1、综合测评(满分:150分;时间:120分钟)一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)1.直线x=tan60的倾斜角是()A.90B.60C.30D.不存在2.给出下列四个命题:垂直于同一直线的两条直线互相平行;垂直于同一平面的两个平面互相平行;若直线l1,l2与同一平面所成的角相等,则l1,l2互相平行;若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是()A.1B.2C.3D.43.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得的圆台上、下底面半径之比为14,若截去的圆锥的母线长为3cm,则圆台的母线长为()A.1cmB.3cmC.12cmD.9c
2、m4.如图,在长方体A1B1C1D1-ABCD中,M、N分别是棱BB1,B1C1的中点,若CMN=90,则异面直线AD1和DM所成的角为()A.30B.45C.60D.905.已知l,m表示两条不同的直线,表示平面,则下列说法正确的是()A.若l,m,则lmB.若lm,m,则lC.若lm,m,则lD.若l,m,则lm6.等边PQR中,P(0,0),Q(4,0),且R在第四象限内,则PR和QR所在直线的方程分别为()A.y=3x和y=-3xB.y=3(x-4)和y=-3(x-4)C.y=3x和y=-3(x-4)D.y=-3x和y=3(x-4)7.已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k0)上
3、一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为()A.3B.212C.22D.28.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F,且EF=12,则下列结论中正确的个数为()ACBE;EF平面ABCD;三棱锥A-BEF的体积为定值;AEF的面积与BEF的面积相等.A.1B.2C.3D.49.如图,定点A,B都在平面内,定点P,PB,C是内异于A和B的动点,且PCAC,则动点C在平面内的轨迹是()A.一条线段,但要去掉两个点B.一个圆,但要去掉两个点C.一段弧,但要去掉两个点D.半圆,但要去掉两
4、个点10.几何学史上有一个著名的米勒问题:“设点M,N是锐角AQB的一边QA上的两点,试在QB边上找一点P,使得MPN最大”.如图,其结论是:点P为过M,N两点且和射线QB相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题:在平面直角坐标系xOy中,给定两点M(-1,2),N(1,4),点P在x轴上移动,当MPN取最大值时,点P的横坐标是()A.-7B.1或-7C.2或-7D.111.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则下列四个命题错误的是()A.直线BC与平面ABC1D1所成的角为4B.点C到平面ABC1D1的距离为22C.异面直线D1C和BC1所成的角为4D.三棱柱AA1D1-BB1
5、C1外接球的半径为3212.如图,已知四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,平面ABCD平面APB,G为PC上一点,且BG平面APC,AB=2,则三棱锥P-ABC体积的最大值为()A.23B.223C.43D.2二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知实数x,y满足6x+8y-1=0,则x2+y2-2y+1的最小值为.14.如图,已知圆锥的顶点为S,底面圆O的两条直径分别为AB和CD,且ABCD,平面SAD平面SBC=l.现有以下四个结论:AD平面SBC;lAD;若E是底面圆周上的动点,则SAE的最大面积等于SAB的面积;l与平面SCD所成的角为45.其中正确结论的序
6、号是.15.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是AB,AC的中点,平面EFC1B1将三棱柱分成体积分别为V1,V2的两部分,则V1V2=.16.已知三棱锥P-ABC的底面是正三角形,PA=3,点A在侧面PBC内的射影H是PBC的垂心,当三棱锥P-ABC的体积最大时,三棱锥P-ABC的外接球的体积为.三、解答题(本题共6小题,共70分)17.(10分)如图,在ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在x轴上.(1)求点C的坐标;(2)求AB边上的中线所在直线的方程.18.(12分)已知圆C1:(x-1)2+(y+5)2=50,圆C2:(x+
