接球的体积 故选D.【点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，其中根据已知求出球的半径是解答的关键12. 已知双曲线C：-=1（）的左、右焦点分别为，过点且与双曲线的一条渐近线垂直的直线与的两条渐近线分别交于两点，若=，则双曲线C的离心率为（ ）.A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】当位于的两侧时，由=知，可得，在中，由，由勾股定理可得的关系，即可求出离心率.当位于的同侧时，由图可以找出的关系，即可求出离心率.【详解】由题意知：双曲线的渐近线
9、方程为 ，当位于的两侧时，如图设在上， ，则 ， ， ， ，即 ， ， ，在中，由勾股定理得：，.当位于的同侧时， 点到直线距离 ， ， ， ，直线与垂直，是等腰三角形，由图知 ， ， ， 是直角三角形.，故选：D【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的性质和离心率，找出关于的关系式是关键，属于中档题.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知抛物线的方程为，则的焦点坐标是_【答案】【解析】【分析】把抛物线的方程转化为标准方程，再由标准方程得出的焦点坐标.【详解】解：由抛物线的方程为，得出其标准方程为，则焦点坐标为.故答案为：.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程以及由标准方程
10、求抛物线的焦点，属于基础题型.14. 过点的直线被曲线截得的弦长为2，则直线的方程为_.【答案】或【解析】【分析】考虑斜率存在和不存在两种情况，利用垂径定理计算得到答案.【详解】圆的方程可化为圆心，半径为；直线过点且被圆截得的弦长为2，的斜率不存在时，直线，圆心到的距离为弦长为：满足题意；的斜率存在时，设：，即， 圆心到的距离，：综上所述，直线的方程或；故答案为或【点睛】本题考查了直线与圆相交问题，忽略掉斜率不存在的情况是容易发生的错误.15. 已知直线，若成等差数列，则当点到直线的距离最大时，直线的斜率是_.【答案】【解析】【分析】由已知得直线过定点，根据点到直线距离定义求解.【详解】根据题
11、意得即，直线的方程为，可化为，所以直线过点，若点到直线的距离最大，则直线 ，所以，解得.【点睛】本题考查等差数列，直线方程的应用，两直线垂直的斜率关系.16. 已知抛物线：，过焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，且，则_.【答案】3【解析】【分析】首先写出抛物线的焦点坐标，然后求解直线的方程，利用焦半径公式求解比值【详解】解：抛物线y22px（p0）的焦点坐标为（，0），直线l倾斜角为60，直线l的方程为：y0（x）设直线与抛物线的交点为A（，）、B（，），|AF|，|BF|，联立方程组，消去y并整理，得12x220px+3p20，解得，|AF|2p，|BF|，|AF|：|BF|3：1，的值
12、为3故答案为3【点睛】本题重点考查了抛物线的几何性质、方程、直线与抛物线的位置关系等知识，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，其中第17题10分，其余各题均12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知命题：方程表示椭圆，命题：，.（1）若命题为真，求实数的取值范围；（2）若为真，为真，求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析:(1) 命题为真，根据一次函数和二次函数的图象讨论和,求出范围即可;(2)根据复合命题的关系可知p真q假,求出m的取值范围即可.试题解析:（1）命题为真，当 时，；当时，不等式恒成立.综上，. （2）若为真，则. .若为
13、真，为真，为假.18. 已知长方体中，棱，棱，连接，过B点作的垂线交于E，交于F. （1）求证：平面；（2）求平面与直线所成角的正弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）【解析】【分析】（1）利用已知条件证明和即可得证.（2）连接，由，知 平面，所以即为直线与平面所成的角.由条件，即可求出直线与平面所成的角的正弦值.【详解】 （1）平面， ，连接，则， ， 平面，又 平面， ，又， ，平面，则，又 ，平面，（2）连接， 平面，即为直线与平面所成的角.， ，, ，所以平面与直线所成角正弦值.【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明以及线面角的求法，属于常考题.19. 已知的顶点边上的中线所在直线方程为
14、，边上的高所在直线方程为.求（1）顶点的坐标；（2）直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求所在边的直线方程，然后与所在直线方程建立方程组求解.（2）先设，求出，代入直线方程，再根据在所在直线上，代入的直线方程，建立方程组求出点B的坐标，再用两点式写出BC所在的直线方程.【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为，所以，又因点，所以所在边的直线方程为：又因为边上的中线所在直线方程为，由，得所以（2）设，则的中点在中线上所以，即又点在所在直线上所以由，解得所以所以直线的方程，即【点睛】本题主要考查两条直线的交点，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20. 已知为椭圆的右焦点，点在
15、上，且轴，椭圆的离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于，两点，且（为坐标原点），求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，先求出，再由离心率求出，根据求出，即可得出椭圆方程；（2）先设，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理与，以及判别式大于0，即可求出的取值范围.【详解】（1）因为为椭圆的右焦点，点在上，且轴，所以；又椭圆的离心率为，所以，因此，所以椭圆的方程为；（2）设，由得 ，所以，故，由，得，即，整理得，解得；又因，整理得，解得或；综上，的取值范围是.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，以及根据直线与椭圆位置关系求参数的问题，通常需要联立直线与椭圆方
16、程，结合韦达定理，判别式等求解，属于常考题型.21. 如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点（）证明：平面；（）设，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值【答案】()证明见解析；（）.【解析】【分析】() )连接交于点，连接，根据中位线定理可得，由线面平行的判定定理即可证明平面；（）以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面 与平面 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.【详解】()连接交于点，连接，则为中点，为的中点，所以，平面平面，所以平面； （）设菱形的边长为， ，则.取中点，连接.以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所
17、示坐标系. ， ，设平面的法向量为，由，得，令，则，平面的一个法向量为，即二面角的余弦值为.【点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于中档题题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.22. 已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线相交于、两点，满足.（1）求抛物线的方程；（2）已知点的坐标为，记直线、的斜率分别为，求的最小值.【答案】（1）
18、；（2）.【解析】【分析】（1）设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去，利用韦达定理并结合条件可求出实数的值，由此得出抛物线的方程；（2）由（1）得出直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理得出关于的表达式，可得出的最小值.【详解】（1）因为直线过焦点，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，所以有，因此，抛物线的方程；（2）由（1）知抛物线的焦点坐示为，设直线的方程为，联立抛物线的方程，所以，则有，因此.因此，当且仅当时，有最小值.【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了直线与抛物线中的最值问题的求解，对于直线与抛物线的综合问题，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进行计算，计算量较大，考查方程思想的应用，属于中等题.