7、1)2+(y+1)2=10.(1)证明圆C1与圆C2相交;(2)若圆C3经过圆C1与圆C2的交点以及坐标原点,求圆C3的方程.19.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2AB=2,BAA1=60,D为AA1的中点,点C在平面ABB1A1内的射影在线段BD上.(1)求证:B1D平面CBD;(2)若CBD是正三角形,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.20.(12分)我国的“洋垃圾禁止入境”政策已实施多年.某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB,对应的圆心角AOB=60,该地区为打击洋垃圾走私,在海岸线外侧20海里内的海域ABCD对不明船只进行识别查证(如图:其中海域与陆地近似看作在
8、同一平面内),在圆弧的两端点A,B分别建有监测站,A与B之间的直线距离为100海里.(1)求海域ABCD的面积;(2)现海上P点处有一艘不明船只,在A点测得其距A点40海里,在B点测得其距B点2019 海里.判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD,并说明理由.21.(12分)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形,其中BD是圆的直径,ABD=60,BDC=45,PD底面ABCD,PD=22R,E,F分别是PB,CD上的点,且PEEB=DFFC,过点E作BC的平行线交PC于G.(1)求BD与平面ABP所成角的正弦值;(2)证明:EFG是直角三角形;(3)当PEEB=
9、12时,求EFG的面积.22.(12分)在平面直角坐标系xOy中,直线x-y+1=0被以坐标原点O为圆心的圆所截得的弦长为6.(1)求圆O的方程;(2)若直线l与圆O切于第一象限,且与坐标轴交于点D,E,当DE=22时,求直线l的方程;(3)设M,P是圆O上任意两点,点M关于x轴对称的点为N,若直线MP,NP分别交x轴于点(m,0)和(n,0),问mn是不是定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.全书综合测评1.A2.D3.D4.D5.A6.D7.D8.C9.B10.D11.C12.A一、选择题1.A由题意可知,直线x=tan60即为直线x=3,此时直线的斜率不存在,倾斜角为90.故选A
10、.2.D利用特殊图形正方体不难发现、均不正确,故选D.3.D如图,设圆台的母线长为ycm,小圆锥底面半径与被截的圆锥的底面半径分别是xcm,4xcm,根据相似三角形的性质可得33+y=x4x,解得y=9,所以圆台的母线长为9cm,故选D.4.D易知MNDC,MNMC,且DCMC=C,所以MN平面DCM.又DM平面DCM,所以MNDM.易证MNAD1,所以AD1DM.所以异面直线AD1和DM所成的角为90.5.A对于A,若l,m,则根据直线与平面垂直的性质,知lm,故A正确;对于B,若lm,m,则l或l或l,故B不正确;对于C,若lm,m,则l或l,故C不正确;对于D,若l,m,则l与m可能平行
11、,也可能异面,故D不正确.故选A.6.D由题意可得R(2,-23),故直线PR的斜率kPR=-3,故直线PR的方程为y=-3x,直线QR的斜率kQR=-232-4=3,所以直线QR的方程为y=3(x-4),故选D.7.D圆C:x2+y2-2y=0的圆心为(0,1),半径长r=1,由圆的性质知S四边形PACB=2SPBC,四边形PACB的最小面积是2,SPBC的最小值为1,即12rd最小值=1(d是切线长),d最小值=2,|PC|最小值=22+12=5.圆心到直线的距离就是|PC|的最小值,|PC|最小值=|0+1+4|1+k2=5,又k0,k=2.故选D.8.C如图,连接BD.ACBD,ACB
12、B1,BDBB1=B,BD、BB1平面BB1D1D,AC平面BB1D1D,又BE平面BB1D1D,ACBE,正确;B1D1BD,BD平面ABCD,B1D1平面ABCD,B1D1平面ABCD,即EF平面ABCD,正确;设h为三棱锥A-BEF中面BEF上的高,V三棱锥A-BEF=13SBEFh=1312|EF|BB1|12|AC|=131212122=224,三棱锥A-BEF的体积为定值,正确;AEF的边EF上的高为A到EF的距离,为12+(22)2=62,BEF的边EF上的高为B到EF的距离,为BB1=1,错误.从而正确,错误.故选C.9.B连接BC,因为PB,AC,所以PBAC,又PCAC,P
13、CPB=P,所以AC平面PBC,又CB平面PBC,所以CBAC,因为A,B是平面上的定点,所以点C在内的轨迹是以AB为直径的圆,又C是内异于A和B的点,故此轨迹要去掉A、B两个点.所以B正确.10.D经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3-x上,设圆心为S(a,3-a),则圆S的方程为(x-a)2+(y-3+a)2=2+2a2,对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而增大,当MPN取最大值时,经过M,N,P三点的圆S必与x轴相切于点P,即圆S的方程中的a值必须满足2+2a2=(3-a)2,解得a=1或a=-7.即对应的切点分别为P(1,0)和P(-7,0),而过点M,
14、N,P的圆的半径大于过点M,N,P的圆的半径,MPNMPN,故点P(1,0)为所求,点P的横坐标为1.11.C连接B1C,与BC1交于点O,因为D1C1平面BCC1B1,OC平面BCC1B1,所以D1C1OC,又因为四边形BCC1B1为正方形,所以OCBC1.因为D1C1BC1=C1,D1C1,BC1平面ABC1D1,所以CO平面ABC1D1.对于A,因为CO平面ABC1D1,所以直线BC与平面ABC1D1所成的角为CBC1=4,故A正确.对于B,因为CO平面ABC1D1,所以点C到平面ABC1D1的距离为OC的长,即为B1C长度的一半,即22,故B正确.对于C,易知BC1AD1,所以AD1C
15、为异面直线D1C和BC1所成的角,连接AC,易知AD1C为等边三角形,所以异面直线D1C和BC1所成的角为3,故C错误.对于D,三棱柱AA1D1-BB1C1外接球的半径为12+12+122=32,故D正确.故选C.12.A四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,BCAB,平面ABCD平面APB,平面ABCD平面APB=AB,BC平面ABP,AP平面ABP,APBC,G为PC上一点,且BG平面APC,AP平面APC,APBG,BCBG=B,BC平面PBC,BG平面PBC,AP平面PBC,BP平面PBC,BPAP,VP-ABC=VC-APB=1312|PA|PB|BC|=13|PA|PB|,
16、令|PA|=m,|PB|=n,则m2+n2=4,m2+n2-2mn=(m-n)20,mnm2+n22,VP-ABC=13mn13m2+n22=23,当且仅当m=n=2时取“=”,三棱锥P-ABC体积的最大值为23.故选A.二、填空题13.答案710解析x2+y2-2y+1=(x-0)2+(y-1)2,且实数x,y满足6x+8y-1=0,x2+y2-2y+1表示直线6x+8y-1=0上的点(x,y)与点(0,1)之间的距离,x2+y2-2y+1的最小值为点(0,1)到直线6x+8y-1=0的距离,即|8-1|62+82=710.14.答案解析由AB和CD是圆O的直径及ABCD,得四边形ACBD为
17、正方形,所以ADBC,又BC平面SBC,AD平面SBC,所以AD平面SBC,正确;又因为AD平面SAD,且平面SAD平面SBC=l,所以lAD,正确;若E是底面圆周上的动点,当ASB90时,SAE的最大面积等于SAB的面积,当ASB90时,SAE的最大面积等于两条母线的夹角为90的截面三角形的面积,所以不正确;因为lAD,l与平面SCD所成的角就是AD与平面SCD所成的角,即ADO,易知ADO=45,故正确.故答案为.15.答案75解析设三棱柱ABC-A1B1C1的高为h,底面的面积为S,体积为V,则V=V1+V2=Sh.E,F分别为AB,AC的中点,SAEF=S4,V1=13hS+S4+SS
18、4=712Sh,V2=Sh-V1=512Sh,V1V2=75.16.答案92解析连接PH并延长,交BC于D,连接AD.H是PBC的垂心,BCPD.AH平面PBC,BC平面PBC,AHBC,又AH平面APD,PD平面APD,AHPD=H,BC平面APD,又AD平面APD,BCAD.连接BH并延长,交PC于E,连接AE.由AH平面PBC可得AHPC,又BEPC,AHBE=H,PC平面ABE,ABPC,设P在平面ABC上的射影为O,连接CO并延长,交AB于F,连接PF.POAB,PCPO=P,AB平面PCF,PFAB,CFAB,O是ABC的中心,F是AB的中点,PB=PA=3=PC,当PA,PB,P
19、C两两垂直时,三棱锥P-ABC的体积取得最大值,将PA,PB,PC作为正方体的共顶点的三条棱补成正方体,则外接球的直径即为正方体的体对角线的长,三棱锥P-ABC的外接球的半径R满足(2R)2=3(3)2,解得R=32(负值舍去),外接球的体积V=43323=92.三、解答题17.解析(1)设M(0,a),N(b,0),C(m,n),已知A(5,-2),B(7,3),M是AC的中点,5+m2=0,m=-5,(2分)又N是BC的中点,3+n2=0,n=-3,(4分)点C的坐标为(-5,-3).(5分)(2)设AB的中点为P,则点P的坐标为6,12,(7分)由两点式得AB边上的中线所在直线的方程为y
20、+312+3=x+56+5,整理,得7x-22y-31=0.(9分)AB边上的中线所在直线的方程为7x-22y-31=0.(10分)18.解析(1)证明:设圆C1的半径长为r1,圆C2的半径长为r2,则C1(1,-5),r1=50=52,C2(-1,-1),r2=10,(4分)52-10|C1C2|=4+16=2510+52,C1与C2相交.(6分)(2)设圆C1与圆C2的交点分别为A,B,坐标原点为C(0,0).由(x-1)2+(y+5)2=50,(x+1)2+(y+1)2=10得x1=-4,y1=0或x2=0,y2=2.(8分)不妨设A(-4,0),B(0,2).(10分)易得ABC为直角
21、三角形,r=12|AB|=5,圆心为AB的中点(-2,1),圆C3的方程为(x+2)2+(y-1)2=5.(12分)19.解析(1)证明:设点C在平面ABB1A1内的射影为E,连接CE,则EBD,CE平面CBD,且CE平面ABB1A1,因为B1D平面ABB1A1,所以CEB1D.(2分)在ABD中,AB=AD=1,BAD=60,则ABD=ADB=180-602=60,在A1B1D中,A1B1=A1D=1,B1A1D=120,则A1B1D=A1DB1=180-1202=30,故B1DB=180-60-30=90,故BDB1D.(5分)又CEBD=E,所以B1D平面CBD.(6分)(2)解法一:V
22、ABC-A1B1C1=3VA1-ABC=3VC-A1AB,由(1)得CE平面ABB1A1,故CE是三棱锥C-A1AB的高,因为CBD是正三角形,且BD=AB=AD=1,所以CE=32,(8分)所以SA1AB=12|AA1|AB|sinBAA1=1221sin60=32,(10分)所以VC-A1AB=13SA1ABCE=133232=14,故三棱柱的体积VABC-A1B1C1=3VC-A1AB=34.(12分)解法二:将三棱柱补成四棱柱,如图,因为SPAC=SBAC且高一样,所以VABC-A1B1C1=VAPC-A1QC1,所以VABC-A1B1C1=12VABB1A1-PCC1Q,因为CBD是
23、正三角形,且BD=AB=AD=1,所以CE=32.(8分)由(1)得CE平面ABB1A1,故CE是四棱柱ABB1A1-PCC1Q的高,故VABB1A1-PCC1Q=S四边形ABB1A1CE=AA1ABsinBADCE=21sin6032=32,(10分)故VABC-A1B1C1=12VABB1A1-PCC1Q=34,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积为34.(12分)解法三:在三棱锥VC-ABD中,由(1)得CE平面ABD,CE是三棱锥C-ABD的高,易得CE=32,(8分)记D到平面ABC的距离为hD,由VD-ABC=VC-ABD,得13SABChD=13SABDCE,即hD=SABDCES
24、ABC,因为D为AA1的中点,故A1到平面ABC的距离为2hD=2SABDCESABC,(10分)VABC-A1B1C1=SABC2hD=2SABDCE=21211sin6032=34.故三棱柱ABC-A1B1C1的体积为34.(12分)20.解析(1)由题意知AD=BC=20,OA=OB=AB=100,OD=OA+AD=100+20=120,(2分)S海域ABCD=60360(OD2-OA2)=16(1202-1002)=22003(平方海里).所以海域ABCD的面积为22003平方海里.(5分)(2)由题意建立平面直角坐标系,如图所示.由题意知,点P在圆B上,即(x-100)2+y2=76
25、00,点P也在圆A上,即(x-50)2+(y-503)2=1600,联立,解得x=30,y=303或x=90,y=503.(8分)易知区域ABCD内的点满足x2+y210000,x2+y214400,(9分)302+(303)2=360014400,点(90,503)也不在区域ABCD内,即这艘不明船只没进入海域ABCD.(12分)21.解析(1)在RtBAD中,ABD=60,BD=2R,AB=R,AD=3R.而PD底面ABCD,PA=PD2+AD2=(22R)2+(3R)2=11R,PB=PD2+BD2=(22R)2+(2R)2=23R.(2分)在PAB中,PA2+AB2=PB2,PAB是以
26、PAB为直角的直角三角形,设点D到平面PAB的距离为h,由VD-PAB=VP-ABD有PAABh=ABADPD,即h=ADPDPA=3R22R11R=26611R,(4分)sin=hBD=6611.(5分)(2)证明:EGBC,PEEB=PGGC.而PEEB=DFFC,PGGC=DFFC,GFPD,GF平面ABCD,GFBC.(6分)而BCEG,GFEG,EFG是直角三角形.(8分)(3)当PEEB=12时,EGBC=PEPB=13,GFPD=CFCD=23,即EG=13BC=132Rsin45=23R,(9分)GF=23PD=2322R=423R,(10分)SEFG=12EGGF=1223R
27、423R=49R2.(12分)22.解析(1)因为点O到直线x-y+1=0的距离为12,(1分)所以圆O的半径长为122+622=2,(3分)故圆O的方程为x2+y2=2.(4分)(2)由题意可设直线l的方程为xa+yb=1(a0,b0),即bx+ay-ab=0,由直线l与圆O相切,得|-ab|a2+b2=2,DE2=a2+b2=8.(6分)由解得a=b=2,此时直线l的方程为x+y-2=0.(8分)(3)设M(x1,y1),P(x2,y2),则N(x1,-y1),x12+y12=2,x22+y22=2,直线MP与x轴的交点坐标为x1y2-x2y1y2-y1,0,所以m=x1y2-x2y1y2-y1,(9分)直线NP与x轴的交点坐标为x1y2+x2y1y2+y1,0,所以n=x1y2+x2y1y2+y1,(10分)所以mn=x1y2-x2y1y2-y1x1y2+x2y1y2+y1=x12y22-x22y12y22-y12=(2-y12)y22-(2-y22)y12y22-y12=2,所以mn为定值2.(12分)
